f(98101104)、f()、f()的大小. 19171511998解：?f(x)(x?R)是以2为周期的偶函数，又?f(x)?x在?0,1?上是增函数，且
116141161410198104???1，?f()?f()?f(),即f(?f()?f(). 1719151719151719153、求函数解析式 0?例4.（1989年高考题）设f(x)是定义在区间(??,??)上且以2为周期的函数，对
k?Z，用Ik表示区间(2k?1,2k?1),已知当x?I0时，f(x)?x2.求f(x)在Ik上的
解析式.
解：设x?(2k?1,2k?1),?2k?1?x?2k?1??1?x?2k?1
?x?I0时，有f(x)?x2,?由?1?x?2k?1得f(x?2k)?(x?2k)2
?f(x)是以2 为周期的函数，?f(x?2k)?f(x),?f(x)?(x?2k)2.
例5．设f(x)是定义在(??,??)上以2为周期的周期函数，且f(x)是偶函数，在区间?2,3?上，f(x)??2(x?3)?4.求x??1,2?时，f(x)的解析式.
2解：当x???3,?2?，即?x??2,3?，
f(x)?f(?x)??2(?x?3)2?4??2(x?3)2?4
又f(x)是以2为周期的周期函数，于是当x??1,2?，即?3?x?4??2时，
有f(x)?f(x?4)?f(x)??2?(x?4)?3??4??2(x?1)?4(1?x?2).22
?f(x)??2(x?1)2?4(1?x?2).
4、判断函数奇偶性
例6.已知f(x)的周期为4，且等式f(2?x)?f(2?x)对任意x?R均成立， 判断函数f(x)的奇偶性.
解：由f(x)的周期为4，得f(x)?f(4?x)，由f(2?x)?f(2?x)得
f(?x)?f(4?x)，?f(?x)?f(x),故f(x)为偶函数.
5、确定函数图象与x轴交点的个数
例7.设函数f(x)对任意实数x满足f(2?x)?f(2?x)，f(7?x)?
f(7?x)且f(0)?0,判断函数f(x)图象在区间??30,30?上与x轴至少有多少个交点.
试卷第6页，总12页
解：由题设知函数f(x)图象关于直线x?2和x?7对称，又由函数的性质得
f(x)是以10为周期的函数.在一个周期区间?0,10?上，
f(0)?0,f(4)?f(2?2)?f(2?2)?f(0)?0且f(x)不能恒为零,
故f(x)图象与x轴至少有2个交点.
而区间??30,30?有6个周期，故在闭区间??30,30?上f(x)图象与x轴至少有13个交点.
6、在数列中的应用
例8.在数列?an?中，a1?3,an?1?an?1(n?2)，求数列的通项公式，并计算
1?an?1a1?a5?a9???a1997.
分析：此题的思路与例2思路类似. 解：令a1?tg?,则a2?1?a11?tg????tg(??) 1?a11?tg?41?a2a3??1?a2????1?tg(1?tg(??4??)?tg(2???)?4??)
41?an?1???????an?1?tg?(n?1)????,于是an??tg?(n?1)???41?an?14????不难用归纳法证明数列的通项为：an?tg(?4n??4??)，且以4为周期.
于是有1，5，9 ?1997是以4为公差的等差数列，
?a1?a5?a9???a1997，由1997?1?(n?1)?4得总项数为500项， ?a1?a5?a9???a1997?500?a1?5003.
7、在二项式中的应用
例9.今天是星期三，试求今天后的第92天是星期几？
分析：转化为二项式的展开式后，利用一周为七天这个循环数来进行计算即可. 解：?9292019091?(91?1)92?C929192?C929191???C92912?C92?91?1
920190?9292?(7?13?1)92?C92(7?13)92?C92(7?13)91???C92(7?13)2?C(7?13)?1因为展开式中前92项中均有7这个因子，最后一项为1，即为余数， 故92天为星期四.
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929192
8、复数中的应用
例10.（上海市1994年高考题）设z??且大于1的正整数n中最小的是??
（A） 3 ； （B）4 ； （C）6 ； （D）7. 分析：运用z??n13?i(i是虚数单位)，则满足等式zn?z,2213?i方幂的周期性求值即可. 22n?1解：?z?z,?z(z?1)?0?zn?1?1，
?z3?1,?n?1必须是3的倍数,即n?1?3k(k?N),?n?3k?1(k?N).?k?1时,n最小,?(n)min?4.故选择(B)
9、解“立几”题
例11.ABCD—A1B1C1D1是单位长方体，黑白二蚁都从点A出发，沿棱向前爬行，每走一条棱称为“走完一段”。白蚁爬行的路线是AA1?A1D1??,黑蚁爬行的路线是
AB?BB1??.它们都遵循如下规则：所爬行的第i?2段所在直线与第i段所在直
线必须是异面直线（其中i?N).设黑白二蚁走完第1990段后，各停止在正方体的某个顶点处，这时黑白蚁的距离是??
（A）1； （B）2；（C）3 ； （D）0.
