抽象函数的对称性、奇偶性与周期性总结及习题
一.概念: 抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函数部分的难点,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表达式作为载体,因此理解研究起来比较困难，所以做抽象函数的题目需要有严谨的逻辑思维能力、丰富的想象力以及函数知识灵活运用的能力 1、周期函数的定义：
对于f(x)定义域内的每一个x，都存在非零常数T，使得f(x?T)?f(x)恒成立，则称函数f(x)具有周期性，则kT（k?Z,k?0）也是f(x)T叫做f(x)的一个周期，的周期，所有周期中的最小正数叫f(x)的最小正周期。
分段函数的周期：设y?f(x)是周期函数，在任意一个周期内的图像为C:y?f(x),
x??a,b?,T?b?a。把y?f(x)沿x轴平移KT?K(b?a)个单位即按向量a?(kT,0)平移，即得y?f(x)在其他周期的图像：
y?f(x?kT),x??kT?a,kT?b?。 ?f(x) x??a,b?f(x)??
??f(x?kT) x?kT?a,kT?b?2、奇偶函数：
设y?f(x),x??a,b?或x???b,?a???a,b? ①若f(?x)??f(x),则称y?f(x)为奇函数； ②若f(?x)?f(x)则称y?f(x)为偶函数。
分段函数的奇偶性
3、函数的对称性：
（1）中心对称即点对称：
①点A(x,y)与B(2a?x,2b?y)关于点(a,b)对称； ②点A(a?x,b?y)与B(a?x,b?y)关于(a,b)对称；
③函数y?f(x)与2b?y?f(2a?x)关于点(a,b)成中心对称； ④函数b?y?f(a?x)与b?y?f(a?x)关于点(a,b)成中心对称； ⑤函数F（x,y)?0与F(2a?x,2b?y)?0关于点(a,b)成中心对称。 （2）轴对称：对称轴方程为：Ax?By?C?0。 ①点A(x,y)与B(x/,y/)?B(x?线Ax?By?C?0成轴对称； ②函数y?f(x)与y?2B(Ax?By?C)2A(Ax?By?C)?f(x?)关于直线
A2?B2A2?B2试卷第1页，总12页
2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)关于直2222A?BA?BAx?By?C?0成轴对称。
③F(x,y)?0与F(x?2A(Ax?By?C)2B(Ax?By?C),y?)?0关于直线 2222A?BA?BAx?By?C?0成轴对称。
二、函数对称性的几个重要结论
（一）函数y?f(x)图象本身的对称性（自身对称）
若f(x?a)??f(x?b)，则f(x)具有周期性；若f(a?x)??f(b?x)，则f(x)具有对称性：“内同表示周期性，内反表示对称性”。
1、f(a?x)?f(b?x) ?y?f(x)图象关于直线x?(a?x)?(b?x)a?b对称 ?22推论1：f(a?x)?f(a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论2、f(x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 推论3、f(?x)?f(2a?x) ?y?f(x)的图象关于直线x?a对称 2、f(a?x)?f(b?x)?2c ?y?f(x)的图象关于点(a?b,c)对称 2推论1、f(a?x)?f(a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论2、f(x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称 推论3、f(?x)?f(2a?x)?2b ?y?f(x)的图象关于点(a,b)对称
（二）两个函数的图象对称性（相互对称）（利用解析几何中的对称曲线轨迹方程理解） 1、偶函数y?f(x)与y?f(?x)图象关于Y轴对称 2、奇函数y?f(x)与y??f(?x)图象关于原点对称函数 3、函数y?f(x)与y??f(x)图象关于X轴对称 4、互为反函数y?f(x)与函数y?f?1(x)图象关于直线y?x对称
5.函数y?f(a?x)与y?f(b?x)图象关于直线x?b?a对称 2推论1:函数y?f(a?x)与y?f(a?x)图象关于直线x=a对称 推论2:函数y?f(x)与y?f(2a?x) 图象关于直线x?a对称
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推论3:函数y?f(?x)与y?f(2a?x)图象关于直线x??a对称
（三）抽象函数的对称性与周期性
1、抽象函数的对称性
性质1 若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三个式子成立且等价： （1）f(a＋x)＝f(a－x) （2）f(2a－x)＝f(x) （3）f(2a＋x)＝f(－x) 性质2 若函数y＝f(x)关于点（a，0）中心对称，则以下三个式子成立且等价：
（1）f(a＋x)＝－f(a－x)（2）f(2a－x)＝－f(x)（3）f(2a＋x)＝－f(－x)
易知，y＝f(x)为偶（或奇）函数分别为性质1（或2）当a＝0时的特例。
2、复合函数的奇偶性
定义1、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝f[g(x)]，则复数函数y＝f[g(x)]为偶函数。
定义2、 若对于定义域内的任一变量x，均有f[g(－x)]＝－f[g(x)]，则复合函数y＝f[g(x)]为奇函数。 说明： （1）复数函数f[g(x)]为偶函数，则f[g(－x)]＝f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝f[g(x)]，复合函数y＝f[g(x)]为奇函数，则f[g(－x)]＝－f[g(x)]而不是f[－g(x)]＝－f[g(x)]。
