初一数学（下册）讲义
第一章：整式的乘除
1.1同底数幂的乘法
? 复习回顾：复习七年级上册数学课本中介绍的有关乘方运算知识：
? 探索新知
1．利用乘方的意义，计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义)=10×10×10×10×10 (乘法的结合律)=105． 2．建立幂的运算法则
将上题中的底数改为a，则有 a3·a2＝(aaa)·(aa)＝aaaaa＝a5， 即a3·a2=a5=a3+2． 用字母m，n表示正整数，则有
即am·an=am+n．
3．剖析法则
思考以下问题：
(1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？(4)公式中的底数a可以表示什么？ (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 请大家试着叙述这个法则：
? 应用提高
mnp探讨a?a?a等于什么？ ? 课堂训练
8 (1)-a2·a6 (2)(-x)·(-x)3 (3)ym·ym+1 （4）??7??73
（5）??6??63 （6）??5??53???5? （7）?a?b???a?b? （8）?b?a???a?b?
(9)x5·x6·x3 (10)-b3·b (11)-a·(-a)3 (12)(-a)2·(-a)3·(-a)
75422
1.2 幂的乘方与积的乘方（一） ? 复习回顾
复习已学过的幂的意义及幂运算的运算法则 1、幂的意义 2、a?a?amnm?n.（m、n为正整数）同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
? 探索新知
根据已经学习过的知识，回忆并探讨以下实际问题：
1． 乙正方体的棱长是 2 cm, 则乙正方体的体积 V乙 = cm3 。
甲正方体的棱长是乙正方体的 5 倍，则甲正方体的体积 V甲 = cm3 。 2． 乙球的半径为 3 cm, 则乙球的体积V乙 = cm3
甲球的半径是乙球的10倍，则甲球的体积V甲 = cm3 . 如果甲球的半径是乙球的n 倍，那么甲球体积是乙球体积的 倍。
地球、木星、太阳可以近似地看作球体。木星、太阳的半径分别约是地球的10倍和102倍，它们的体积分别约是地球的 倍和 倍.
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初一数学（下册）讲义
探究：为什么102?106？将式中的10换为a又会得到什么结果？
计算下列各式，并说明理由
2423m2mn (1) (6) ; (2) (a) ; (3) (a) ; (4) (a).
通过上面的探索活动,发现了什么?
??3幂的乘方，底数__________，指数__________。
? 课堂训练
1、计算：
2355n3 2m 23 2634
(1) (10) (2) (b) (3) (a)(4) -(x) (5) (y)· y (6) 2(a) － (a) 2．计算：
332534 2 232224 2 3
(1) (10) (2) -(a) (3) (x)· x (4) [(-x) ] (5) (-a)(a) (6) x·x– x· x 3．判断下面计算是否正确？如果有错误请改正：
33 66 4 24(1) (x)= x (2)a· a= a
4．完成下列各题
123( ) 2( )3( )3 4⑴ a ＝（a）＝（a）＝a a＝（ ）＝（ ）
2m( )3n9n⑵ 3﹒9 ＝3 ⑶ y ＝3, y ＝ .
2m+1 32 ( )⑷ （a）＝ . ⑸ [（a-b）]＝（b-a ）
mm9 ，
(6)若4﹒8﹒16 ＝2 则m＝ .
abc
(7)如果 2＝3 ,2＝6 ,2＝12, 那么 a、b、c的关系是 .
1.3 幂的乘方与积的乘方（二）
? 复习回顾：
复习前几节课学习的有关幂的三个知识点： 1．幂的意义
2．同底数幂的乘法运算法则a?a?a.（m、n为正整数）
mnmn
3．幂的乘方运算法则(a)=a(m、n都是正整数)
mnm?n? 探索新知
(1)根据幂的意义，(ab)3表示什么?
(2)为了计算(化简)算式ab·ab·ab，可以应用乘法的交换律和结合律。又可以把它写成什么形式?
333
(3)由特殊的 (ab)=ab出发, 你能想到一般的公式吗?
此环节的三个连贯性问题用到了刚刚复习到的幂的意义及根据其建立的数学模型。 1．借助刚刚探讨的结果，完成下面三个问题。
7( )( )m( )( ) n( )( )
①(3×5)=3×5 ②(3×5)=3×5③(ab)=ab 2．学会复述积的乘方的运算法则：（ab）n＝anbn
积的乘方等于把各个因式分别乘方，再把所得的幂相乘。 3．进一步探讨：（abc)n=
4．公式拓展：三个或三个以上的积的乘方，是否也具有上面的性质? 怎样用公式表示?
? 课堂训练
1． 下面的计算是否正确？如有错误请改正.
（1）(ab)?ab；（2）(?3pq)??6pq 2．计算下列各题：
254 2n
(1)(3x) ; (2)(-2b) ; (3)(-2xy); (4)(3a).
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3．地球可以近似地看做是球体，如果用V, r 分别代表球的体积和半径，那么V?43?r。 地球的半径约为36×103 千米，它的体积大约是多少立方千米? 4．公式逆用训练
88 16 15 4 44
(1)23×53 ;(2) 2×5 (3) (-5)× (-2) (4) 2× 4 ×(-0.125)
3424 423233327
（5） a·a·a+(a)+(-2a) （6） 2(x)·x –(3x)+(5x)·x
1001001213
（7）0.25×4 (8) 8×0.125
5．提高练习 ①计算：?2
③已知x?5 y?3 求(x2y)2n的值。
554433④已知a?2，b?3，c?5，试比较a、b、c的大小。
n100?0.5100?(?1)2003?1n3m?2nm ②已知2?3，2?4 求2的值。 2n
1.4 同底数幂的除法
一、情境引入
活动内容：一种液体每升含有 1012 个有害细菌，为了试验某种杀菌剂的效果,科学家们进行了实验,发现1滴杀
9
虫剂可以杀死 10 个此种细菌，要将1升液体中的有害细菌全部杀死，需要这种杀菌剂多少滴？你是怎样计算的？
二、了解同底数幂除法的运算及应用
计算下列各式，并说明理由（m>n）
(1)108?105; (2)10m?10n; (3)(?3)m?(?3)n;
从中归纳出同底数幂除法的运算性质。
从上面的练习中你发现了什么规律？ 。
mn 猜一猜：a?a??a?0,m,n都是正整数，且m＞n?。
三、同底数幂除法运算的应用
【例1】计算：
(1)a7?a4; (2)(?x)6?(?x)3; (3)(xy)4?(xy);
(4)b2m?2?b2; (5)(m?n)8?(n?m)3; (6)(?m)4?(?m)2.
