初一数学（下册）讲义
一方面可以先表示出种植花草部分的长与宽，由此得到y(mx?a?b)米2
另一方面可以用总面积减去两条小路的面积，得到：y?(mx)?y?a?y?b米2
由此我们发现两种不同的运算一方面是包含单项式与单项式乘法、再把所得的积相加，另一方面是单项式与多项式相乘，二者最终是统一的，从而发现单项式乘以多项式的方法。
（2）由上面的探索，我们得到了y(mx?a?b)=y?mx?y?a?y?b，你能用所学过的知识来说明上面的等式成立的原因吗?
（3）你能用上面的方法计算2ab(a2b?2ab2?3)吗？请说明每一步的依据。
（4）通过以上过程，你发现如何进行单项式与多项式相乘的运算？请你试着用语言来 描述。
单项式与多项式相乘，就是根据分配律用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加。 ? 课堂训练
1、计算下列各题
（1）2ab(5a2b?3ab2) （2）(ab?2ab)?2321ab （3）(?2a)(2a2?3a?1) 2
22332222 （4）(?12xy?10xy?21y)(?6xy) （5）(?2a)?(ab?b)?5a(ab?ab)
总结：单项式与多项式相乘的步骤：
①按乘法分配律把乘积写成单项式与单项式乘积的代数和的形式； ②转化为单项式的乘法运算; ③把所得的积相加.
解题时需要注意的问题：
①单项式乘多项式的积仍是多项式，其项数与原多项式的项数相同。 ②单项式分别与多项式的每一项相乘时,要注意积的各项符号的确定，多项式中的每一项前面的符号是性质符号，同号相乘得正，异号相乘得负，最后写成省略加号的代数和的形式。
③单项式要乘以多项式的每一项，不要出现漏乘现象。 ④混合运算中，要注意运算顺序，结果有同类项的要合并同类项。 2．判断正误：
（1）m(a+b+c+d)=ma+b+c+d( )（2）
（3）(-2x)?（ax+b-3）=-2ax2-2bx-6x( ) 3．计算：
111a(a2?a?2)?a3?a2?1（ ） 2221(1)?6x(x?3y); (2)?2a2(ab?b2) （3） 2xy2?(?x2?2y2?1)
2
（4）?2abc?(abc?4735332ac?1) 2
（5） 3xy?2xy?x(y?2)?x? (6) an?1(an?1?an?1?an?3)
4．先化简,再求值： 2a(a-b)-b(2a-b)+2ab,其中a=2,b=-3 .
2m3523n 5． 若?2xy(?xy?3xy)?2xy?6xy,求m,n的值.
6．求证对于任意自然数n，代数式n(n+7)-n(n-5)+6的值都能被6整除。
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初一数学（下册）讲义
1.6 整式的乘法（三）
一、情境引入
拼图游戏：以下不同形状的长方形卡片各有若干张，请你选取其中的两张，用它们拼成更大的长方形，尽可
能采用多种拼法。
n m a
m n
b a b 选取以下四种典型图形加以研究：
n a
m 图1
n a b 图2
n m 图3
a b m 图4
b
问题1：分别列代数式表示所拼出矩形的面积，你能发现什么？说出包含什么运算？
列代数式表示四个图形的面积时，既可以用大长方形的长乘以宽，也可以转化为每一个小长方形面积之和，因此得到以上四个等式，其中都包含单项式乘以多项式的运算，拼图游戏正是对单项式与多项式相乘的一个几何解释。
问题2：将图1，2，3，4四个图形进一步拼摆，会得到更大的长方形，做一做，也许你会有新的发现。
n
a m b 图5
怎么求上图的面积？求面积的过程中需要用到什么运算？ 二、互动探究
1．从代数运算的角度来研究所拼图形，你会发现图5的面积既等于图1、图2面积之和，也等于图3、图4面积之和，最终都可以转化为四个小长方形面积之和。
由此得到： (m+b)(a+n) = m(a+n) + b (a+n) = ma+mn+ ba+bn,我们利用乘法分配律进行解释，现将其中的一个多项式看作一个整体，再运用单项式与多项式相乘的方法进行计算。具体过程如下：
(m+b)(a+n)
= m(a+n) + b (a+n)（把a+n看作一个整体） = ma+mn+ ba+bn (转化为单项式乘以单项式)
2．试着用自己的语言归纳、描述多项式乘以多项式的运算法则：
多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
3．在进行多项式乘法运算的过程中运用了哪些数学思想方法？
? 课堂训练
1.计算下列各题
(1)(1?x)(0.6?x) (2)(2x?y)(x?y) (3)(x?2y)2 (4)(?2x?5)2
222.计算：(1)(x?2)(y?3)?(x?1)(y?2) (2)a(a?1)?2(a?1)(a?2)
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初一数学（下册）讲义
【课堂总结】
（1）用一个多项式的每一项依次去乘另一个多项式的每一项，不要漏乘，在没有合并同类项之前，两 个多项式相乘展开后的项数应是原来两个多项式项数之积。
（2）多项式里的每一项都包含前面的符号，两项相乘时先判断积的符号，再写成代数和形式。 （3）展开后若有同类项要合并，化成最简形式。
3．计算：
①(m?2n)(m?2n), ②(2n?5)(n?3), ③(x?2y)2，
④(?a?b)(?a?b)， ⑤(x?a)(x?b), ⑥(ax?b)(cx?d)。
4．计算：?3xy(x2?2x?1)?(2x?3y)(3x?4y)
5．若(mx?y)(x?y)?2x2?nxy?y2, 求m，n的值.
226．已知(x?mx?n)(x?1)的结果中不含x项和x项，求m，n的值.