（2）两个特例：y＝f(x＋a)为偶函数，则f(x＋a)＝f(－x＋a)；y＝f(x＋a)为奇函数，则f(－x＋a)＝－f(a＋x)
（3）y＝f(x＋a)为偶（或奇）函数，等价于单层函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称（或关于点（a，0）中心对称）
3、复合函数的对称性
性质3复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(b－x)关于直线x＝（b－a）/2轴对称 性质4、复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(b－x)关于点（（b－a）/2，0）中心对称
推论1、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝f(a－x)关于y轴轴对称 推论2、 复合函数y＝f(a＋x)与y＝－f(a－x)关于原点中心对称
4、函数的周期性
若a是非零常数，若对于函数y＝f(x)定义域内的任一变量x点有下列条件之一成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且2|a|是它的一个周期。 ①f(x＋a)＝f(x－a) ②f(x＋a)＝－f(x) ③f(x＋a)＝1/f(x) ④f(x＋a)＝－1/f(x) 5、函数的对称性与周期性
性质5 若函数y＝f(x)同时关于直线x＝a与x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质6、若函数y＝f(x)同时关于点（a，0）与点（b，0）中心对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝2|a－b|
性质7、若函数y＝f(x)既关于点（a，0）中心对称，又关于直线x＝b轴对称，则函数f(x)必为周期函数，且T＝4|a－b|
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6、函数对称性的应用
（1）若y?f(x)关于点（h,k)对称，则x?x?2h,y?y?2k,即
//f(x)?f(x/)?f(x)?f(2h?x)?2k
f(x1)?f(x2)???f(xn)?f(2h?xn)?f(2h?xn?1)???f(2h?x1)?2nk
（2）例题 1、f(x)?11关于点（，）对称：f(x)?f(1?x)?1; x22a?aax4x?1f(x)?x?1?2x?1关于（0，1）对称：f(x)?f(?x)?2
2f(x)?1111(??R,x?0)关于（，）对称：f（x)?f()?1 ?22xx?1 2、奇函数的图像关于原点（0，0）对称：f(x)?f(?x)?0。
3、若f(x)?f(2a?x)或f(a?x)?f(a?x),则y?f(x)的图像关于直线
x?a对称。设f(x)?0有n个不同的实数根，则
x1?x2???xn?x1?(2a?x1)?x2?(2a?x2)???xn?(2a?xn)?na.
22(当n?2k?1时，必有x1?2a?x1,?x1?a)
（四）常用函数的对称性
三、函数周期性的几个重要结论
1、f(x?T)?f(x)( T?0) ?y?f(x)的周期为T，kT(k?Z)也是函数的周期 2、f(x?a)?f(x?b) ?y?f(x)的周期为T?b?a 3、f(x?a)??f(x) ?y?f(x)的周期为T?2a 4、f(x?a)?1 ?y?f(x)的周期为T?2a f(x)试卷第4页，总12页
5、f(x?a)??1 ?y?f(x)的周期为T?2a f(x)6、f(x?a)?1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?3a
1?f(x)1 ?y?f(x)的周期为T?2a
f(x)?17、 f(x?a)??8、f(x?a)?1?f(x) ?y?f(x)的周期为T?4a
1?f(x)9、f(x?2a)?f(x?a)?f(x) ?y?f(x)的周期为T?6a
10、若p?0,f(px)?f(px?pp) , 则T?. 2211、y?f(x)有两条对称轴x?a和x?b (b?a)?y?f(x) 周期T?2(b?a) 推论：偶函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?y?f(x) 周期T?2a 12、y?f(x)有两个对称中心(a,0)和(b,0) (b?a) ?y?f(x) 周期T?2(b?a) 推论：奇函数y?f(x)满足f(a?x)?f(a?x)?y?f(x) 周期T?4a 13、y?f(x)有一条对称轴x?a和一个对称中心(b,0)(b?a)?f(x)的T?4(b?a) 四、用函数奇偶性、周期性与对称性解题的常见类型
灵活应用函数奇偶性、周期性与对称性，可巧妙的解答某些数学问题，它对训练学生分
析问题与解决问题的能力有重要作用.下面通过实例说明其应用类型。 1.求函数值
例1.（1996年高考题）设f(x)是(??,??)上的奇函数，f(2?x)??f(x),当0?x?1时，f(x)?x，则f(7.5)等于（-0.5）
（A）0.5; （B）-0.5; （C）1.5; （D）-1.5.
例2．（1989年北京市中学生数学竞赛题）已知f(x)是定义在实数集上的函数，且
f(x?2)?1?f(x)??1?f(x)，f(1)?2?3,求f(1989)的值.f(1989)?3?2。
2、比较函数值大小
例3.若f(x)(x?R)是以2为周期的偶函数，当x??0,1?时，f(x)?x11998,试比较
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