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（III）解法一：弦AnAn?1的斜率为kn?xx0bn?1?bnan?1?anx?ean?1?ean
an?1?anxx0任取x0，设函数f(x)?e?ex?x0x0，则f(x)?e(x?x0)?(e?e(x?x0)2)
xxxxxx记g(x)?e(x?x0)?(e?e)，则g?(x)?e(x?x0)?e?e?e(x?x0)，
??)上为增函数， 当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(x0，当x?x0时，g?(x)?0，g(x)在(??，x0)上为减函数，
??)上所以x?x0时，g(x)?g(x0)?0，从而f?`(x)?0，所以f(x)在(??，x0)和(x0，都是增函数．
由（II）知，a?M时，数列{an}单调递增， 取x0?an，因为an?an?1?an?2，所以kn?ean?1?eanan?1?anean?1?ean?2?ean．
an?2?anean取x0?an?2，因为an?an?1?an?2，所以kn?1??ean?2an?1?an?2??ean?2．
an?an?2所以kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增． 解法二：设函数f(x)?增函数， 所以kn?eane?exan?1x?an?1??)上都是，同解法一得，f(x)在(??，an?1)和(an?1，?ean?1an?an?1?limn→a?n?1e?exan?1x?an?1?ean?1，kn?1?ean?2?ean?1an?2?an?1?limn→an?1?e?exan?1x?an?1?ean?1．
故kn?kn?1，即弦AnAn?1(n?N*)的斜率随n单调递增．
13.（2007浙江）已知数列{an}中的相邻两项a2k?1、a2k是关于x的方程
x?(3k?2)x?3k?22kk?0 的两个根，且a2k?1≤a2k (k ＝1，2，3，?)．
(I)求a1,a3,a5,a7及a2n (n≥4)(不必证明)；(Ⅱ)求数列{an}的前2n项和S2n．
k2kk(I)解：方程x?(3k?2)x?3k?2?0的两个根为x1?3k, x2?2．
当k＝1时，x1?3,x2?2，所以a1?2；
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当k＝2时，x1?6,x2?4，所以a3?4； 当k＝3时，x1?9,x2?8，所以a5?8； 当k＝4时，x1?12,x2?16，所以a7?12；
nn因为n≥4时，2?3n，所以a2n?2 (n?4)
S2n?a1?a2???a2n?(3?6???3n)?(2?2???2)＝（Ⅱ）
2
2n3n?3n22?2n?1?2．
14.（2007四川）已知函数f（x）=x－4，设曲线y＝f（x）在点（xn，f（xn））处的切线与
+
x轴的交点为（xn+1,u）（u,N ），其中为正实数.
（Ⅰ）用xx表示xn+1； （Ⅱ）若a1=4，记an=lg
xn?2xn?2，证明数列｛a1｝成等比数列，并求数列｛xn｝的通项公式；
（Ⅲ）若x1＝4，bn＝xn－2，Tn是数列｛bn｝的前n项和，证明Tn<3.
解析：本题综合考查数列、函数、不等式、导数应用等知识，以及推理论证、计算及解决问题的能力．
（Ⅰ）由题可得f'(x)?2x．
所以曲线y?f(x)在点(xn,f(xn))处的切线方程是：y?f(xn)?f'(xn)(x?xn)．
2即y?(xn?4)?2xn(x?xn)．
2令y?0，得?(xn?4)?2xn(xn?1?xn)．
2即xn?4?2xnxn?1．
显然xn?0，∴xn?1?xn2?2xn．
（Ⅱ）由xn?1?xn2?2xn，知xn?1?2?xn2?2xn?2?(xn?2)2xn2，同理xn?1?2?(xn?2)2xn2．
故
xn?1?2xn?1?2?(xn?2xn?2)．
2从而lgxn?1?2xn?1?2?2lgxn?2xn?2，即an?1?2an．所以，数列{an}成等比数列．
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故an?2n?1a1?2n?1lgx1?2x1?2?2n?1lg3．
即lgxn?2xn?2xn?2xn?2?2n?1lg3．
从而
?32n?1
所以xn?2(3322n?1?1)?1n?1
n?1（Ⅲ）由（Ⅱ）知xn?432n?12(3322?1)?1n?1，
∴bn?xn?2?2n?1?0 ?1∴
bn?1bn?3?1?132n?312n?1??1312n?1?3121?1?13
当n?1时，显然T1?b1?2?3． 当n?1时，bn?1121n?1bn?1?()bn?2???()b1 333∴Tn?b1?b2???bn
?b1?11n?1b1???()b1 331nb1[1?()]3 ?11?31n?3?3?()?3．
3 综上，Tn?3(n?N*)．
15.（2005湖南）自然状态下的鱼类是一种可再生资源，为持续利用这一资源，需从宏观上考察其再生能力及捕捞强度对鱼群总量的影响. 用xn表示某鱼群在第n年年初的总量，n∈N，且x1＞0.不考虑其它因素，设在第n年内鱼群的繁殖量及捕捞量都与xn成正比，死亡量与xn成正比，这些比例系数依次为正常数a，b，c. （Ⅰ）求xn+1与xn的关系式；
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2*
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（Ⅱ）猜测：当且仅当x1，a，b，c满足什么条件时，每年年初鱼群的总量保持不变？（不要求证明）
（Ⅲ）设a＝2，b＝1，为保证对任意x1∈（0,2），都有xn＞0，n∈N，则捕捞强度b的 最大允许值是多少？证明你的结论.
