?tr??gt??ct??vA?v0??r??x5?g2rtr⑤
?c?t?V?v??V??x?mgMt⑥
球由滑动变为滚动的条件是：
vA?v? ⑦
由⑤⑥⑦解得：
t?Vm??7????g2M??
3.23解 如题3.23.1图所示。
f1f1oxF题3.23.1图 设圆柱的半径为r，与木板之间的摩擦力为f2，弹力为N，木板受地面的摩擦
1力为f1，弹力为N2，对木板由动量定理得：
F?f1?f2?W1ga①
N2?W1?N1?0②
对圆柱，由角动量定理和动量定理得：
W2gW2g??c?f2x③
??c?N1?W2?0④ y??f2r⑤ I?其中I为圆柱绕中心轴的转动惯量，所以
I?1W22gr2⑥
f1??N2⑦
无滑滚动的条件：
?r?a??c??x ⑧
由①～⑧式解得
a?F???W1?W2?W1?W23g
3.24解 如题3.24.1图，
yx?oz f题3.24.1图Oxyz坐标不与圆柱固连，是固定坐标系。由于v﹥?a，所以圆柱与斜面接触的
边缘有相对与斜面向上的运动趋势，所以斜面对圆柱的摩擦力沿斜面向下。 对圆柱：
?c??f?mgsin?mv0?N?mgcos?①
② ③
?252???fama?f??N④
由①②③④式得
mdvdt??25mad?dt?mgsin?
设从0到t的过程中，圆柱的速度从V变到0，角速度从?变到0，所以
?0Vdv????V?02525?ad???gsin0t?dt
a??gsin?t
t?5V?2a?5gsin?
3.25解 如题3.25.1图。
BfNb?o2Amg o1a?题3.25.1图设大球和小球的半径分别为a，b。O,O分别为大球和小球的球心，OA为方
122向竖直向下的定线，当小球位于大球顶端时，O2B为小球上的一动线。O2A与O2B重合。设?AOB??，OO与竖直方向的夹角为?，根据无滑条件：
212a???????b①
??② mgsin??f?m?a?b???mgcos??N?m?a?b??f?Ntan?2③
④
fb?252??⑤ mb?从最高点运动到图示位置过程中，机械能守恒，即
mg?a?b??1?cos???12???m??a?b??2122522mb??⑥
???a?bb????,??a?bb??⑦ ?由①～⑦解得
2sin??????5sin??3cos??2?
3.26如题3.26.1图所示
yN2CmgN1
o?x题3.26.1图坐标系Oxyz。设杆的长度为2a，质量为m。受到墙和地面的作用力分别为
N2,N1，当杆与地面的倾斜角为?时，质心C的坐标为：
xc?acos?yc?asin?
对上两式求时间导数，的质心的速度和加速度：
??c??asin????x ??c?acos?????y????c??acos???2?asin??x??① ?2????c??asin???acos???y??vc??c2?y?c2?a??② x122mga?sin??sin???13mvc?2122I??③
I?ma④
由②③④得
???23g2a?sin??sin??⑤
对⑤式求时间导数得
?????3g4acos?⑥
又由动量定理
?c⑦ N2?m?x当杆脱离墙时，有
N2?0⑧
由①⑤⑥⑦⑧得
3sin??2sin?⑨
所以
??arcsin??2?sin?? ?3?
3.27解 如题3.27.1图，
yACmg?B题3.27.1图设?为杆与地面的倾角，?为杆脱离墙时的?值。设杆脱离墙时，杆的角速度为
?,y?,杆的角速?c,y?c,当杆落地时，质心C的横纵速度分别为x?c?c?横纵速度分别为xN
ox度为??。当?由?变为0的过程中，机械能守恒：
mga?sin??sin0??12?2?y?2?x?c?c?c2?y?c2mx???????11ma???2223??2? ①
又因为此过程中杆已离开墙，所以杆在水平方向受力为零，故质心水平方向匀速，