代入初始条件：t?0时，v?0，故
D??2T?c
即
?2T??t??v?c?t??1?? ?cos??2T???又因为
v?ds
dt所以
?2T??t???1??dt ds?c?t??cos??2T???对等式两边同时积分，可得：
?12T?2T?t??s?c?t2?sin?t?? ????2T???2
1.6 解 由题可知质点的位矢速度
v//??r①
沿垂直于位矢速度
v????
又因为 v//?r???r ， 即
???r r?? ?v???r???即???ra?dvdd?j（取位矢方向i，垂直位矢方向j） ?i???r?r?dtdtdt??所以
?ddrdi?j?i????i?r???ri?r??rdtdtdt
?ddr?d??j?r????2i ??dj?r??j?r?r?j??j?rj?r?dtdtdtdt??故
- 11 -
?2i?r????2r?j ??r???a??r即 沿位矢方向加速度
?2 ??r?a??r??????垂直位矢方向加速度
???2r? ??a??r?对③求导
????2r r???r??对④求导
???????r2??r????????????? r?r?把③④⑦⑧代入⑤⑥式中可得
?2?2 a//??r?2r???a????????
r??1.7 解 由题可知
?x?rcos? ①②
??y?rsin?对①求导
? ③ ??r?cos??rsin??x对③求导
?sin??r???sin??r??2cos?④ ?????cos??2r??xr对②求导
?cos?⑤ ??r?sin??r?y对⑤求导
?cos??r???cos??r??2sin?⑥ ?????sin??2r??yr对于加速度a，我们有如下关系见题1.7.1图
- 12 -
y?a??arO?题1.7.1图
x即
??arcos??a?sin?x?? ⑦--⑧ ???arsin??a?cos?y??对⑦⑧俩式分别作如下处理：⑦?cos?，⑧?sin? 即得
?cos??arcos??a?sin?cos?x?? ⑨--⑩ ??sin??arsin??a?sin?cos?y??⑨+⑩得
?cos????sin? ⑾ ar??xy把④⑥代入 ⑾得
?2 ar??r??r?同理可得
???2r? ??a??r?1.8解 以焦点F为坐标原点，运动如题1.8.1图所示]
y??OFMx
题1.8.1图则M点坐标
?x?rcos?
??y?rsin?对x,y两式分别求导
?sin????r?cos??r??x ????r?sin??r??cos??y- 13 -
故
?sin??2?y?2?r?cos??r?v2?x如图所示的椭圆的极坐标表示法为
????r?sin??r??cos??22?2?r2?2 ?ra1?e2 r?1?ecos???对r求导可得（利用????）又因为
11ecos? ??22ra1?ea1?e????即
a1?e2?r cos??re??所以
sin??1?cos??1?故有
22a21?e2??2?r2?2ar1?e2r2e2??
v?e2?2r4a1?e22e2?2r4a21?ea1?e2?22?sin2??r2?2
??22?[1??22??r?2ar1?er2e22?2?]?r2?2
?e2r2?r2?2ar1?e2??2r2r2?2?2????2?2a?r?r 22a1?e?1?eb?????即
v?r?r?2a?r? b（其中b2?1?e2a2,b为椭圆的半短轴）
1.9证 质点作平面运动，设速度表达式为
??v?vxi?vyj
令为位矢与轴正向的夹角，所以
dvy?dvdvxdidvydj??dvx?v???i????? ?v??a??i?vx?j?vyy?x?j?dtdtdtdtdt?dt??dt?- 14 -
所以
??dvx??dvy???a????vy??i???vx??j???vxi?vyj? ??dt??dt??vxdvydvy dvx??v??vdvx?v?vxvy??vv?yxyxydtdtdtdt又因为速率保持为常数，即
v2x?v2y?C,C为常数
对等式两边求导
dvydvx2vx?2vy?0
dtdt所以
a?v?0
即速度矢量与加速度矢量正交.
1.10解 由题可知运动轨迹如题1.10.1图所示，
yO?p??,p??2???p??,?p??2?x
题1.10.1图则质点切向加速度
at?2v法向加速度an?，而且有关系式
dv
dt?dvv2 ① ??2kdt?又因为
1??y???1?y??- 15 -
322 ②