则==
=
=（m2+1）（16m2+8）+4m?4m+8=16m4+40m2+16． 而当所以
时，
，故
，
的取值范围是
．
21．已知函数f（x）=（x+1）ln（x+1）﹣ax2﹣2ax（a∈R），它的导函数为f′（x）． （Ⅰ）若函数g（x）=f′（x）+（2a﹣1）x只有一个零点，求a的值；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得关于x的不等式f（x）＜0在（0，+∞）上恒成立？若存在，求a的取值范围；若不存在，说明理由．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的单调性． 【分析】（Ⅰ）求出函数g（x）的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，得到g（x）的极大值点，从而求出a的值即可；
（Ⅱ）求出f（x）的导数，通过讨论a的符号，判断函数f（x）的单调区间，从而求出a的范围即可． 【解答】解：（Ⅰ） 由题知x＞﹣1，f'（x）=ln（x+1）﹣2ax﹣2a+1， 则g（x）=f'（x）+（2a﹣1）x=ln（x+1）﹣x+1﹣2a，所以当﹣1＜x＜0时，当x＞0时，
，g（x）为增函数；
，g（x）为减函数．
，
于是g（x）有一个极大值点x=0，
函数g（x）=f'（x）+（2a﹣1）x只有一个零点， 则g（0）=0，解之得
．
（Ⅱ） 存在．
理由如下：由题f'（x）=ln（x+1）﹣2ax﹣2a+1，
（ⅰ） 当a≤0时，f'（x）=ln（x+1）+1﹣2a（x+1）＞0，
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则f（x）在（0，+∞）上单调递增，
所以f（x）＞f（0）=0在（0，+∞）上恒成立，与已知不符， 故a≤0不符合题意．
（ⅱ） 当a＞0时，令φ（x）=f'（x），
，且
①当2a≥1，即
时，
，
，
于是φ（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
所以φ（x）＜φ（0）=1﹣2a≤0，即f'（x）＜0在x∈（0，+∞）上成立． 则f（x）在x∈（0，+∞）上单调递减，
故f（x）＜f（0）=0在（0，+∞）上成立，符合题意． ②当0＜2a＜1，即
时，
＞0，
，
若若在
，则φ'（x）＞0，φ（x）在
，则φ'（x）＜0，φ（x）在
上成立，
上单调递增；
上单调递减，
又φ（0）=1﹣2a＞0，则φ（x）＞0在即f'（x）＞0在所以f（x）在
则f（x）＞f（0）=0在与已知不符，故综上所述，a的取值范围
上恒成立， 上单调递增，
上恒成立．
不符合题意．
．
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2016年8月2日
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