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(2) 由题设
am?an(1?am)(1?an)的值仅与m?n有关,记为bm?n,则
bn?1?a1?an(1?a1)(1?an)?a?an(1?a)(1?an).
考察函数 f(x)?a?x(1?a)(1?x)(x?0),则在定义域上有
?1,?1?a??1f(x)?g(a)??,2??a,?1?a?a?1a?10?a?1
*故对n?N， bn?1?g(a)恒成立.
又 b2n?2an(1?an)2?g(a),
注意到0?g(a)?g(a)1?g(a)?12,解上式得
1?g(a)?1?2g(a)1?g(a)?1?2g(a)?1?2g(a)g(a)1?an?g(a),
取??1?g(a)?1?2g(a)g(a),即有
??an??..
130. (2009湖北卷理)已知数列?an?的前n项和Sn??an?()n?1?2（n为正整数）。
2n（Ⅰ）令bn?2an，求证数列?bn?是等差数列，并求数列?an?的通项公式；
(Ⅱ）令cn?n?1nan，Tn?c1?c2?........?cn试比较Tn与
1n?15n2n?1的大小，并予以证明。
12解（I）在Sn??an?()2?2中，令n=1，可得S1??an?1?2?a1，即a1?1n?2
当n?2时，Sn?1??an?1?()2?2an?an?1?(12)n?1n?2，?an?Sn?Sn?1??an?an?1?(n?112)n?1，
,即2an?2an?1?1.
n ?bn?2an,?bn?bn?1?1,即当n?2时，bn?bn?1?1.
又b1?2a1?1,?数列?bn?是首项和公差均为1的等差数列.
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于是bn?1?(n?1)?1?n?2an,?an?(II)由（I）得cn?Tn?2?12?3?(122nn2n.
n?1nan?(n?1)(12312)，所以
12)
nn)?4?()?K?(n?1)(12Tn?2?(12)?3?(21212)?4?(2312)?K?(n?1)(1n412)n?1
n?1由①-②得Tn?1?()?()?K?()?(n?1)()22221?1?4[1?(1??Tn?3?5n2n?11131
1212)n?1]?(n?1)(12)n?1?32?n?32n?1
n?32nTn??3?n?32n?5n2n?1?(n?3)(2?2n?1)2(2n?1)nnn
于是确定Tn与5n2n?12的大小关系等价于比较2与2n?1的大小
345由2?2?1?1;2?2?2?1;2?2?3?1;2?2?4?1;2?2?5;K
2?2n?1.证明如下： 可猜想当n?3时，n证法1：（1）当n=3时，由上验算显示成立。 （2）假设n?k?1时2k?1?2g2k?2(2k?1)?4k?2?2(k?1)?1?(2k?1)?2(k?1)?1
所以当n?k?1时猜想也成立
综合（1）（2）可知 ，对一切n?3的正整数，都有2?2n?1. 证法2：当n?3时
2nn?(1?1)n?Cn?Cn?Cn?K?Cn012n?1?Cn?Cn?Cn?Cnn01n?1?Cn?2n?2?2n?1
n综上所述，当n?1,2时Tn?5n2n?1，当n?3时Tn?5n2n?1
31.（2009四川卷文）设数列?an?的前n项和为Sn，对任意的正整数n，都有an?5Sn?1成立，记bn?4?an1?an(n?N)。
*（I）求数列?an?与数列?bn?的通项公式；
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（II）设数列?bn?的前n项和为Rn，是否存在正整数k，使得Rn?4k成立？若存在，找出一个正整数k；若不存在，请说明理由； （III）记cn?b2n?b2有Tn?32n1?(n?N)，设数列?cn?的前n项和为Tn，求证：对任意正整数n都
*；
14解（I）当n?1时，a1?5S1?1,?a1??又?an?5Sn?1,an?1?5Sn?1?1
?an?1?an?5an?1,即an?1an??14
14∴数列?an?是首项为a1??4?(?)，bn?n14，公比为q??))n的等比数列，
1414∴an?(?14(n?N) ?????????????3分
n*1?(?（II）不存在正整数k，使得Rn?4k成立。
4?(?1414))n证明：由（I）知bn?1?(?5(?4)2k?1?4?n5(?4)?1n
?b2k?1?b2k?8??1?5(?4)?2k?1?8?516?1k?2016?4k?8?15?16?40(16?1)(16?4)kkk?8.
