初一数学（下册）讲义
用不同的形式表示实验田的总面积，并进行比较。
通过以上的计算你得到什么结论？
请用多项式的乘法验证你得到的结论：
? 结合两数和的完全平方公式推导办法继续推导两数差的完全平方公式：
继续用多项式乘法对公式进行验证：
用语言来描述完全平方公式：
结构特点：左边是二项式（两数和（差））的平方；
右边是两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍。
语言描述：两数和（或差）的平方，等于这两数的平方和加上（或减去）这两数积的两倍。
公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
? 课堂训练
1、用完全平方公式计算
(1) (2x?3)2 (2) (4x+5y)2 (3) (mn?a)2 (4) (-1-2x)2 (5) (-2x+1)2
2、下列各式中哪些可以运用完全平方公式计算 （1）?a?b??a?c? （2）?x?y???y?x?
（3）?ab?3x???3x?ab? （4）??m?n??m?n? 3、计算下列各式：
（1）?4a?7b??4a?7b? （2）??2m?n??2m?n?
11??11?（3）??a?b??a?b? （4）??5?2x??5?2x?
2??32??3
1??1?（5）2?3a23a2?2 （6）? ?x?2??x?2????3?x???x?3??????2??2?
4、填空：
（1）?2x?3y??2x?3y?? （2）?4a?1?（3）
???16a2?8a?1
?21?1??ab?ab?3??749??2222?_________?9
5、求?x?y??x?y???x?y?的值，其中x?5,y?2 6、若(x?y)?12,(x?y)?16,求xy的值。
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初一数学（下册）讲义
1.8完全平方公式（2）
回顾与思考
复习已学过的完全平方公式。 1. 完全平方公式：(a+b)2 = a2 + 2ab + b2 (a-b)2 = a2 - 2ab + b2
2．公式口诀：首平方，尾平方，两倍乘积放中央， 加减看前方，同加异减。
? 课堂训练
1、利用完全平方公式计算：
(1) 1022 ; (2) 1972
2、计算：(1) 962 ； (2) 2032
3、计算：(1) (x+3)2 - x2 (2) (x+5)2–(x-2)(x-3) 4、计算
(1)(a-b+3)(a-b-3) (2)(x-2)(x+2)-(x+1)(x-3)
(3)(ab+1)2-(ab-1)2 (4)(2x-y)2-4(x-y)(x+2y)
5、公式推广 ① 如果把完全平方公式中的字母“a”换成“m+n”，公式中的“b”换成“p”，那么(a+b)2 变成怎样的式 子?怎样计算(m+n+p)2呢? ②把所得结果作为推广了的完全平方公式，试用语言叙述这一公式： ③仿照上述结果，你能说出(a?b+c)2所得的结果吗?
6、已知:a+b=5,ab=-6,求下列各式的值
(1)(a+b)2 (2)a2+b2
若条件换成a-b=5,ab=-6,你能求出a2+b2的值吗?
1.9 整式的除法（一）
一、复习回顾
1．同底数幂的除法
am?an?am?n(a?0,m,n都是正整数,且m?n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2．单项式乘单项式法则
单项式与单项式相乘，把它们的系数，相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。
二、探究新知
你能计算下列各题吗？如果能，说说你的理由。 （ 1 ）（x5y）?x2
(2)(8m2n2)?(2m2n) 422(3)(abc)?（3ab）
探究方法
方法1：利用乘除法的互逆方法 2：利用类似分数约分的方法3．总结单项式除以单项式法则
单项式除法法则：
单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
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初一数学（下册）讲义
三、单项式乘除的对比
第一步 第二步 第三步 单项式相乘 系数相乘 同底数幂相乘 其余字母不变连同其指数作为积的因式 单项式相除 系数相除 同底数幂相除 只在被除式里含有的字母连同其指数一起作为商的因式 ? 课堂训练
1、计算
3(1)(?x2y3)?(3x2y) (2)(10a4b3c2)?(5a3bc)
5
(3)(2x2y)3?(?7xy2)?(14x4y3) (4)(2a?b)4?(2a?b)2
2、计算
(1)(2a6b3)?(a3b2)
(2)(13212xy)?(xy) 4816(3)(3m2n3)?(mn)2 (4)(2x2y)3?(6x3y2)
3、月球距离地球大约3.84×105千米，一架飞机的速度约为8×102千米/时。如果乘 坐此飞机飞行这么远的距离，大约需要多少时间？
4、计算： （1）?12xyz??4xyz （2）?
