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分14分。
（1）设公差为d，则a2?a5?a4?a3，由性质得?3d(a4?a3)?d(a4?a3)，因为d?0，所以a4?a3?0，即2a1?5d?0，又由S7?7得7a1?解得a1??5，
7?62d?7，
2222d?2,(2)
（方法一）则
amam?1am?2amam?1am?2
=
(2m?7)(2m?5)2m?38t,设2m?3?t，
=
(t?4)(t?2)t?t??6, 所以t为8的约数
（方法二）因为
8 am+2amam?1am?2?(am?2?4)(am?2?2)am?2?am?2?6?8am?2为数列?an?中的项，
故
为整数，又由（1）知：am?2为奇数，所以am?2?2m?3??1,即m?1,2
经检验，符合题意的正整数只有m?2。
25（2009江苏卷）对于正整数n≥2，用Tn表示关于x的一元二次方程x?2ax?b?0有实数根的有序数组(a,b)的组数，其中a,b??1,2,?,n?（a和b可以相等）；对于随机选取的a,b??1,2,?,n?（a和b可以相等），记Pn为关于x的一元二次方程x?2ax?b?0有实数根的概率。 （1）求Tn和Pn；
2222（2）求证：对任意正整数n≥2，有Pn?1?1n.
【解析】 [必做题]本小题主要考查概率的基本知识和记数原理，考查探究能力。满分10分。
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?,S)n，26.（2009山东卷理)等比数列{an}的前n项和为Sn， 已知对任意的n?N ，点(n均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数)的图像上. （1）求r的值；
?（11）当b=2时，记 bn?2(log2an?1)(n?N)
x证明：对任意的n?N ，不等式
?bn?1b1?1b2?1·······?b1b2bnxn?1成立
?解:因为对任意的n?N,点(n,Sn)，均在函数y?b?r(b?0且b?1,b,r均为常数的图
n像上.所以得Sn?b?r,当n?1时,a1?S1?b?r,当n?2nn?1nn?1n?1?(b?1)b时,an?Sn?Sn?1?b?r?(b?r)?b?b,又因为{an}为等比数列,所
n?1以r??1,公比为b,an?(b?1)b
n?1n?1n?1?2（2）当b=2时，an?(b?1)b, bn?2(log2an?1)?2(log22?1)?2n
则
bn?1bn?2n?12n,所以
bn?1b1?1b2?13572n?1·······???? b1b2bn2462nbn?1b1?1b2?13572n?1·······?????b1b2bn2462n下面用数学归纳法证明不等式
32n?1成立.
① 当n?1时,左边=,右边=2,因为
32?2,所以不等式成立.
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② 假设当n?k时不等式成立,即
bk?1b1?1b2?13572k?1·······?????b1b2bk2462kk?1成立.
则当n?k?1时,左边=
bk?1bk?1?1b1?1b2?13572k?12k?3·······??????? b1b2bkbk?12462k2k?22?k?1?2k?32k?2?(2k?3)4(k?1)?4(k?1)?4(k?1)?14(k?1)2?(k?1)?1?14(k?1)?(k?1)?1 所以当n?k?1时,不等式也成立. 由①、②可得不等式恒成立.
【命题立意】:本题主要考查了等比数列的定义,通项公式,以及已知Sn求an的基本题型,并运用数学归纳法证明与自然数有关的命题,以及放缩法证明不等式.
2227.（2009广东卷理）知曲线Cn:x?2nx?y?0(n?1,2,?)．从点P(?1,0)向曲线Cn引斜率为kn(kn?0)的切线ln，切点为Pn(xn,yn)． （1）求数列{xn}与{yn}的通项公式； （2）证明：x1?x3?x5???x2n?1?1?xn1?xnxnyn?2sin.
解：（1）设直线ln：y?kn(x?1)，联立x?2nx?y(1?kn)x2222?0得
22?(2kn?2n)x?kn?0，则??(2kn?2n)2222?4(1?kn)kn?0，∴
kn?n2n?1（?n2n?1舍去）
xn?2kn221?kn?n22(n?1)，即xn?nn?1n，∴yn?kn(xn?1)?n2n?1n?1
（2）证明：∵
1?xn1?xn1??1?n?1?nn?12n?12n12n?1
x1?x3?x5?????x2n?1?12?34??????13?35?????2n?12n?1?12n?1
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∴x1?x3?x5?????x2n?1?1?xn1?xn
由于
xnyn?12n?1?1?xn1?xn22，可令函数f(x)?x?2sinx，则f(x)?1?'2cosx，
os令f(x)?0，得c'x?，给定区间(0,?4则有f(x)?0，则函数f(x)在(0,)，
?4)恒成立，又
'?4)上
单调递减，∴f(x)?f(0)?0，即x?12n?1132sinx在(0,0????4，
则有
12n?1?2sin12n?1，即
1?xn1?xn?2sinxnyn14.
28（2009安徽卷理）首项为正数的数列?an?满足an?1?(an?3),n?N?.
2（I）证明：若a1为奇数，则对一切n?2,an都是奇数； （II）若对一切n?N?都有an?1?an，求a1的取值范围.
解：本小题主要考查数列、数学归纳法和不等式的有关知识，考查推理论证、抽象概括、运算求解和探究能力，考查学生是否具有审慎思维的习惯和一定的数学视野。本小题满分13分。
解：（I）已知a1是奇数，假设ak?2m?1是奇数，其中m为正整数，
ak?342则由递推关系得ak?1??m(m?1)?1是奇数。
根据数学归纳法，对任何n?N?，an都是奇数。 （II）（方法一）由an?1?an?14(an?1)(an?3)知，an?1?an当且仅当an?1或an?3。
1?343?342另一方面，若0?ak?1,则0?ak?1??1；若ak?3，则ak?1??3.
根据数学归纳法，0?a1?1,?0?an?1,?n?N?;a1?3?an?3,?n?N?. 综合所述，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
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（方法二）由a2?2a1?3422?a1,得a1?4a1?3?0,于是0?a1?1或a1?3。
2an?1?an?an?34?an?1?342?(an?an?1)(an?an?1)4,
因为a1?0,an?1?an?34,所以所有的an均大于0，因此an?1?an与an?an?1同号。
根据数学归纳法，?n?N?，an?1?an与a2?a1同号。 因此，对一切n?N?都有an?1?an的充要条件是0?a1?1或a1?3。
29.（2009江西卷理）各项均为正数的数列{an}，a1?a,a2?b，且对满足m?n?p?q的正整数m,n,p,q都有
1245am?an(1?am)(1?an)?ap?aq(1?ap)(1?aq).
（1）当a?,b?时，求通项an;
1?an??.
（2）证明：对任意a，存在与a有关的常数?，使得对于每个正整数n，都有
am?an(1?am)(1?an)a1?an(1?a1)(1?an)2an?1?1an?1?2?解：（1）由
?ap?aq(1?ap)(1?aq)12得
?a2?an?1(1?a2)(1?an?1).将a1?,a2?45代入化简得
an?.
所以
1?an1?an?11?an?1?, 31?an?1故数列{1?an1?an13n}为等比数列，从而
1?an1?an?,即an?3?13?1nn.
可验证，an?3?13?1nn满足题设条件.
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