∴当n为偶数时，设n?2m(m?N) ∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?1?b2m)?8m?4n 当n为奇数时，设n?2m?1(m?N)
∴Rn?(b1?b2)?(b3?b4)???(b2m?3?b2m?2)?b2m?1?8(m?1)?4?8m?4?4n ∴对于一切的正整数n，都有Rn?4k ∴不存在正整数k，使得Rn?4k成立。 ?????????????8分 （III）由bn?4?5(?4)?1n?得
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cn?b2n?1?b2n?542n?1?542n?1?1?15?16nnn(16?1)(16?4)?15?16n2nn(16)?3?16?4?15?16(16)n2n?1516n又b1?3,b2?133,?c2?3243，
当n?1时，T1?当n?2时，
，
1Tn?43?25?(1162?1163???116n)?43?25?162[1?(1?11161)n?2]16694832
??43?25?161?2116?32.（2009湖南卷文）对于数列{un},若存在常数M＞0,对任意的n?N，恒有
un?1?un?un?un?1???u2?u1?M, 则称数列{un}为B?数列.
*（Ⅰ）首项为1，公比为?12的等比数列是否为B-数列？请说明理由;
（Ⅱ）设Sn是数列{xn}的前n项和.给出下列两组判断： A组：①数列{xn}是B-数列, ②数列{xn}不是B-数列; B组：③数列{Sn}是B-数列, ④数列{Sn}不是B-数列.
请以其中一组中的一个论断为条件，另一组中的一个论断为结论组成一个命题. 判断所给命题的真假，并证明你的结论；
(Ⅲ)若数列{an}是B-数列，证明：数列{an}也是B-数列。 解: （Ⅰ）设满足题设的等比数列为{an},则an?(?an?an?1?(?12)n?1212)n?1.于是
?(?12)n?2?32?(12)n?2,n?2.
|an?1?an|?|an?an?1|???|a2?a1|
=
31121n-1???1??（）???（）=3???2?222?1n??1?（）?3. ??2??七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载
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所以首项为1，公比为?12的等比数列是B-数列 .
（Ⅱ）命题1：若数列{xn}是B-数列，则数列{Sn}是B-数列.此命题为假命题. 事实上设xn=1，n?N，易知数列{xn}是B-数列，但Sn=n， |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?n. 由n的任意性知，数列{Sn}不是B-数列。
命题2：若数列{Sn}是B-数列，则数列{xn}不是B-数列。此命题为真命题。 事实上，因为数列{Sn}是B-数列，所以存在正数M，对任意的n?N，有 |Sn?1?Sn|?|Sn?Sn?1|???|S2?S1|?M,
即|xn?1|?|xn|???|x2|?M.于是xn?1?xn?xn?xn?1???x2?x1
?xn?1?2xn?2xn?1???2x2?x1?2M?x1,
**所以数列{xn}是B-数列。
（注：按题中要求组成其它命题解答时，仿上述解法） (Ⅲ)若数列?an?是B-数列，则存在正数M，对任意的n?N,有 an?1?an?an?an?1???a2?a1?M. 因为an?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1 ?an?an?1?an?1?an?2???a2?a1?a1?M?a1. 记K?M?a1，则有an2?1?an2?(an?1?an)(an?1?an) ?(an?1?an)an?1?an?2Kan?1?an. 因此an?1?an?an?an?1?...?a2?a1?2KM. 故数列?an?是B-数列.
2222222?33. (2009陕西卷理) 已知数列?xn}满足， x1＝12’xn＋1＝11?xn,n?N.
*???猜想数列{xn}的单调性，并证明你的结论；
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