【例2】地震的强度通常用里克特震级表示，描绘地震级数的数字表示地震的强度是10的若干次幂。例如用里克特震级表示地震是8级，说明地震的强度是10。1992年4月荷兰发生了5级地震，12天后，加利福尼亚发生了7级地震。加利福尼亚地震强度是荷兰地震强度的多少倍？
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初一数学（下册）讲义
四、探索零指数幂和负整数指数幂的意义
想一想：
10000=104 ， 16=24 1000=10（）， 8=2（） 100=10（） ， 4=2（） 10=10（）， 2=2（） 猜一猜：
1=10（） 1=2（）
1 =2（） 21 0.01=10（） =2（）
410.001=10（） =2（）
8 0.1=10（）
通过以上的计算，你得到的规律是什么？
【例3】 计算：用小数或分数分别表示下列各数：
(1)10?3
(2)70?8?2;(3)1.6?10?4? 课堂训练
1．下列计算中错误的有（ ）
(1)a10?a2?a5 (2)a5a?a?a5 (3)(?a)5?(?a)3??a2 (4)30?3
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2．计算a22?????a?的结果正确的是（ ）
3222A.?a B.a C.-a D.a 3．用科学记数法表示下列各数： （1）0．000876 （2）-0．0000001
4．计算：（1）?x?2y???2y?x??(x?2y) （2）??x?y??x?y????y?x????x?y?
mm2x?yxy5．计算27?9?3? 6．若3?a,3?b，求的3的值
42989
1.5 整式的乘法（一）
? 复习回顾
问题1：前面学习了哪三种幂的运算?运算方法分别是什么？ 请分别用语言和字母表示幂的三种运算性质。 问题2：运用幂的运算性质计算下列各题：
、、
（1）(－a5)5 （2） (－a2b)3
x米 (3) (－2a)2(－3a2)3 (4) (－y n)2 y n-1
? 探索新知一
mx米 七年级三班举办新年才艺展示，小明的作品是用同样大小的纸精心制作的两幅剪贴画，如右图所示，第一幅画的画面大小与纸的大小相同，第二幅画的画面在纸的上、下方各留有
1x米的空白,你能表示出两幅画的面积吗？ 8问题1：以上求矩形的面积时，会遇到 x?mx，(mx)?(x)，这是什么运算呢 ？
问题2：什么是单项式？（表示数与字母的积的代数式叫做单项式）
我们知道，整式包括单项式和多项式，从这节课起我们就来研究整式的乘法，先学习单项式乘以单项式。
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34初一数学（下册）讲义
? 探索新知二
思考以下三个问题：
问题1：对于实际问题的结果x?mx，(mx)?(mx)可以表达得更简单些吗？说说你的理由？ 问题2：类似地，3a2b·2ab3和（xyz）·y2z可以表达的更简单一些吗？
问题3：如何进行单项式与单项式相乘的运算？
34 单项式乘法的法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
问题4：在你探索单项式乘法运算法则的过程中，运用了哪些运算律和运算法则？
? 课堂训练
1.计算：
1(1)(2xy2)?(xy) (2)(?2a2b3)?(?3a) (3)(4?10)5?(5?104)
3
231(4)(?3a2b2)?(?a3b2)5 (5)(?a2bc3)?(?c5)?(ab2c)
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2．计算：（1） x 3 ) ? ( 2 x 2 ? 3 ab ) ?( ? 4 b 2 ) (3) (2x2y)3?(?4xy2)(5y ) (2) (
923．一种电子计算机每秒可做4?10次运算，它工作5?10秒，可做多少次运算？
4．一个长方体形储货仓长4×103㎝，宽3×103㎝，高5×102㎝，求这个货仓的体积。
5.若（am?1n?2b）?(a2n?1?b)?a5b3，求m?n的值。
6.计算下列各题：
①3x?5x ②(?5a2b)?(?2a2) ③(3?102)?(?2?103) ④(?5an?1b)?(?2a.) ⑤(2x)3?(?2x2y) ⑥(?xy2z3)2?(?x2y)3 7．计算：(1)(?x2)?x3?(?2y)3?(2xy)2?(?x)3y (2)?2(?abc)?22231a(bc)3?(?abc)3?(?abc)2 2
1.6 整式的乘法（二）
一、提出问题
思考以下问题：
A.我们本单元学习整式的乘法，整式包括什么？ B.什么是多项式？怎么理解多项式的项数和次数？
C.整式乘法除了我们上节课学习的单项式乘以单项式外，还应包含哪些内容？
本节课将学习单项式与多项式相乘。
a y b
二、借助情境，探究规律：
如图所示，公园中有一块长mx米、宽y米的空地，根据需
要在两边各留下宽为a米、b米的两条小路，其余部分种植花草，求种植花草 部分的面积.
（1）你是怎样列式表示种植花草部分的面积的?是否有不同的表示方法？其中包含了 什么运算?
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