第二讲 三角函数的图像与性质
函数 y?sinx y?cosx y?tanx 图象 定义域 值域 奇偶性 最小正周期 对称轴 对称 中心 单调递 增区间 单调递 减区间 [?R R {x|x??2?k?,k?Z} R [?1,1] [?1,1] 奇函数 偶函数 奇函数 2?；T＝x?2?? 2?；T＝2?? ?；T＝无 ((??? ?2?k?,k?Z (x?k?,k?Z (k?,0),k?Z ?2?k?,0),k?Z ?2k?,0),k?Z2?2 ?2?2k?,?2?2k?],k?Z [???2k?,2k?],k?Z [2k?,2k???],k?Z ?k?,?k?),k?Z?3?[?2k?,?2k?],k?Z22 无 （其中A?0，??0）1．函数y?Asin(?x??)?B
最大值是A?B，最小值是B?A，周期是T?2??，频率是f??，相位是2??x??，初相是?；其图象的对称轴是直线?x???k??与直线y?B的交点都是该图象的对称中心。
?2(k?Z)，凡是该图象
2．由y＝sinx的图象变换出y＝sin(ωx＋?)的图象一般有两个途径，只有区别开这两个途径，才能灵活进行图象变换。
3．由y＝Asin(ωx＋?)的图象求其函数式： 4．五点法作y=Asin（ωx+?）的简图：
典例解析 例1．（2000全国，5）函数y＝－xcosx的部分图象是（ ）
例2．试述如何由y=sin（2x+
例3．（2003上海春，15）把曲线ycosx+2y－1=0先沿x轴向右平移
13π）的图象得到y=sinx的图象。 3?2个单位，再
沿y轴向下平移1个单位，得到的曲线方程是（ ）
A．（1－y）sinx+2y－3=0 B．（y－1）sinx+2y－3=0 C．（y+1）sinx+2y+1=0 D．－(y+1)sinx+2y+1=0
例4．（2003上海春，18）已知函数（fx）=Asin（ωx+?）（A>0，ω>0，x∈R）在一个周期内的图象如图所示，求直线y=3与函数f（x）图象的所有交点的坐标。
例5．（1）已知f（x）的定义域为［0，1］，求f（cosx）的定义域；
（2）求函数y=lgsin（cosx）的定义域；
例6．求下列函数的单调区间：
（1）y=1sin（π4－2x23）；（2）y=－｜sin（x+π4）｜。
例7．关于x的函数f（x）=sin（x+?）有以下命题：
①对任意的?，f（x）都是非奇非偶函数； ②不存在?，使f（x）既是奇函数，又是偶函数； ③存在?，使f（x）是奇函数； ④对任意的?，f（x）都不是偶函数。 其中一个假命题的序号是 .
例8．设f(x)?asin?x?bcos?x(??0)的周期T??，最大值f(?12)?4，
（1）求?、a、b的值；
???)的值。 （2）若?、?为方程f(x)?0的两根，?、?终边不共线，求tan(
例9．函数y＝
1的最大值是（ ）
2?sinx?cosxC．1－
A．
22－1 B．＋1 2222 D．－1－ 22课后练习
1、y?3sin(2x??4)的最小正周期是 、对称轴是 、单调递增区间是 、单调递减区间是 ；振幅是 、相位是 、初相是 。用五点法作出该函数的图象。并说明该函数怎样由y?sinx变化而来。 2、求y?3sin(2x??4),x?[???,]的单调递减区间。 22
3、比较大小
?cos(?),sin8?6??,sin； ?tan1,tan2,tan3 76
4、求y?3sin(2x??3),x?[???,]的最大值、最小值及对应的x的取值范围。 66
5、求y?3asin(2x??3),x?[???,],a?0的最值及对应的x的取值。 66
6、若y?2asin(2x??)?b,x?[0,]的最大值是1，最小值是?5，求a，b的值。 32?