?v100vdv??gdy 22h1?kvh??122ln1?kv1 ④ 22kg??由③=④可得
v1?v01?kv220
1.20解 作子弹运动示意图如题1.20.1图所示.
??v0d题1.20.1图
水平方向不受外力，作匀速直线运动有
dcos??v0cos??t ①
竖直方向作上抛运动，有
dsin??v0sin?t?12 ②
gt2由①得
t?dcos? ③
v0cos?代入化简可得
22v0cos?sin????? d??gcos2?因为子弹的运动轨迹与发射时仰角?有关，即d是?的函数，所以要求d的最大值.把d对?求导，求出极值点.
22v0dd??sin?sin??????cos?cos???????0 ?2d?gcos?- 26 -
即
sin?sin??????cos?cos?????
cos?2?????0
所以?????，代入d的表达式中可得：
42dmax??2??sin???222v042? ????????2v0????cos????sin????g4242gcos2????????sin2?????2?22v0?????sec2??? g?42?此即为子弹击中斜面的地方和发射点的距离d的最大值
1.21 解 阻力一直与速度方向相反，即阻力与速度方向时刻在变化，但都在轨道上没点切线所在的直线方向上，故用自然坐标比用直角坐标好.
yv0v?mg题1.21.1图vx
?O轨道的切线方向上有：
mdv??mkv?mgsin? ① dt轨道的法线方向上有：
v2m?mgcos? ② r由于角是在减小的，故
r??ds ③ d?由于初末状态由速度与水平方向夹角?来确定，故我们要想法使①②变成关于?- 27 -
的等式 由①
mdvdvdsdv ?m?mvdtdsdtds即
mvdv??mkv?mgsin? ④ ds把代入可得
mv2d???mgcos? ⑤ ds用④?⑤可得
1dvkv?gsin? ?vd?gcos?1ksin?dv?d??d?2gcos?vcos?v
dvkd?sin???d? 222vcos?gcos?vcos?cos?dv?vsind?kd? ?222vcos?gcos?即
d?vcos??kd?，两边积分得 ?222vcos?gcos??1k?tan??C ⑥ vcos?g代入初始条件t?0时，???,v?v0即可得
?1?k ?C????tan????v0cos?g?代入⑥式，得
v?2gv0cos? ⑦
cos??kvcos?tan??tan???g?又因为v??r,mv?mgcos?
r所以
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??把⑦代入⑧
d?gcos? ⑧
??dtvgv0cos?d???gcos?dt
cos??kvcos?tan??tan???g?积分后可得
11?2kv0sin??
??ln?1???tk?g?
1.22 各量方向如题1.22.1图.
ZB
VOEyx电子受力
题1.22.1图ijvy0kvz?evyBi??eE?evB?j BF?e?E?v?B??eEj?evx0则电子的运动微分方程为
??evyB?eBy?x?m????eE?evxB?eE?eBx? ②-③-④ y?m??m???0?zeBxdvdydv?x由②m xy?eB,，即?vm?dydtdt0vvx?eBy?V⑤ m代入③整理可得
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e2B2e????E?BV? ⑥ yy?2mm22eB对于齐次方程???yy?0的通解 2mY1?A1coseBeB t?A2sintmm非齐次方程的特解
Y2?m?E?BV? 2eB所以非齐次方程的通解
y?Y1?Y2?A1coseBeBmt?A2sint?2?E?BV? mmeBE? 代入初始条件：t?0时，y?0得A1?m?V???eB?B?t?0 时，vy?0得A2?0,故
y?m?E?eBmVmE⑦
??V??cost?eB?B?meBeB2同理，把⑦代入⑤可以解出
x?Em?E?eBt??V??sint BeB?B?m把⑦代入⑤
dxeB?m?E?eBmvmE??V?cost??2??V ???dtm?eB?B?meBeB?E?eBE?dx??V??cost?dt?dt
B?mB?x?m?E?eBEt?t?C ?V??sineB?B?mB代入初条件t?0时，x?0，得C?0.所以
x?m?E?eBE?V??sint?t） eB?B?mB
1.23证 （a）在1.22题中，B?0时，则电子运动受力F?eEj电子的运动微分方程
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