初一数学（下册）讲义
能力提升3：乘法公式
常见乘法公式及其变形有： （1）平方差公式:(a?b)(a?b)?a2?b2
（2）完全平方公式：(a?b)2?a2?2ab?b2
(a?b)2?(a?b)2?4ab；(a?b)2?(a?b)2?4ab
（3）立方和公式：(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3 （5）(x?a)(x?b)?x2?(a?b)x?ab （6）(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3
（4）立方差公式：(a?b)(a2?ab?b2)?a3?b3
（7）(a?b)3?a3?3a2b?3ab2?b3
（8）a3?b3?c3?(a?b?c)(a2?b2?c2?ab?bc?ca)?3abc?1(a?b?c)[(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2]?3abc 2(a?b)2?(a2?b2)(a2?b2)?(a?b)2?（9）a?b?(a?b)?2ab；a?b?(a?b)?2ab；ab?
22222222（10）(a?b)2?(a?b)2?2a2?2b2
（11）(a?b)2?(a?b)2?4ab；2ab?(a2?b2)?(a?b)2 （12）①(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2ac?2bc
(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2②a?b?c?(a?b?c)?2(ab?bc?ac)；③a?b?c?ab?bc?ac?；
22222222(a?b)2?(b?c)2?(a?c)2④a?b?c?ab?bc?ac?
2222【基础训练题组1】
1、已知(a?b)?16，(a?b)?4，求：ab的值
2、已知x2?y2?25,x?y?7,且x?y，求：x?y的值
223、已知x?y?1,xy??2，求x?y的值
4、已知x?y?3,xy??1，求：?x?y?的值
5、已知2a?b?7,ab?2，求2a?b的值
2226、已知x?
122=5，求x?y的值 x第21页
初一数学（下册）讲义
11??7、已知x??5，求?x??的值
xx??
8、已知?m?53??m?47??24，求?m?53???m?47?的值
2229、已知a?111?4，求a2?2和a4?4的值 aaa
10、已知a?b?10,a2?b2?58，求a,b的值
【基础训练题组2】
1、a?b?7,a?b?29，则(a?b)? 222、(a?b)?4,(a?b)?36,则a?b?ab? ______ ；a?b? ______ 。
22442221111?3, 则m2?2?______ ， m??______ m2?2?______。 mmmm1144、x???3, 则x?4?______ 。
xx115、x??8, 则x?＝______。
xx111116、（1－2）（1－2）（1－2）… （1－2）（1－2）=
3102493、m?
（2?1）（22?1）（24?1）（28?1）（?232＋）＋11? 7、 8、x? 9、
111a?1，y?a?2 ，z?a?3，求：x2 ?y2?z2?xy?yz?xz值。 2221111＋＋＋…＋n 24822201310、2012
2?22014
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初一数学（下册）讲义
【例题精讲】
【例1】（1）在2004,2005，2006,2007这四个数中，不能表示为两个整数平方差的是
（2）已知(2000?a)(1998?a)?1999，那么(2000?a)2?(1998?a)2?
【例2】（1）已知a,b,c满足a2?2b?7,b2?2c??1,c2?6a??17，则a?b?c?
333nnn（2）a,b,c不全为0，满足a?b?c?0，a?b?c?0，称使得a?b?c?0恒成立的正整数n为
“好数”，则不超过2007的正整数中“好数”的个数为（ ） A.2 B.1004 C.2006 D.2007
【例3】观察下列算式：
①1?3?2?3?4??1； ②2?4?3?8?9??1；
③3?5?4?15?16??1； ④ ；
（1）请你按以上规律写出第4个算式；（2）把这个规律用含字母的式子表示出来； （3）你认为（2）中所写出的式子一定成立吗？并说明理由。
77【例4】已知a?b?1,a2?b2?2，求a?b的值。
【例5】（1）证明：奇数的平方被8除余1.（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和。
【例6】有n（n?2且为整数）个乒乓球选手进行单循环赛，每个参赛选手同其他各选手都进行一场比赛，如果用ai和bi分别表示第i（i?1,2,…,n）个选手在整个赛程中胜与负的局数。求证：
222a12?a22?…?an2?b12?b22?…?bn2。
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初一数学（下册）讲义
? 学力训练
【基础夯实】
1、已知a?2ab?b?0，那么代数式a(a?4b)?(a?2b)(a?2b)?
