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第六章 数列
第一部分 五年高考体题荟萃
第二节 数列的应用 2009年高考题
一、选择题
?21.（2009广东卷理）已知等比数列{an}满足an?0,n?1,2,?，且a5a5n??2n(?3)2n，
则当n?1时，log2a1?log2a3???log2a2n?1?
2A. n(2n?1) B. (n?1) C. n D. (n?1)
2222nn2nan?0，【解析】由a5?a2n?5?2(n?3)得an?2，则an?2， log2a1?log2a3?????
log2a2n?1?1?3?????(2n?1)?n，选C.
2答案 C
2.（2009辽宁卷理）设等比数列{ an}的前n 项和为Sn ，若
7383S6S3=3 ，则
S9S6 =
A. 2 B. C.
S6S3 D.3
3【解析】设公比为q ,则
?(1?q)S3S31?2?41?2＝1＋q＝3 ? q＝2
33
于是
S9S6?1?q?q1?q336??73
【答案】B
3.（2009宁夏海南卷理）等比数列?an?的前n项和为sn，且4a1，2a2，a3成等差数列。若a1=1，则s4=( )
A.7 B.8 C.15 D.16 【解析】?4a1，2a2，a3成等差数列，
?4a1?a3?4a2,即4a1?a1q2?4a1q,?q2?4q?4?0,?q?2，S4?15,选C.
【答案】 C
4.（2009湖北卷文）设x?R,记不超过x的最大整数为[x],令{x}=x-[x]，则{
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5?12}，
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[
5?12],
5?12
A.是等差数列但不是等比数列 B.是等比数列但不是等差数列 C.既是等差数列又是等比数列 D.既不是等差数列也不是等比数列 【答案】B
【解析】可分别求得?????5?1????2??5?12，[5?12]?1.则等比数列性质易得三者构成等
比数列.
5.（2009湖北卷文）古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种性状来研究数，例如：
他们研究过图1中的1，3，6，10，?，由于这些数能够表示成三角形，将其称为三角形数;类似地，称图2中的1，4，9，16?这样的数成为正方形数。下列数中及时三角形数又是正方形数的是
A.289 B.1024 C.1225 D.1378 【答案】C
【解析】由图形可得三角形数构成的数列通项a?nn2(n?1)，同理可得正方形数构成的数
22n列通项bn?n，则由bn?n(n?N?)可排除A、D，又由a?n2(n?1)知an必为奇数，
故选C.
6..（2009安徽卷理）已知?an?为等差数列，a1+a3+a5=105，a2?a4?a6=99，以Sn表示
?an?的前n项和，则使得Sn达到最大值的n是 A.21 B.20 C.19 D. 18 【答案】 B 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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【解析】由a1+a3+a5=105得3a3?105,即a3?35，由a2?a4?a6=99得3a4?99即
?an?0a4?33 ，∴d??2，an?a4?(n?4)?(?2)?41?2n，由?得n?20，选B
?an?1?07.（2009江西卷理）数列{an}的通项an?n(cos为
22n?3?sin2n?3其前n项和为Sn，则S30)，
A．470 B．490 C．495 D．510 【答案】 A 【解析】由于{cos1?22222n?32?sin22n?32}以3 为周期,故
28?2925222S30?(??3)?(?4?522?6)???(?2?30)
210??k?1[?(3k?2)?(3k?1)2210?(3k)]?2?k?1[9k?]?9?10?112?25?470故选A
8.（2009四川卷文）等差数列｛an｝的公差不为零，首项a1＝1，a2是a1和a5的等比中项，则数列的前10项之和是
A. 90 B. 100 C. 145 D. 190 【答案】B
【解析】设公差为d，则(1?d)?1?(1?4d).∵d≠0，解得d＝2，∴S10＝10 二、填空题
9.（2009浙江文）设等比数列{an}的公比q?122，前n项和为Sn，则
S4a4? ．
【命题意图】此题主要考查了数列中的等比数列的通项和求和公式，通过对数列知识点的考查充分体现了通项公式和前n项和的知识联系． 答案 15 解析 对于s4?a1(1?q)1?q4,a4?a1q,?3s4a4?1?q34q(1?q)?15
10.（2009浙江文）设等差数列{an}的前n项和为Sn，则S4，S8?S4，S12?S8，S16?S12成等差数列．类比以上结论有：设等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4， ， ，
T16T12成等比数列．
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【命题意图】此题是一个数列与类比推理结合的问题，既考查了数列中等差数列和等比数列的知识，也考查了通过已知条件进行类比推理的方法和能力 答案：
T8T4,T12T8
T8T4,T12T8解析 对于等比数列，通过类比，有等比数列{bn}的前n项积为Tn，则T4，等比数列．
，
T16T12成
?11.（2009北京理）已知数列{an}满足：a4n?3?1,a4n?1?0,a2n?an,n?N,则
a2009?________；a2014=_________.
答案 1，0
解析 本题主要考查周期数列等基础知识.属于创新题型.
依题意，得a2009?a4?503?3?1，a2014?a2?1007?a1007?a4?252?1?0. ∴应填1，0.
12..（2009江苏卷）设?an?是公比为q的等比数列，|q|?1，令bn?an?1(n?1,2,?)，若数列?bn?有连续四项在集合??53,?23,19,37,82?中，则6q= . 答案 -9
解析 考查等价转化能力和分析问题的能力。等比数列的通项。
?an?有连续四项在集合??54,?24,18,36,81?，四项?24,36,?54,81成等比数列，公比为
q??32，6q= -9
__.
13.(2009山东卷文)在等差数列{an}中,a3?7,a5?a2?6,则a6?__________解析 设等差数列{an}的公差为d,则由已知得?a6?a1?5d?13.
?a1?2d?7?a1?4d?a1?d?6解得??a1?3?d?2,所以
答案:13.
【命题立意】:本题考查等差数列的通项公式以及基本计算. 14.(2009湖北卷理)已知数列?an?满足：a＝m（m为正整数），
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an?1?an,当an为偶数时，?若a6＝1，则m所有可能的取值为__________。 ??2?3a?1,当a为奇数时。n?n答案 4 5 32
解析 （1）若a1?m为偶数，则①当
m4m4a12为偶, 故a2?m32m2 a3?a22?m4
仍为偶数时，a4?m8??????a6? 故
m32?1?m?32
3②当
3为奇数时，a4?3a3?1?34m?1??????a6?4m?14
故4m?14?1得m=4。
3m?12（2）若a1?m为奇数，则a2?3a1?1?3m?1为偶数，故a3???????a6?3m?116必为偶数
，所以
3m?116=1可得m=5
2m15.（2009宁夏海南卷理）等差数列{an}前n项和为Sn。已知am?1+am?1-a则m=_______ 解析由am?1+am?1-a22m=0，S2m?1=38,
=0得到
2am?am?0,am?0,2又S2m?1??2m?1??a1?a2m?1?2??2m?1?am?38?m?10。
答案10
16.（2009陕西卷文）设等差数列?an?的前n项和为sn,若a6?s3?12,则
an? .
解析:由a6?s3?12可得?an?的公差d=2,首项a1=2,故易得an?2n. 答案:2n
17.(2009陕西卷理)设等差数列?an?的前n项和为Sn,若a6?S3?12,则
limn??Snn2? .
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