由题意可知，整个均质棒沿z轴方向的合力矩为零。
?Mz?G1?ODsin??G2?BF?BH???gab22a?b?sin???gb?cos??asin???0 2?2?tan??
a?2ab
3.4解 如题3.4.1图。
y??TArBT??????c
x题3.4.1图Ox轴竖直向下，相同的球A、B、C互切，B、C切于D点。设球的重力大小
为G，半径为r，则对A、B、C三个球构成的系统来说，在x轴方向的合力应为零。即：
?F?M由式得：
x?3G?2Tcos??0①
对于C球，它相对于过D点与z轴平行的轴的合力矩等于零。即：
D?Trsin??????Grsin??0 ②
tan??3tan?
3.5解 如题3.5.1图。
yAf2N2N1oG2G1f1Bx题3.5.1图梯子受到地面和墙的弹力分别为N，N2，受地面和墙的摩擦力分别为f1，f2。
1梯子和人的重力分别为G，G且G?3G。设梯长为l，与地面夹角为?。由
1221于梯子处于平衡，所以
?Fx?N2?f1?0①
?Fy?f2?N1?G1?G2?0②
且梯子沿过A点平行于z轴的合力矩为零。即：
?M到最小时，
i?G2lcos??G1l2cos??f2lcos??N2lsin??0③
又因梯子是一个刚体。当一端滑动时，另一端也滑动，所以当梯与地面的倾角达
f1?1213N1④ ⑤
f2?N2由①②③④⑤得：tan??41
24所以
??tan?1?41????24?
3.6解 （a）取二原子的连线为x轴，而y轴与z轴通过质心。O为质心，则Ox，
Oy，Oz轴即为中心惯量主轴。
ym2h?m1Caxm1
题3.6.1图设m、m的坐标为?l,0,0?,?l,0,0?，因为O为质心（如题3.6.2图）
1212y
m1z故
om2x题3.6.2图m1l1?m2l2?0①
且
l2?l1?l ②
由①②得
l1??m2lm1?m2,l2?m1lm1?m2
所以中心惯量主轴：
I1?I2??mi?y2i2i?z2i??0
m1m2l2?mi?z?x2i??
m1?m2I3??mi?x2i?y2i??m1m2m1?m2l2（b）如题3.6.3图所示，
yAm2Coz题3.6.3图该原子由A、B、D三个原子构成。C为三个原子分子的质心。由对称性可知，图中Cx、Cy、Cz轴即为中心惯量主轴。设A、B、D三原子的坐标分别为
Bm1xm2D?0,yA,0?，????a??a?,yB,0?,?,yD,0?2??2?因为C为分子的质心。所以
=
m2yA?m1yB?m1yDm2?m1?m1?0①
yC?mAyA?mByB?mDyDmA?mB?mD又由于
yB?yD②
yA?yB?h③
由①②③得：
yA?2m1h2m1?m2.yB?yD??m2h2m1?m2
故该分子的中心主转动惯量
I1??mi?y2i?z2i??2i2m1m22m1?m2h2?i?A,B,D?
I2??m?zi2i?x??m1a22?i2?A,B,D?
I3??m?xi2i?y2i??2m1m22m1?m2h?m1a22?i?A,B,D?
3.7解 如题3.7.1图所示。
ybacz题3.7.1图
x沿y轴平行于Oxy平切椭球得切面为一椭圆，则该椭圆方程为：
x22y?2??a?1?2??b???z22y?2??c?1?2??b???1
可求该切面的面积
S?y?2?y? ??ac??1?b2????故积分
?y同理可求
2dm??b?byS?y???dy?2?b?b2?y?43?y?ac?1??dy???abc2??b15??2
?故中心主转动惯量：
xdm?2415??abc,3?zdm?24153??abc
I1???y??x??x2?z?dm?2415415415??abc?b?c22? ? ?
I2?2?z?dm?2??abc?a?c22I3?2?y?dm?2??abc?a?b22又由于椭球体积
2?y?4?V??S?y?dy???ac?1?dy??abc2???b?bb?3?bb
故