2、若非零实数a,b(a?b)满足a2?a?2007,b2?b?2007?0，则
3、计算：
（1）1.2345?0.7655?2.469?0.7655?
2222222（2）1949?1950?1951?1952?…?1997?1998?1999?
222211?? ab199919982? （3）2219991997?19991999?2
4、已知a?b?b?c?
32,a?b2?c2?1，则ab?bc?ac? 51a4?a2?1? 5、已知a??5，则2aa
226、若n满足(n?2004)?(2005?n)?1，则(2005?n)(n?2004)?
227、已知a?b?2，那么a?b?4b?
8、已知a?
111x?20,b?x?19,c?x?21，则代数式a2?b2?c2?ab?ac?ca? 20202078m?1,Q?m2?m（m为任意实数），则P,Q的大小关系是（ ） 1515 A.P?Q B.P?Q C.P?Q D.不能确定
9、已知P?
222210、若m,n为有理数，且2m?2mn?n?4m?4?0，则mn?mn?
22222211、老师在黑板上写出三个算式：5?3?8?2, 9?7?8?4, 15?3?8?27，某同学接着又写了两个具有同样规律的算式：11?5?8?12， 15?7?8?22。
（1）请你再写出两个具有同样规律的算式： （2）用文字叙述上述算式反映的规律： （3）证明这个规律的正确性。
12、一个自然数减去45后是一个完全平方数，这个自然数加上44后仍是一个完全平方数，试求这个自然数。
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2222初一数学（下册）讲义
13、观察：
1?2?3?4?1?52;2?3?4?5?1?112; 3?4?5?6?1?192;（1）请写出一个具有普遍性的结论，并给出证明。 （2）根据（1），计算2000?2001?2002?2003?1的结果。
【能力拓展】
14、已知ax?by?3,ay?bx?5，则(a?b)(x?y)的值为
15、设x,y为正数，且xy?1，则
2222……11?的最小值为 44x4y
22244416、已知a,b,c满足a?b?c?0，a?b?c?4，则a?b?c?
17、已知a,b,c满足a?b?c?7，ab?bc?b?c?16?0，则
2b? a
2222318、如果a?2b?3c?12，且a?b?c?ab?bc?ca，则a?b?b?
225319、若一个正整数能表示为两个正整数的平方差，则称这个正整数位“智慧数”（如3?2?1,16?5?3），已
知智慧数按从小到大的顺序构成如下数列：3,5,7,8,9,11,12,13,15,16,17,19,20,21,23,24,25,…，则第2006
个智慧数为
2220、已知a,b满足等式x?a?b?20,y?4(2b?a)，则x,y的大小关系是（ ） A.x?y B.x?y C.x?y D. x?y
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初一数学（下册）讲义
21、四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O，S?AOB?4，S?COD?9，则四边形ABCD面积的最小值是
22、已知x?y?1,x?y?331，求x5?y5的值。 3
9223、设a?10?38?2，证明：a是37的倍数。
24、若x?y?a?b,x2?y2?a2?b2，求证：x1997?y1997?a1997?b1997。
25、已知2006个整数a1,a2,…,a2006，满足下列条件：a1?0,|a2|?|a1?2|,|a3|?|a2?2|,…,|a2006|?|a2005?2|，
求a1?a2?a3?…?a2006的最小值。
26、某校举行春节运动会时，由若干名同学组成一个8列的长方形队列，如果原队列中增加120人，就能组成一个正方形队列；如果原队列中减少120人，也能组成一个正方形队列。问原长方形队列中有多少名同学?
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