解（I）从第n年初到第n+1年初，鱼群的繁殖量为axn，被捕捞量为bxn，死亡量为
cxn,因此xn?1?xn?ax2n*
?bxn?cxn,n?N*.(*)2
即xn?1?xn(a?b?1?cxn),n?N*.(**) （II）若每年年初鱼群总量保持不变，则xn恒等于x1， n∈N*，从而由（*）式得 xn(a?b?cxn)恒等于0,n?N*,所以a?b?cx1?0.即x1? 因为x1>0，所以a>b. 猜测：当且仅当a>b，且x1? （Ⅲ）若b的值使得xn>0，n∈N* 由xn+1=xn(3－b－xn), n∈N*, 知
0 下证 当x1∈(0, 2) ，b=1时，都有xn∈(0, 2), n∈N* ①当n=1时，结论显然成立. ②假设当n=k时结论成立，即xk∈(0, 2), 则当n=k+1时，xk+1=xk(2－xk)>0. 又因为xk+1=xk(2－xk)=－(xk－1)+1≤1<2, 所以xk+1∈(0, 2)，故当n=k+1时结论也成立. 由①、②可知，对于任意的n∈N*，都有xn∈(0,2). 综上所述，为保证对任意x1∈(0, 2), 都有xn>0， n∈N*，则捕捞强度b的最大允许值是1. 第二部分 三年联考题汇编 2009年联考题 一、选择题 2 a?bc. a?bc时，每年年初鱼群的总量保持不变. 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载 七彩教育网 www.7caiedu.cn 免费提供Word版教学资源 1.(北京市崇文区2009年3月高三统一考试理)已知函数y?f(x)的定义域为R，当x?0时，f(x)?1，且对任意的实数x,y?R，等式f(x)f(y)?f(x?y)成立．若数列{an}满足a1?f(0)，且f(an?1)?1f(?2?an)(n?N*)，则a2009的值为( ) A． 4016 B．4017 C．4018 D．4019 答案 B 2.（2009厦门乐安中学）在等差数列{an}中,前n项和为Sn,若a7?5,S7?21,那么S10等于（ ） A．55 B．40 C．35 D．70 答案 B 3. (湖北省2009年3月高三八校第二次联考理科) 等差数列?an?中，Sn是其前n项和， a1?2008， S20072007?S20052005?2，则S2008的值为（ ） 2008 ?A??答案 C 2006 ?B?2006 ?C?? ?D?2008 |，Sn为4.（2009宁乡一中第三次月考）等差数列{an}中，a10?0，a11?0，且|a10|?|a11其前n项之和，则（ ） A．S1,S2,?,S10都小于零，S11,S12,?都大于零 B．S1,S2,?,S5都小于零，S6,S7,?都大于零 C．S1,S2,?,S19都小于零，S20,S21,?都大于零 D．S1,S2,?,S20都小于零，S21,S22,?都大于零 答案 C 5.（辽宁省沈阳二中2008—2009学年上学期高三期中考试） 数列{an}满足a1?1,an?11an2?4?1,记Sn?a1?a2???an,若S2n?1?Sn?222m30对任 意n?N*恒成立，则正整数m的最小值 A．10 B．9 C．8 （ ） D．7 七彩教育网 全国最新初中、高中试卷、课件、教案等教学资源免费下载