解：依条件列出白蚁的路线AA1?A1D1?D1C1?C1C?CB?
BA?AA1??,立即可以发现白蚁走完六段后又回到了A点.可验证知：黑白二蚁走
完六段后必回到起点，可以判断每六段是一个周期.
1990=6?331?4，因此原问题就转化为考虑黑白二蚁走完四段后的位置，不难计算出在走完四段后黑蚁在D1点，白蚁在C点，故所求距离是2.
例题与应用
例1：f(x) 是R上的奇函数f(x)=－ f(x+4) ，x∈[0，2]时f(x)=x，求f(2007) 的值 例2：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+2)[1－f(x)]=1+f(x)，f(1)=2，求f(2009) 的值 。故f(2009)= f(251×8+1)=f(1)=2
例3：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x???2,0?时，f(x)=－2x+1，则当x??4,6?时求f(x)的解析式
例4：已知f(x)是定义在R上的函数，且满足f(x+999)=?1，f(999+x)=f(999－f(x)试卷第8页，总12页
x)， 试判断函数f(x)的奇偶性.
例5：已知f(x)是定义在R上的偶函数，f(x)= f(4-x)，且当x???2,0?时，f(x)是减函数，求证当x??4,6?时f(x)为增函数
例6：f(x)满足f(x) =-f(6-x)，f(x)= f(2-x)，若f(a) =-f(2000)，a∈[5，9]且f(x)在[5，9]上单调.求a的值.
例7：已知f(x)是定义在R上的函数，f(x)= f(4－x)，f(7+x)= f(7－x),f(0)=0， 求在区间[－1000，1000]上f(x)=0至少有几个根？
解：依题意f(x)关于x=2，x=7对称，类比命题2（2）可知f(x)的一个周期是10 故f(x+10)=f(x) ∴f(10)=f(0)=0 又f(4)=f(0)=0 即在区间(0，10]上，方程f(x)=0至少两个根
又f(x)是周期为10的函数，每个周期上至少有两个根，
2000=401个根. 10例1、 函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)的图象之间（D ）
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
解：据复合函数的对称性知函数y＝－f(x＋4)与y＝f(6－x)之间关于 点（（6－4）/2，0）即（1，0）中心对称，故选D。（原卷错选为C） 例2、 设f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。（2001年理工类第22题）
例3、 设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时f(x)＝x，则f(7.5)等于（-0.5）（1996年理工类第15题）
例4、 设f(x)是定义在R上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)，f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（C ）
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数 六、巩固练习
因此方程f(x)=0在区间[－1000，1000]上至少有1+2?1、函数y＝f(x)是定义在实数集R上的函数，那么y＝－f(x＋4)与y＝ f(6－x)的图象（ ）。
A．关于直线x＝5对称 B．关于直线x＝1对称 C．关于点（5，0）对称 D．关于点（1，0）对称
2、设f(x)是（－∞，＋∞）上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时， f(x)＝x，则f(7.5)=（ ）。
A．0.5 B．－0.5 C．1.5 D．－1.5
3、设f(x)是定义在（－∞，＋∞）上的函数，且满足f(10＋x)＝f(10－x)， f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是（ ）。
A．偶函数，又是周期函数 B．偶函数，但不是周期函数 C．奇函数，又是周期函数 D．奇函数，但不是周期函数
4、f(x)是定义在R上的偶函数，图象关于x＝1对称，证明f(x)是周期函数。 参考答案：D，B，C，T＝2。
｛xn｝中，已知x1?x2?1，xn?2?xn?1?xn(n?N*)，5、在数列求x100=-1．
一、选择题（每题5分，共40分）
试卷第9页，总12页
1．定义在R上的函数f(x)既是奇函数又是周期函数，若f(x)的最小正周期是?，且当5????x??0，?时，f(x)?cosx，则f()的值为
3?2?A.?3311 B. C.? D.
2222x
2．偶函数y＝f(x)满足条件f(x＋1)＝f(x－1)，且当x∈[－1,0]时，f(x)＝3＋则f(log15)的值等于( )
34，9A．－1 B. 29101 C. D．1 50453．函数f?x??lnx2?1的图像大致是（ ）
??
4．设f?x?是定义在R上的奇函数，且当x?0时，f?x??x.若对任意的
2x??a,a?2?,
不等式f?x?a??f?2x?恒成立,则实数a的取值范围是( )
2 C．a?2 D．a?0
A．a?0 B．a?5．函数f（x）=1的最大值是（ ）
1?x(1?x)
B.A.4 5
5 4 C.
4 3D. 3 46． 已知f(x)是定义在R上且以3为周期的奇函数，当x?(0,)时，
32f(x)?ln(x2?x?1)，则函数f(x)在区间[0,6]上的零点个数是（ ）
A．3 B．5 C．7 D．9
5f(x)xf(x)?2x?1?x?f(?) 21111 ?? 2442lg(1?x2)8．.若函数f(x)?是偶函数，则常数a的取值范围是( )
|a?x|?xA.a?1或a??1
B.a?1
C.?1?a?1
D.0?a?1
试卷第10页，总12页