教案：第三章 变量之间的关系
一、教学目标
1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，进一步发展符号感和抽象思维．
2．能发现实际情境中的变量及其相互关系，并确定其中的自变量或因变量．
3．能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，并能用自己的语言进行表达，发展有条理地进行思考和表达的能力．
4．能根据具体问题，选取用表格或关系式来表示某些变量之间的关系，并结合对变量之间关系的分析，尝试对变化趋势进行初步的预测．
5．体验从运动变化的角度认识数学对象的过程，发展对数学的认识．
二、课时安排建议
1小车下滑的时间～～～～～～～～～～～～～1课时 2变化中的三角形～～～～～～～～～～～～～1课时 3温度的变化～～～～～～～～～～～～～～～1课时 4速度的变化～～～～～～～～～～～～～～～1课时 回顾与思考～～～～～～～～～～～～～～～～1课时 三、教学建议
1．创设丰富的现实情境，使学生在对变化规律的丰富经历中理解变量之间的相依关系．
本章主要讨论的是现实世界中大量存在的变量，讨论如何用数学的方法去理解、表示变量之间的关系，并解决一些问题和进行预测．因此在教学中，教师要创设丰富的现实情境使学生体会变量以及变量之间相互依赖的关系，而不是形式地讨论函数的有关概念．教师可以充分利用教科书中提供的问题，也可以根据学生实际创设新的情境，或鼓励学生自己从生活中寻找有关素材供课堂讨论． 2．注重使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程．
运用数学的语言、方法、知识去理解、刻画现实世界中的变化规律，是本章学习的主要目标之一．而实现这一目标的重要途径是使学生亲身经历探索现实世界变化规律的过程，在探索活动中理解变量之间的相依关系，并尝试用语言和符号去刻画． 例如，在探索小车下滑过程中下滑时间与支撑物高度的关系时，教师应鼓励学生充分地从表格中获取信息，运用自己的语言进行描述，并与同伴进行交流．有条件的地方，教师可以让学生亲自实践这个实验或实践其他可操作性的实验，使他们获得变量之间关系的直观体验，并体会收集数据、整理数据、由数据进行推断的思考方式．
3．注重使学生从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，并运用语言进行表达．
前面已经提到，为了发展学生对函数思想的理解，必须使他们对函数的多种表示——数值表示、解析表示、图象表示有相当丰富的经历．因此，教科书安排了大量由表格、关系式、图象所表达的变量之间关系的实例．在学生讨论这些例子时，教师要留给他们充
分思考的时间，鼓励他们从表格、关系式、图象中尽可能多地获取信息，并运用自己的语言进行表达．当学生运用语言进行表达时，教师不要苛求语言的统一性以及对关系的精确描述，只要学生能大致描述出变量之间的关系即可． 四、评价建议
1．关注对学生探索现实世界变化规律的过程的评价．
在本章的学习中，学生花费了较多的时间经历从具体问题中抽象出变化规律、理解符号所代表的变化规律等活动，这些活动对于学生发展符号感具有重要的价值．因此，对上述活动过程的考查应当成为评价的首要方面．对这一方面评价的重点显然不是记忆概念的准确性和使用技能、法则的熟练程度，而是对以下诸方面的考查：从事活动的投入程度，从表格、关系式、图象中获取信息的准确性和广泛性，对具体情境中变量之间关系的敏感性，运用语言等描述变量之间关系的合理性等．
例如，在对学生探索小车下滑时间与支撑物高度关系的过程进行评价时，可以关注以下几个方面：学生是否积极地进行活动，并在活动中进行独立思考；能否从实际操作或表格中意识到下滑时间与支撑物高度之间存在着相依关系；能否从表格中获取尽可能多的信息；能否运用自己的语言描述下滑时间与支撑物高度之间的关系等．
2．在现实情境中评价学生对变量之间关系的理解．
在考查学生对变量之间关系的理解时，应关注学生是否能够感受周围世界中的变量，是否能够发现变量之间互相依赖的关系；关注学生是否能从表格和图象中获取信息，并由此进行预测；关注学生能否运用语言、表格、关系式描述一些变量之间的关系等． 评价时应提供具体的问题情境，从大量实际问题或学生感兴趣的问题出发．避免形式化地对函数性质本身(如单值对应、三种表达形式)进行讨论．
§3.1 小车下滑的时间
一、[教学目标]
1．经历探索具体情境中两个变量之间关系的过程，获得探索变量之间关系的体验，进一步发展符号感。
2．在具体情境中理解什么是变量、自变量、因变量，并能举出反映变量之间关系的例子。
3．能从表格中获得变量之间关系的信息，能用表格表示变量之间的关系，并根据表格中的资料尝试对变化趋势进行初步的预测。 二、[教学过程]
本节课设计了七个教学环节:情境引入、分组实验、合作探究、概念介绍、练习提高、课堂小结、布置作业。 第一环节 情境引入
活动内容:我们生活在变化的世界中,很多东西都在发生变化,请学生列举一些日常生活中经常发生变化的事物。如:随年龄的增长，身高、体重都发生了变化；随着时间的变化汽车行驶的路程也在变化；烧一壶水10分钟水开了??
