故在线段EF上存在一点Q，且|FQ|?|EF|?19. …………………14分 212、（Ⅰ）证明：
在?PBC中，因为点E是PB中点，点F是BC中点，
所以EF//PC．
又因为EF?平面PAC，PC?平面PAC， 所以EF//平面PAC．……………..4分 （Ⅱ）证明：
因为底面ABCD是正方形，所以BC?AB．
又因为侧面PAB?底面ABCD，平面PAB?平面ABCD=AB， 且BC?平面ABCD， 所以BC?平面PAB．
由于AE?平面PAB，所以BC?AE．
由已知PA?AB，点E是PB的中点，所以AE?PB． 又因为PB?BC=B，所以AE?平面PBC.
因为PF?平面PBC，所以AE?PF．……………..9分 （Ⅲ）点F为边BC上靠近B点的三等分点．
因为PA?AB，PB?2AB，所以PA?AB．
zP E A F D xC B y 由（Ⅱ）可知，BC?平面PAB.又BC//AD,
所以AD?平面PAB，即AD?PA，AD?AB . 所以AD，AB，AP两两垂直．
分别以AD，AB，AP为x轴，y轴，z轴 建立空间直角坐标系（如图）. 不妨设AB?2，BF?m，则
A(0,0,0)，B(0,2,0)，P(0,0,2)，
E(0,1,1)，F(m,2,0).
????????于是AE?(0,1,1)，AF?(m,2,0).
设平面AEF的一个法向量为n?(p,q,r)，
??????q?r?0, ?n?AE?0,由???? 得? 取p?2，则q??m，r?m， ??mp?2q?0.??n?AF?0,得 n?(2,?m,m)．
由于AP?AB，AP?AD,AB?AD?A,所以AP?平面ABCD.
????即平面ABF的一个法向量为AP?(0,0,2)．
????n?AP2m211????? 根据题意，，解得m?． ?3|n|?|AP|4?2m2?2111由于BC?AB?2，所以BF?BC.
3即点F为边BC上靠近B点的三等分点．……………..14分
CC1GEBB1A113、证明：（Ⅰ）连接BC1.
在正方形ABB1A1中，AB^BB1.
AFABì平面ABB1A1， 因为 平面AA1B1B?平面BB1C1C，平面AA1B1B?平面BB1C1C?BB1，
所以 AB^平面BB1C1C. ………………1分 因为 B1Cì平面BB1C1C， 所以 AB^B1C. ………………2分 在菱形BB1C1C中，BC1^BC. 1因为 BC1ì平面ABC1，ABì平面ABC1，
AB1A1CC1BBC1?AB=B，
所以 B1C^平面ABC1. ………………4分 因为 AC1ì平面ABC1，
所以 B1C?AC1. ………………5分 （Ⅱ）EF∥平面ABC，理由如下： ………………6分 取BC的中点G，连接GE,GA. 因为 E是BC1的中点， 所以 GE∥BB1，且GE=1BB1. 2
因为 F是AA1的中点， 所以 AF=1AA1. 2在正方形ABB1A1∥BB1，AA1=BB1中，AA1. 所以 GE∥AF，且GE=AF. 所以 四边形GEFA为平行四边形.
所以 EF∥GA. ………………8分 因为 EF?平面ABC，GAì平面ABC，
所以 EF∥平面ABC. ………………9分 （Ⅲ）在平面BB1C1C内过点B作Bz^BB1.
由（Ⅰ）可知：AB^平面BB1C1C. 以点B为坐标原点，分别以BA,BB1所在的直线为x,y轴，建立如图所示的空间直角坐标系B?xyz，设A(2,0,0)，则B1(0,2,0).
在菱形BB1C1C中，?BB1C1=60?，所以 C(0,?1,3)，C1(0,1,3). 设平面ACC1的一个法向量为n?(x,y,1).
??????n?AC?0,??(x,y,1)?(?2,?1,3)?0,因为 ?????即? ???(x,y,1)?(0,2,0)?0,?n?CC1?0??3,?x?所以 ?2即
?y?0,?zCC1EBAxFA1B1y
n?(3,0,1). ………………11分 2????由（Ⅰ）可知：CB1是平面ABC1的一个法向量. ………………12分
3????(,0,1)?(0,3,?3)????n?CB17??所以 cos?n,CB1??. ?????273n?CB1?1?9?34所以 二面角B?AC1?C的余弦值为
7. ………………14分 714、（Ⅰ）?AD?面BCD,BC?面BCD?AD?BC ………………2分
?BC?CD且AD?CD?D?BC?面ACD
?BC?面ABC?面ABC?面ACD ………………4分
（Ⅱ）证明：如图所示,取BD中点O，且P是BM中点， 所以PO//MD且PO?A M P
Q
D
1MD； 2B
取CD的四等分点H，使DH=3CH， 且AQ =3QC, 所以, PO//QH且PO?QH， 所以，四边形OPQH为平行四边形， 所以PQ//OH，且OH?BCD,
O C
H 所以PQ//面BDC. ……………………9分 (III)如图建系,
则C(0,0,0),B(0,6,0),M(2,0,1),D(2,0,0) ……………………10分 设面CBM的法向量n?(x,y,z)
z A CB?(0,6,0),CM?(2,0,1)
???n?CB?0?6y?0,即? ???2x?z?0?n?CM?0?令x?1,则n?(1,0,?2)
M P Q y B C
D x
设面BMD的法向量m?(x,y,z) ……………………11分
BD?(2,?6,0)DM?(0,0,1)
??m?BD?0?2x?6y?0即? ???m?DM?0?z?0令y?1, 则m?(3,1,0) ……………………12分
???1cos?n,m??2
所以二面角C?BM?D的大小为60? …………………14分 15、解：（Ⅰ）连结AC1AC?1，因为AC?AA1， ?A中点，
所以AO?AC，BO?AC. 1因为AO1?BO?O，
所以AC?平面AOB. …………………… 4分 1（Ⅱ）因为侧面A1ACC1? 底面ABC，
所以AO? 平面ABC. 所以AO?BO. …………………… 5分 11所以以O为坐标原点，分别以OB，OC，OA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系， 所以A?0,?1,0?，B?3，AB?BC，点O为AC的
????所以AA1?0,1,??????3?，AB??1?3,0,0，C?0,1,0?，A10,0,3，B1???3,1,3，
?????3,2,3，AC??0,2,0?.
???????????n?AB1,?3x?2y?3z?0, 设平面ABC的法向量为， 所以即n?x,y,z????????1?n?AC,?2y?0.?? ??所以n???1,0,1?. …………………… 7分 ?????????0,0,3， 所以 因为点B关于AC的对称点是D，所以点D?3,0,0. …………………… 10分 ?? ????????假设在直线A1A上存在点P符合题意，则点P的坐标设为?x,y,z?，AP??AA1. ????所以AP??x,y?1,z?. 所以P0,??1,3?. ????所以DP?3,??1,3?. …………………… 12分 ?????因为DP//平面AB1C，平面ABC1的法向量为n???1,0,1?， ?????所以由DP?n?0.，得?3?3??0. 所以??1. …………………… 13分 所以在直线A1A上存在点P，使DP//平面AB1C，且点P恰为A1点. ………… 14分