第一讲 任意角与三角函数诱导公式
1. 知识要点
角的概念的推广：
平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所的图形。按逆时针方向旋转所形成的角叫正角，按顺时针方向旋转所形成的角叫负角，一条射线没有作任何旋转时，称它形成一个零角。射线的起始位置称为始边，终止位置称为终边。 象限角的概念：
在直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限的角。如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何象限。
终边相同的角的表示：
?终边与?终边相同(?的终边在?终边所在射线上)?????2k?(k?Z)。 注意：相等的角的终边一定相同，终边相同的角不一定相等.
?终边在x轴上的角可表示为：??k?,k?Z；
?终边在y轴上的角可表示为：??k??,k?Z2?；
?终边在坐标轴上的角可表示为：??k?,k?Z. 2角度与弧度的互换关系：360°=2? 180°=? 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′
注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零.
?与?2的终边关系：
任意角的三角函数的定义:
设?是任意一个角，P(x,y)是?的终边上的任意一点（异于原点）， 它与原点的距离是r?x2?y2?0，那么sin??yx,cos??， rrtan??xryr,?x?0?，cot??(y?0)，sec???x?0?，csc???y?0?。 xxyy三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。
三角函数线的特征：正弦线MP“站在x轴上(起点在x轴上)”、余弦线OM“躺在x轴上(起点是原点)”、正切线AT“站在点A(1,0)处(起点是A)”
同角三角函数的基本关系式：
1. 平方关系：sin??cos??1,1?tan??sec?,1?cot2. 倒数关系：sin?csc?=1,cos?sec?=1,tan?cot?=1, 3. 商数关系：tan??
三角函数诱导公式：“ （
22222??csc2?
注意：1.角?的任意性。 2.同角才可使用。 3.熟悉公式的变形形式。
sin?cos?,cot?? cos?sin?k???）”记忆口诀: “奇变偶不变，符号看象限” 2
典型例题
例1．求下列三角函数值： （1）cos210o； (2)sin
例2．求下列各式的值： （1）sin(－5? 44?)； (2)cos(－60o)－sin(－210o) 3
例3．化简 sin(1440???)?cos(??1080?)cos(?180???)?sin(???180?)
例4．已知cos(π+?)=－
12，3?2
32
(B)
12 (C)－32 (D)±32 例5、求证： sin(?2??)?cos(3??2??)sin(4k???)sin(??) tan(2k???)?cot(?k???)?2cos(5???)?cos(?2??)
例6 求cos2(?4??)?cos2(?4??)的值。
）．
例7 若f(cosx)?cos17x,
求f(sinx)
课后练习
1.在直角坐标系中，若角?与?终边互为反向延长线，?与?之间的关系是（ ）
??2k????k?Z?A．??? B．
???2k?1?????k?Z?C．????? D．
2.圆内一条弦的长等于半径，这条弦所对的圆心角是（ ）
A．等于1弧度 B．大于1弧度 C．小于1弧度 D．无法判断 3. 角α的终边上有一点P(a，a)，a∈R，且a≠0，则sinα的值是( ) A．
2 2 B．-
2 2C．±2 2 D．1
4. α是第二象限角，其终边上一点P（x，5），且cosα＝
2x，则sinα的值为（ ） 4
10A．4
6B．4
2C．4 10D．－4
???5.设角α是第二象限角，且|cos2|＝－cos2，则角2是（ ）
A．第一象限角
B．第二象限角
C．第三象限角
D．第四象限角
sin??cos???6. 已知
54，则sin??cos?等于（ ）
9997A．4 B．－16 C．－32 D．32
1?sin2x1?cos2xy??cosxsinx7. 函数的值域是（ ）
A．｛0，2｝ B．｛－2，0｝ C．｛－2，0，2｝ D．｛－2，2｝ 8. 化简1?2sin4cos4的结果是（ ）
A、sin4?cos4 B、sin4?cos4 C、cos4?sin4 D、?sin4?cos4 9. 若sin??cos??2，则tan??cot?等于（ ）
A、1 B、2 C、-1 D、-2
10. 若A、B、C为△ABC的三个内角，则下列等式成立的是（ ）
A、sin(B?C)?sinA B、cos(B?C)?cosA C、tan(B?C)?tanA D、cot(B?C)?cotA
1sec(??)?sin(???90?)11. 若sin(???)?，则的值是（ ） ??10csc(540??)?cos(???270)A、?1113 B、? C、 D、? 32733212. 若sin?、cos?是关于x的方程4x?2mx?m?0的两个实根，则m值为（ ） A、m???4,0?? B、m?1?5 C、m?1?5 D、m?1?5 ??3?13. .定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，且当x∈［0，
π5π］时，f（x）=sinx，则f（）的值为( ) 231 2A.－ B.
1 2 C.－
3 2 D.
3 214. 函数y?lg(2cosx?3)的单调递增区间为 ( ) ． A．(2k???,2k??2?)(k?Z) C．(2k??
B．(2k???,2k??11?)(k?Z) 6?6,2k?)(k?Z)
D．(2k?,2k??)(k?Z)
6?15. 下列说法只不正确的是 ( )
A．正弦函数、余弦函数的定义域是R，值域是[-1，1]； B．余弦函数当且仅当x=2kπ( k∈Z) 时，取得最大值1； C．余弦函数在[2kπ+
?3?,2kπ+]( k∈Z)上都是减函数； 22D．余弦函数在[2kπ-π,2kπ]( k∈Z)上都是减函数
16. 若a=sin460,b=cos460,c=tan360，则a、b、c的大小关系是( )
A． c> a > b B. a > b> c C. a >c> b D. b> c> a
18. 若?是第四象限角，则???是 （ ）
A． 第一象限 B.第二象限 C. 第三象限期 D.第四象限
19.若sin??3cos??0，则
cos??2sin?的值为 .
2cos??3sin?
20.sin
9?7?tan= _________ 43?21.若?是第二象限的角，则2是第 象限的角。
8???0,2??上终边与4的角终边相同的角
22.若?角的终边与5角的终边相同，则在
为 ；
23.终边在x轴上的角的集合为 ，终边在y轴上的角的集合为 ，终边在坐标轴上的角的集合为 。
f(x)?24. 已知
1?x??????，??1?x，若?2?，求f(cos?)?f(?cos?)的值。
25. 已知sin(???)?
1，求sin(2???)?cot(???)?cos?的值. 226. 已知：sin??cos??
27. 若cos α＝
2333441，求sin??cos?和sin??cos?的值。 2，α是第四象限角，求
sin(??2?)?sin(???3?)cos(??3?)cos(???)?cos(????)cos(??4?)的值