?Gm0M0 G0?2?r0 ⑥
由⑤⑥得:
MM0=95(倍)
12.(07上海19A)宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球,经过时间t小球落回原处;
若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球,需经过时间5t小球落回原处.(取地球表面重力加速度g=10 m/s,空气阻力不计)? (1)求该星球表面附近的重力加速度g′.?
(2)已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地=1∶4,求该星球的质量与地球质量之比M星∶M地.
答案 (1)2 m/s2 (2)1∶80
解析 (1)在地球表面竖直上抛小球时,有t =
2v0g2
,在某星球表面竖直上抛小球时,有5t
=
2v0g'
15所以g′=g=2 m/s?
2
(2)由G
MmR2?mg,得M?gRG2,所以M星M地?g'R星gR地22?1121?()? 548013.(06江苏14)如图所示,A是地球的同步卫星,另一卫星B的圆形轨道位于赤道平面
内,离地面高度为h.已知地球半径为R,地球自转角速度为ω0,地球表面的重力加速 度为g,O为地球中心. （1）求卫星B的运行周期.?
（2）如卫星B绕行方向与地球自转方向相同,某时刻A、B两卫星相距最近（O、B、A在同一直线上）,则至少经过多长时间,它们再一次相距最近？? 答案 (1)2π(R?h)gR23 (2)
gR2π23 ??0(R?h)解析 （1）由万有引力定律和向心力公式得?
GMm(R?h)MmR22?m4πT22B(R?h) ①
G?mg ②
联立①②得
TB=2π(R?h)gR23
③ ④ ⑤
（2）由题意得(ωB-ω0)t =2π 由③得ωB=
gR23(R?h)
代入④得t =
gR2π23 ??0(R?h)14.(06四川理综23)荡秋千是大家喜爱的一项体育活动.随着科技的迅速发展,将来的某一天,
同学们也许会在其他星球上享受荡秋千的乐趣.假设你当时所在星球的质量是M、半径为R,可将人视为质点,秋千质量不计、摆长不变、摆角小于90°,万有引力常量为G.那么, （1）该星球表面附近的重力加速度g星等于多少？
（2）若经过最低位置的速度为v0,你能上升的最大高度是多少？? 答案 (1)
GMR2 (2)
Rv02GM22
解析 （1）设人的质量为m,在星球表面附近的重力等于万有引力,有 mg星=
GMmR2 ?
解得g星=
GMR2（2）设人能上升的最大高度为h,由功能关系得 mg星h=
12mv0
2解得h=
Rv02GM22
15.(06广东17)宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统,通常可忽略其他星体对它们的引力作用.已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式:一种是三颗星位于同一直线上,两颗星围绕中央星在同一半径为R的圆轨道上运行;另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上,并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行.设每个星体的质量均为m.
(1)试求第一种形式下,星体运动的线速度和周期.?
(2)假设两种形式下星体的运动周期相同,第二种形式下星体之间的距离应为多少?? 答案 (1)
5GmR2R 4πR35Gm (2)(1251)3R
解析 (1)对于第一种运动情况,以某个运动星体为研究对象,根据牛顿第二定律和万有引力定律有:? F1=
GmR22F2?2
Gm22(2R)
F1+F2=mv/R
运动星体的线速度:v =
2πRv5GmR2R
周期为T,则有T=
R3
T=4π
5Gm
(2)设第二种形式星体之间的距离为r,则三个星体做圆周运动的半径为? R′=
r/2cos30?
由于星体做圆周运动所需要的向心力靠其它两个星体的万有引力的合力提供,由力的合成和牛顿运动定律有： F合=2Gmr4πT22cos30°?
2F合=m
2R′?
所以r=(1251)3R
?题组二
一、选择题
1.(06北京理综18)一飞船在某行星表面附近沿圆轨道绕该行星飞行,认为行星是密度均匀的球体,要确定该行星的密度,只需要测量
（ ）
B.飞船的运行速度? D.行星的质量?
A.飞船的轨道半径 C.飞船的运行周期 答案 C 解析
万有引力提供向心力,则
GMmr2?m4πrT22,?
由于飞船在行星表面附近飞行,其运行轨道半径r近似为行星的半径,所以满足
M=??43πr,
3πGT23联立得??.?
2.(06重庆理综15)宇航员在月球上做自由落体实验,将某物体由距月球表面高h处释放,经时间t后落到月球表面（设月球半径为R）.据上述信息推断,飞船在月球表面附近绕月球做匀速圆周运动所必须具有的速率为 （ ）
A.
2Rht B.
2Rht C.
Rht D.
Rh2t
答案 B
解析 设月球表面的重力加速度为g月,绕月球表面做匀速圆周运动的线速度为v,根据万有引力定律：
GMmR2?mg月
v2 ①
绕月卫星：
GMmR2?mR ②
根据月球表面物体做自由落体运动： h =
12g月t
2 2Rht2 ③
由①②③得：v =?2Rht
3.(06全国卷Ⅰ16)我国将要发射一颗绕月运行的探月卫星“嫦娥1号”.设该卫星的轨道是圆形的,且贴近月球表面.已知月球的质量约为地球质量的1/81,月球的半径约为地球半径的1/4,地球上的第一宇宙速度约为 7.9 km/s,则该探月卫星绕月运行的速率约为 （ ） A.0.4 km/s
B.1.8 km/s
C.11 km/s
D.36 km/s?? 答案 B 解析
设地球质量、半径分别为m、R,月球质量、半径分别为m、r,则m=
GMmR2M81,r?14R.
在星体表面,物体的重力近似等于万有引力,若物体质量为m0,则
0=m0g,即GM=gR；
2
在月球表面,满足：Gm=g′r,由此可得：g′=
2
mRMr22g?1681g,地球表面的第一宇宙速度
v1=gR=7.9 km/s,在月球表面,有v′=g'r?1681g?14R?29gR?29×7.9 km/s
≈1.8 km/s.
4.(05全国卷Ⅰ16)把火星和地球绕太阳运行的轨道视为圆周,由火星和地球绕太阳运动的周期之比可求得( )
A.火星和地球的质量之比
B.火星和太阳的质量之比
D.火星和地球绕太阳运行速度大小之比
C.火星和地球到太阳的距离之比 答案 CD
解析 设火星和地球质量分别为m1、m2,它们到太阳的距离分别为r1、r2,它们绕太阳的运行速度分别为v1、v2,
由万有引力提供向心力得 GMmrr1r22?m4πrTv1v222?mv2r
?3T1T222,?r2r1
由上式可知C、D正确.
5.(05全国卷Ⅱ18)已知引力常量G、月球中心到地球中心的距离R和月球绕地球运行的周期
T.仅利用这三个数据,可以估算出的物理量有? ( ) A.月球的质量 C.地球的半径 答案 BD
解析 由万有引力提供向心力GMmR2
B.地球的质量
D.月球绕地球运行速度的大小
?mv2R?m4πRT22
得:M?4πRGT223v?GMR
6.(05全国卷Ⅲ21)最近,科学家在望远镜中看到太阳系外某一恒星有一行星,并测得它围绕该恒星运行一周所用的时间为1 200年,它与该恒星的距离为地球到太阳距离的100倍.假定该行星绕恒星运行的轨道和地球绕太阳运行的轨道都是圆周,仅利用以上两个数据可以求出的量有 ( ) A.恒星质量与太阳质量之比 C.行星质量与地球质量之比 答案 AD
B.恒星密度与太阳密度之比 D.行星运行速度与地球公转速度之比