??mV?3m4?abc
将?代入I1,I2,I3得：
I1?151515m?b?c22? ? ?
I2?m?a?c22I3?m?a?b223.8解 设dm表示距球心为r的一薄球壳的质量，则
2?rdm??r?dr???0r??1??R2?22???dr?
所以该球对球心的转动惯量
I??R0rdm???0?2R02?rr??1??R2?4?57?5??dr???R0?35? ①
在对称球中，绕直径转动时的转动惯量
I??23I②
又球的质量
m??R0dm???0?R02?rr??1??R2?2?35?3??dr???R0?15? ③
又绕直径的回转半径
k?I?m④
由①②③④得
k?14?10?35?21?R
3.9解 如题3.9.1图所示Oxyz坐标系。
dydzox
z题3.9.1图O为正方体中心。Ox、Oy、Oz分别与正方体的边平行。由对称性可知，Ox、
Oy、Oz轴就是正方体的中心惯量主轴。设正方体的边长为a。设为平行于轴的
一小方条的体积，则正方体绕轴的转动惯量
aa2a?2Ixx???2a?2?a?y?z?dydz?22m6a2
根据对称性得
Iyy?Izz?Ixx?m6a2
易求正方体的对角线与Ox、Oy、Oz轴的夹角都为?。且
cos??13
故正方体绕对角线的转动惯量
I?Ixxcos??Iyycos??Izzcos??222m6a2①
又由于
d?3a②
绕对角线的回转半径
k?Im③
由①②③得
k?d32
3.10解 如题3.10.1图。
drd?ro?r
题3.10.1图z轴过O点垂直纸面向外。均质圆盘的密度为?。设盘沿顺时针转动，则沿z的
dt方向有dIz?Mz 即
?z?Mz① I?12， I为转盘绕z轴的转动惯量：I?ma（m为盘的质量）2?z??? ②
（?为盘转动的角频率，负号因为规定顺时针转动）
Mz???02?a0?g?rd?dr?22?3232?g?a=?g?ma?m???a?③
3由①②③得
????4?g3a
又因为
??0???0,
故
??t???0?4?g3at
所以
??t??0,
得
t?3a?04?g
3.11解 如题3.11.1图所示，
?0?o 题3.11.1图设z轴通过O点垂直纸面指向外。则对z轴有：
dzdt?MZ
设通风机转动的角速度大小为??t?，由于通风机顺时针转动。所以?z????t?，将
z??I??t?,Mz??t??k??t?。又由于???0????0?，解得： ?k??t?代入上式得： ?I???t???0e?kIt
故当??t???0时，t?I㏑2。又由于??t?????t? （?为通风机转动的角度）
2k设??0??0，
???t???0e??t???kIt
??????0e0t?kItdt???0?k?tI?0??1?eI?k??
故当t?I㏑2时，??t??I?0，t时间内通风机转动的转数
k2kn???t????0?2??I?04?k
3.12解 如题3.12.1图，
z?BA??0aCb
yODx第3.12.1图
坐标Oxyz与薄片固连，则沿z轴方向有： dz?MZ且
dtz?I?z①
现取如图阴影部分的小区域dS?ady，该区域受到的阻力
df?kdSvdf2?kady??zy?32
对z轴的力矩dMz??df?y??ka?zydy2所以
ab432?z②
Mz??a0dMz??k又薄片对轴的转动惯量
I??a0ydm?2?a0y?bdy?213ma2?m??ab?③
由①②③得：
?z?t??13kab4m2t?1
?04m3kab?02当?z?t???0时，t?2
3.13解 如题3.13.1图所示，