y?o?0???lx0
题3.13.1图坐标系Oxyz的原点位于圆弧最顶点。设圆弧平衡时，质心c的坐标为c?0,?l,0?。如图所示圆弧偏离平衡位置一小角度?，则?满足微分方程
?? ?mglsin??I?I为圆弧相对于Oz轴的转动惯量。当?很小时，sin???，代入上式得：
????mglI??0①
圆弧上对应转角为?的一小段圆弧的坐标为?Rsin?,Rcos??R,0? 质心c的纵坐标
yc?????00?d?R?Rcos??R?????00??R?sin?0?Rd??0R
上式中?为圆弧的线密度
l?R?sin?0R?0 ②
又
I?????00?R?Rcos??R???Rsin?2??2?d?sin?02??2mR?1???0???③ ??其中m?2?R?0，将②③代入①得
????g2R??0④
解④式得通解
??t???Acos????t??? ?2R?g微振动周期
T?2?g2R?2?2Rg
3.14解 如题3.14.1图所示坐标系Oxyz。
RyORxz?acmg题3.14.1图x
由动量定理及动量矩定理得：
???R ① ?c?m?xc??2?yc?m?xx???R?mg?c?m?yc??2?xc?m?yy2??mk???mgasin?????②
③
其中
xc?asin?,yc??acos?
又根据机械能守恒定律得：
1222mk???mga?cos??cos?0?④
由①②③④解得：
Rx?mgak2mgak222?2cos?0?3cos??sin?
Ry???3cos??2cos?0?cos??1??mg
3.15解 如题3.15.1图所示坐标系Oxyz。
y?OP?x zA题3.15.1图由于球作无滑滚动，球与地面的接触A的速度与地面一致，等于零，所以A点为转动瞬心。以O为基点。设球的角速度ω???k，则
vA?v0?ω?OA?v0i????k????rj???v0??r?k?0
??v0r
设轮缘上任意一点p，Op与x轴交角为?，则
Op?rcos?i?rsin?j
故
vp?v0?ω?Op?v0i????k???rcos?i?rsin?j?
??v0??rsin??i??rcos?j
当??90?时，得最高点的速度vtop?2v0
ap?a0?dωdt?Op?ω??ω?Op?
????k??????k???rcos?i?rsin?j??
???rcos?i??rsin?j??22v0r2?cos?i?sin?j?
当??90?和?90?时分别得到最高点和最低点的加速度
atop??v0rv0r22j
abottom?j3.16解 如题3.16.1图所示，
ADaO
b3.16.1图BC由题意知该时刻瞬心一定处在AC的垂线AO中。设瞬心为O。则
AO?v
?易知vB的方向如图，在?AOB中
OB2?AO2?AB2v?v?2a?2AO?ABcos?OAB????a?2????2ba?b22
OB?1?v??a?2?v222aba?b22
vB???OB?OB2v??a?2?v222aba?b22
cos?OBA??BA2?AO22BO?BA?bAB?AOcos?OABBO2?a?v?222a?bv??a?2?v2
ab22a?b???1?OBA?cos?????b?a?v222a?bv??a?2?v22aba?b22??? ?????OBA即为vB与CB边的夹角大小。
3.17解 如题3.17.1图所示，
CxOB?A?PM
题3.17.1图极轴过O点，所以在AB杆上任意一点p。设AP?a。设pM点为极轴的原点，的坐标为??,??
AM?2rcos?
??PM?AM?AP?2rcos??a
再来求瞬心的轨迹。由于A点速度沿弧面，M点的速度沿AB杆。现分别作vA与
vM的垂线交于点C，则C即为瞬心（见题3.17.1图）。当A点的极角为?时，
易知C点的极角?????90?，故C点的极径
???MC?AC?sin?
易证明?OCM为等腰三角形。有
OC?OM?OA?r AC?AO?OC?2r ???2rsin??2rcos??
又因为0??﹤90?，所以?90????﹤0。所以C点轨迹位于x轴上方，半径为r的半圆，如图虚线所示。
3.18解 如题3.18.1图所示。
MCvBOv0?BA ?vA3.18.1图ND由于圆盘作无滑滚动，所以D为圆盘的瞬心，故v?DB，设圆盘匀速转动的角
B