（3） 2mn?1?8m2n?1 （4）6?a?b??35342?22?164abc?2a3c 41?a?b?3 3??
5、计算：
（1）?3a??b2?8a3b （2）8abc?2ab???34323?????232?abc? 3??
6、在一次水灾中，大约有2.5×105个人无家可归。假若一顶帐篷占地100 m2 ，可以安置40个床位，为了安置所有无家可归的人，需要多少顶帐篷？这些帐篷大约占多大地方？估计你学校的操场中可以安置多少人？要安置这些人，大约要多少个这样的操场？
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1.9 多项式除以单项式（二）
一、复习回顾
1．同底数幂的除法
am?an?am?n(a?0,m,n都是正整数,且m?n)同底数幂相除，底数不变，指数相减。
2．单项式与单项式相除的法则：
单项式相除，把系数，同底数幂分别相除后，作为商的因式；对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数一起作为商的因式。
二、探究新知
你知道需要多少杯子吗？
图（1）的瓶子中盛满了水， 如果将这个瓶子中的水全部 倒入图（2）的杯子中，那么 一共需要多少个这样的杯子？ （单位：cm）
ahH81a22a
计算下列各题，说说你的理由。
（1）（ad?bd）?d? (2)(a2b?3ab)?a? 3(3)(xy?2xy)?（xy）?
探究方法：
方法1：利用乘除法的互逆
（1）瓶
（2）杯子
（1）?(a?b)?d?ad?bd?（ad?bd）?d?a?b
(2)?(ab?3b)?a?a2b?3ab?(a2b?3ab)?a?ab?3b (3)?(y2?2)?xy?xy3?2xy?(xy3?2xy)?（xy）?y2?2
方法2：类比有理数的除法 (21?0.14)?7?(21?0.14)?1?3?0.02?3.02 7类比得到（1）（ad?bd）?d?（ad?bd）?
1?a?bd1 (2)(a2b?3ab)?a?(a2b?3ab)??ab?3ba1(3)(xy3?2xy)?（xy）?(xy3?2xy)??y2?2xy 总结：
多项式除以单项式的法则多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把
所得的商相加。
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初一数学（下册）讲义
? 课堂训练 1、计算：
(1)(6ab?8b)?(2b)(2)(27a3?15a2?6a)?(3a) (3)(9x2y?6xy2)?(3xy)
(4)(3x2y?xy2?
11xy)?(?xy)222、想一想，下列计算正确吗？
(1)(3x2y?6xy)?(6xy)?0.5x(2)(5a3b?10a2b2?15ab3)?(?5ab)?a2?2ab?3b2(3)(2x2y?4xy2?6y3)?(?3、计算：
(1)(3xy?y)?y
1y)??x2?2xy?3y22(2)(ma?mb?mc)?m(4)(4x2y?3xy2)?(7xy)
2332 (3)(6cd?cd)?(?2cd)? 能力提升篇
能力提升1：式的整除
1、定义：如果一个整式除以另一个整式所得的商式也是一个整式，并且余式是零，则称这个整式被另一个整式整
除。
2、根据定义有：被除式=除式×商式+余式，设f(x),p(x),q(x)都是含x的整式，那么式的整除的意义可以表示为：
?) f(x)?p(x22q(，则称x)f(x)能被p(x)和q(x)整除。
例如：x?3x?4?(x?4)(x?1)
∴x?3x?4能被(x?4)和(x?1)整除。
显然当x?4或x??1时x?3x?4?0
3、一般地，若整式f(x)含有因式g(x)，即f(x)可被g(x)整除，若存在x0使得g(x0)?0，则必有f(x0)?0； 4、在二次三项式中：
若x?px?q?(x?a)(x?b)?x?(a?b)x?ab，则p?a?b,q?ab。 在恒等式中，左右两边同类项的系数相等。这可以推广到任意多项式。
2【例1】已知x?5x?m能被x?2整除，求m的值。
4322【例2】已知x?5x?11x?mx?n能被x?2x?1整除，求m,n的值及商式。
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