活动目的:通过举例,希望学生体会身边的事物无时无刻不在发生变化，培养学生善于观察的能力。
第二环节 分组实验
活动内容:介绍实验器材——小车、木板,调节高度的装置。学生分组做“小车下滑的时间”的实验,并填写表格。
活动目的:让学生亲自动手做实验,亲身感受随着支撑物高度的增加,小车下滑所用的时间越来越少。 第三环节 合作探究
活动内容:针对实验数据提出问题,要求学生分组探讨。
下面是王波学习小组得到的数据
支撑物高 10 度/厘米 小车下滑 4.23 3.00 2.45 2.13 1.89 1.71 1.59 1.50 1.41 1.35 时间/秒 根据上表回答下列问题：
（1）支撑物高度为70厘米时，小车下滑时间是多少？
（2）如果用h表示支撑物高度，t表示小车下滑时间，随着h逐渐
变大，t的变化趋势是什么？
（3）h每增加10厘米，t的变化情况相同吗？
（4）估计当h=110厘米时，t的值是多少，你是怎样估计的？ 活动目的:动手实验,只能让学生体会数据的来源,而通过问题的探讨,可以让这些数据在学生现有的认知基础上得到升华。问题(1)、(2)、(3)很容易得到解决,问题(4)是进行预测,对学生来说有一定难度,鼓励学生充分进行交流,培养他们从表格获取信息的能力。
第四环节 概念介绍
活动内容: 在“小车下滑的时间”中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量。其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化。支撑物的高度h是自变量，小车下滑的时间t是因变量。
活动目的:通过实验,理解变量、自变量、因变量这些概念，对于解决日常生活中变化的事物很有帮助。 第五环节 练习提高
活动内容:
1．议一议∶我国从1949年到1999年的人口统计数据如下：（精确到0.01亿）： 时间/年 1949 1959 1969 1979 1989 1999 人口/亿 5.42 6.72 8.07 9.75 11.07 12.59 1.30 1.35 1.68 1.32 1.52
(1)如果用x表示时间，y表示我国人口总数，那么随着x的变化，y的变化趋势是什么？
(2)X和y哪个是自变量?哪个是因变量? (3)从1949年起，时间每向后推移10年，我国人口是怎样的变化？ (4)你能根据此表格预测2009年时我国人口将会是多少？ 2．某河受暴雨袭击，某天此河水的水位记录为下表:
20 30 40 50 60 70 80 90 100 时间/小时 0 4 水位/米 8 12 16 20 24 5 6 8 2 2.5 3 4 (1)上表中反映了哪两个变量之间的关系？自变量和因变量各是什么？
(2)12小时，水位是多少？ (3)哪一时段水位上升最快？
3．研究表明，当钾肥和磷肥的施用量一定时，土豆的产量与氮肥的施用量有如下关系： 氮肥施用量/（千克/公顷） 土豆产量（吨//公顷） 0 34 67 101 135 202 259 336 404 471 15.18 21.36 25.72 32.29 34.03 39.45 43.15 43.46 40.83 30.75 (1)上表反映了哪两个变量之间的关系？哪个是自变量？哪个是因变量？
(2)当氮肥的施用量是101千克/公顷时，土豆的产量是多少？如果不施氮肥呢？
(3)根据表格中的数据，你认为氮肥的施用量是多少时比较适宜？说说你的理由。
(4)粗略说一说氮肥的施用量对土豆产量的影响。
4．
某电影院地面的一部分是扇形，座位按下列方式设置：
排数 1 2 3 4 座位数 60 64 68 72
(1)上述哪些量在变化？自变量和因变量分别是什么？ (2)第5排、第6排各有多少个座位？
(3)第n排有多少个 座位？请说明你的理由。 活动目的:对本环节知识进行巩固练习。 第六环节 课堂小结
活动内容:师生互相交流总结本节所学的知识,从表格中获取信息；用表格表示变量之间的关系；对变化趋势进行预测。
活动目的:鼓励学生谈本节的收获和体会,验收他们的学习效果。
第七环节 布置作业 1．小练习
2．课外实验：点燃一支蜡烛，记录蜡烛的长度和燃烧时间（每3分钟）之间的关系。 三、[板书设计] 四、[课后反思]
§3.2．变化中的三角形
一、[教学目标]
1．知识与技能目标：
(1) 经历探索某些图形中变量之间的关系的过程，进一步体会一个变量对另一个变量的影响，发展符号感。
(2) 能根据具体情景，用关系式表示某些变量之间的关系。 (3) 能根据关系式求值，初步体会自变量和因变量的数值对应关系。
2．过程与方法目标：
(1) 如何将生活中的实际问题转化为数学问题。 (2) 如何用数学方法解决实际生活中的问题。 3．情感态度与价值观目标：
培养学生动手的能力，探索问题、研究问题的能力及应用数学知识的能力。通过教学让学生领悟探索问题和研究问题的方法。 二、[教学过程]
本节课共设计了八个教学环节：复习回顾、观察思考、诱导探究、体会归纳、变式探究、课堂练习、知识总结、布置作业。 第一环节：复习回顾
1．在《小车下滑的时间》 中：支撑物的高度h和小车下滑的时间t都在变化，它们都是变量.其中小车下滑的时间t随支撑物的高度h的变化而变化,支撑物的高度h是自变量,小车下滑的时间t是因变量。
2．练一练:婴儿在6个月、1周岁、2周岁时体重分别大约是出生时的2倍、3倍、4倍，6周岁、10周岁时的体重分别大约是1周岁时的2倍、3倍。
（1）上述哪些量在发生变化？自变量和因变量各是什么？ 发生变化的量是：
自变量是： 因变量是： （2）某婴儿在出生时的体重是3.5千克，请把他在发育过程中的体重情况填入下表： 年龄 刚出生 6个月 1周岁 2周岁 6周岁 10周岁 体重/千克 根据表中的数据，说一说儿童从出生到10周岁之间体重是怎样随着年龄的增长而变化的。
活动目的：复习巩固上一节的内容，并通过一个简单的问题暗示了表示变量之间关系的另一种形式。 第二环节：观察思考
活动内容：三角形是日常生活中很常见的图形，决定一个三角形面