由题知二面角A1－BC1－B1为锐角，
16. 25?????????(3)设D(x，y，z)是直线BC1上一点，且BD＝λBC1，
所以二面角A1－BC1－B1的余弦值为所以(x，y－3，z)＝λ(4，－3,4)． 解得x＝4λ，y＝3－3λ，z＝4λ.
????所以AD＝(4λ，3－3λ，4λ)． ????????9??由AD·A＝0，即9－25λ＝0，解得. B1259因为∈[0,1]，所以在线段BC1上存在点D，使得AD⊥A1B.
25BD9此时，. ???BC1254、
5、（Ⅰ）证明：连接CD与AF相交于H，则H为CD的中点，连接HG．
因为G为DE的中点， 所以HG∥CE．
因为CE?平面AGF，HG?平面AGF，
所以CE∥平面AGF． ………4分
?（Ⅱ）证明：BE?1，GE?2，在△GEB中，?GEB?60，BG?3．
因为BG?BE?GE， 所以GB?BE．
因为侧面BEFC?侧面ADEB，
侧面BEFC?侧面ADEB?BE，
222GB?平面ADEB，
所以GB?平面BEFC． ………8分
（Ⅲ）解：BG,BE,BC两两互相垂直，建立空间直角坐标系B?xyz．
AGHBECPzFyxD?假设在线段BC上存在一点P，使二面角P?GE?B为45． 平面BGE的法向量m?(0,0,1)，设P(0,0,?),??[0,1]．
G(3,0,0),E(0,1,0)．
????????所以GP?(?3,0,?)，GE?(?3,1,0)．
??????n?GP?0,设平面PGE的法向量为n?(x,y,z)，则???? ???n?GE?0.???3x??z?0,所以?
???3x?y?0.令z?1，得y??，x??3，
所以PGE的法向量为n?(因为m?n?1， 所以1??3,?,1)．
?23??2?1?332??0,1?，故BP?． ?1，解得??222?因此在线段BC上存在一点P，使二面角P?GE?B为45，
且BP?3. ………14分 26、（I）证明： ?AC?BC,M是AB的中点?CM?AB． 又?EA?平面ABC，CM?EA．
?A?CM? ?EA?AB平面AEM
∴CM?EM ……………4分
（Ⅱ）以M为原点，分别以MB,MC为x，y轴，如图建立坐标系M-xyz， 则M(0,0,0),C(0,2,0),B(2,0,0),D(2,0,2),E(-2,0,1)
?????????????????ME=(-2.0.1),MC=(0,2,0),BD=(0,0,2),BC=(-2,2,0)
?????2x1?z1?0设平面EMC的一个法向量m=(x1,y1,z1)，则?
??2y1?0??取x1?1,y1?0,z1?2所以m?(1,0,2)
???2x2?2y2?0?设平面DBC的一个法向量n=(x2,y2,z2)，则?
??2y2?0?取x1?1,y1?1,z1?0，所以n?(1,1.0) cosm,n?m?nmn?12?3?6 66. ……………9分 6所以平面EMC与平面BCD所成的锐二面角的余弦值
????????（Ⅲ）设N(x,y,z)且DN??DC,0???1
?（x?2,y,z?2)??(?2,2,?2),x?2?2?,y?2?,z?2?2?
?????MN?(2?2?,2?,2?2?)
若直线MN与平面EMC所成的角为60，则
0cosMN,m?解得：??2?2??2?2?2??32?1????2?2?4?1???22?sin600?3 21，所以符合条件的点N存在，为棱DC的中点. ………………14分 2
7、解：（Ⅰ）设PA中点为G，连结EG，DG．
因为PA//BE，且PA?4，BE?2， 所以BE//AG且BE?AG，
所以四边形BEGA为平行四边形． 所以EG//AB，且EG?AB．
因为正方形ABCD，所以CD//AB，CD?AB， 所以EG//CD，且EG?CD． 所以四边形CDGE为平行四边形． 所以CE//DG．
因为DG?平面PAD，CE?平面PAD，
所以CE//平面PAD． ……………………4分 （Ⅱ）如图建立空间坐标系，则B(4,0,0)，C(4,4,0)，
PGEADBCzPE(4,0,2)，P(0,0,4)，D(0,4,0)，
????????所以PC?(4,4,?4)，PE?(4,0,?2)， ????PD?(0,4,?4)．
??设平面PCE的一个法向量为m?(x,y,z)，
????????m?PC?0?x?y?z?0所以??????． ?????m?PE?0?2x?z?0EADyBxC?x?1???令x?1，则?y?1，所以m?(1,1,2)．
?z?2?设PD与平面PCE所成角为?，
????????????m?PD????则sin??cos?m,PD?????PDm?43?． 66?423． ……………………9分 6所以PD与平面PCE所成角的正弦值是????????（Ⅲ）依题意，可设F(a,0,0)，则FE?(4?a,0,2)，DE?(4,?4,2)．
?设平面DEF的一个法向量为n?(x,y,z)，
???????n?DE?0?2x?2y?z?0??则?????． ???n?FE?0?(4?a)x?2z?0zPEADyF