cos??44?222?25,cos??15
34sin??,cos??
55v雨绝?8m/s
所以
v船?v雨绝(sin?cos??sin?cos?)=8
cos?m/s
1.16解 以一岸边为x轴，垂直岸的方向为y轴.建立如题1.16.1图所示坐标系.
ydO题1.16.1图v水x
所以水流速度
??d?ky0?y????2??? v??d??k?d?y????y?d???2??又因为河流中心处水流速度为c
c?k?dd???k??d?? 22??所以k?2c。当0?y?d时，v水?2cy即
d2d?dx2cy???dtd ①--② ??y?ut得dx?2cutdt，两边积分
d?
x0dx??t02cutdt d- 21 -
x?cu2 ③ td联立②③，得
x?c2?d?y?0?y?? ④ ud?2?同理，当d?y?d时，v水?2c?d?y?即
2ddx2c?d?y??2c?d?ut? ?dtdd?dx??2c?d?ut?dt d2ccy2x?y??D?D为一常数? ⑤
uud由④知，当y?d时，x?cd代入⑤得
24uD??cd
2u有
?2ccy2 cd，?d???y?d? x?y?2u?2?uud所以船的轨迹
??x????x???c2?d?y?0?y??ud?2?
2cc2cd?d?y?y???y?d?uud2u?2?船在对岸的了；靠拢地点，即y?d时有x?cd
2u
1.17 解 以A为极点，岸为极轴建立极坐标如题.17.1图.
?C2r?C1A?O
x?题1.17.1图- 22 -
船沿垂直于r的方向的速度为?C1sin?，船沿径向r方向的速度为C2和C1沿径向的分量的合成，即
?d?r??C1sin???dt ①--② ??dr?Ccos?C12??dt?，对两积分： C2②/①得 dr????cot????d?r?C1sin??lnr?设
C2?lntan?lnsin??C C12C2??k,??,C为常数，即 C12sink?1?lnr?ln?C k?12cos?代入初始条件r?r0时，???0.设?0k?1sin?0得
,??0,有C?lnr0?lnk?12cos?02k?1sink?1?cos?0
r?r0?cosk?1?sink?1?0
1.18 解 如题1.18.1图
O??a?BmgA
题1.18.1图质点沿OA下滑，由受力分析我们可知质点下滑的加速度为a?gcos?.设竖直线
OB?h，斜槽OA?s，易知?OBA??2??,?OAB??2????,，由正弦定理
s???sin?????2?即
?h???
sin???????2?- 23 -
s?hcos? ① cos????? 又因为质点沿光滑面OA下滑，即质点做匀速直线运动. 所以
s?121at?gcos?t2 ② 22有①②
1gcos?cos?????t2?hcos??0 2欲使质点到达A点时间最短，由t2?2hcos?可知，只需求出gcos?cos?????cos?cos?????的极大值即可，令
y?cos?cos????cos??cos?cos??sin?sin??
y?cos?cos2??1sin2?sin? 2把y对?求导
dy1?2cos???sin???cos??cos2??2?sin? d?2极大值时dy?0，故有
d?tan??sin2?
由于是斜面的夹角，即0????,0????
22所以
???
2
1.19 解 质点从抛出到落回抛出点分为上升和下降阶段.取向上为正各力示意图如题1.19.1图，
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vmgRRv
mg上升时 下降时 题1.19.1图
则两个过程的运动方程为： 上升
???mg?mk2gy?2 ① m?y下降：
???mg?mk2gy?2 ② ?m?y对上升阶段:
dv??g1?k2v2 dt??dvdyvdv???g1?k2v2 dydtdy??即
vdv??gdy 221?kv对两边积分
?所以
0v0hvdv??gdy 22?01?kvh?122ln1?kv0 ③ 22kg??即质点到达的高度. 对下降阶段：
dvdyvdv??g?k2gv2 dydtdy即
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