7．计算(a+b+c)(c+d+e),你有什么发现？
1.7 平方差公式(一)
? 发现特征、探索规律
我们已经学过了多项式的乘法，请计算下列各题：
(1) (x+2)(x-2) (2) (1+3a)(1-3a) (3) (x+5y)(x-5y) (4) (-m+n)(-m-n) 提出问题：你们能发现什么规律？
在多项式的乘法中，对于某些特殊形式的多项式相乘，我们把它写成公式，并加以熟记，以便遇到类似形式的
22
多项式相乘时就可以直接运用公式进行计算。以后经常遇到(a+b)(a-b)这种乘法，所以把(a+b)(a-b)＝a-b作为公式，叫做乘法的平方差公式。
在此基础上，让学生用语言叙述公式，总结公式结构特征：(1) 公式左边两个二项式必须是相同两数的和与差相乘；且左边两括号内的第一项相等、第二项符号相反[互为相反数(式)]；(2) 公式右边是这两个数的平方差；即右边是左边括号内的第一项的平方减去第二项的平方。 (3) 公式中的 a和b 可以代表数，也可以是代数式．
? 课堂训练
1、计算：①(2x +3 ) (2x–3) ②(2 a +3b ) (2 a–3b) ③（– 1 + 2a ） (– 1 – 2a)
2、计算：①(–2x +3 ) (3+2x) ②(3b+2a) (2 a–3 b)
3、计算：(-4a-1)(-4a+1)
4 、计算：(1)(x＋y－z)(x＋y＋z)； (2)(a－b＋c)(a＋b＋c)．
5、下列各式中哪些可以运用平方差公式计算 （1）?a?b??a?c? （2）?x?y???y?x?
（3）?ab?3x???3x?ab? （4）??m?n??m?n?
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6、判断正误：
?1??1?1x?1??x?1??x2?1 （ ） ?2??2?2 （3）?3x?y???3x?y??9x2?y2 （ ） （4）??2x?y???2x?y??4x2?y2（ ） （5）?a?2??a?3??a2?6 （ ） （6）?x?3??y?3??xy?9 （ ）
（1）?2a?b??2b?a??4a2?b2 （ ） （2）? 7、计算下列各式：
（1）?4a?7b??4a?7b? （2）??2m?n??2m?n?
（3）?a?
（5）2?3a23a2?2 （6）?8、填空：
?1?31??11?b??a?b? （4）??5?2x??5?2x? 2??32??????1??1?x?2??x?2????3?x???x?3? ?2??2?（1）?2x?3y??2x?3y?? （2）?4a?1?（3）
?????16a2?1
??9、求?x?y??x?y?x2?y2的值，其中x?5,y?2
?1?1??ab?ab?3??74922?9 （4）2x???3y?4x2?9y2
???
10、计算：（1）?a?b?c??a?b?c?
4 （2）x?2x?12x?1??x?2??x?2?x?4
222??????
11、若x2?y2?12,x?y?6,求x,y的值。
1.7 平方差公式(二)
一、复习回顾
1．平方差公式的内容： 2．判断正误：
(1)（a+5）(a-5)=a?5 (2) (3x+2)(3x-2)=3x?2
(3) (a-2b)(-a-2b)=a?4b (4) (100+2)(100-2)=100?2=9996
224a?b(5)(2a+b)(2a-b)=
2222222提问：⑴两个二项式相乘，因式要具备什么特征时，积才会是二项式？
(当因式是两个数的和与这两个数的差相乘时，积是二项式。) ⑵为什么具备这些特点的两个二项式相乘，积会是二项式？而它们的积又有什么特征？
(这是因为具备这样特征的两个二项式相乘，积的四项中，会出现互为相反数的两项，合并这两项的结果为零，于是就剩下两项了。而它们的积等于因式中这两个数的平方差。)
二、拼图游戏，验证公式
活动内容：如下图，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形。 1．请表示图中阴影部分的面积。
2．小颖将阴影部分拼成了一个长方形，这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？
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3．比较1，2的结果，你能验证平方差公式吗?
∴ a2-b2 = (a+b)(a-b)
4．(1)叙述平方差公式的数学表达式及文字表达式； (2)试比较公式的两种表达式在应用上的差异．
? 课堂训练
1、计算 (1)(
)(
)(
) (2)(
)(
)(
)
2、运用平方差公式计算
（1）(200+1)(200-1) （2）102×98 （3）203×197 （4）20
16?19 77222(1)a(a?b)(a?b)?ab (2)(2x?5)(2x?5)?2x(2x?3) 3、计算：
4、填空：(1) a2-4＝(a+2)( ) (2)25- x2＝(5-x)( ) (3)m2- n2＝( )( ) 5、判断正误
（1）(a+b)(-a-b)=a2-b2 (2) 计算：
1??11??1?a?b??b?a?3??32? ?21??11?11?1原式??b?a??b?a??b2?a22??32?34 ?3
6.观察下列各式：(x?1)(x?1)?x2?1(x?1)(x2?x?1)?x3?1(x?1)(x3?x2?x?1)?x4?1根据前面的规律可得：(x?1)(xn?xn?1??x?1)?________1.8 完全平方公式(一)
一、回顾与思考:复习已学过的平方差公式
1.平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2 ;
公式的结构特点：左边是两个二项式的乘积，即两数和与这两数差的积。 右边是两数的平方差。
2．应用平方差公式的注意事项：弄清在什么情况下才能使用平方差公式。
二、问题引入
一块边长为a米的正方形实验田，由于效益比较高，所以要扩大农田，将其边长增加b米，形成四块实验田，以种植不同的新品种（如图）。
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