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第六部分 无穷级数
[填空题] 1．数项级数
11的和为 。 ?2(2n?1)(2n?1)n?1??(?1)n2．数项级数?的和为 cos1 。
(2n)!n?0
注：求数项级数的和常用的有两种方法，一种是用和的定义，求部分和极限；另一种是
将数项级数看成是一个函数项级数在某点取值时的情况，求函数项级数的和函数在此点的值。
3．设an?0,p?1,且lim(n(e?1)an)?1，若级数
n??p1n?an?1?n收敛，则p的取值范围是
(2,??)。
1p分析：因为在n??时，(e?1)与是等价无穷小量，所以由lim(n(en?1)an)?1n??n1n1
可知，当n??时，an与因此p?2。
1np?1是等价无穷小量。由因为级数
?an收敛，故?n?1n?1??1np?1收敛，
4．幂级数
?an?0?2n在处x?2条件收敛，则其收敛域为 [0,2]。 (x?1)n分析：根据收敛半径的定义，x?2是收敛区间的端点，所以收敛半径为1。由因为在
?2nx?0时，级数?an(x?1)n?0??an条件收敛，因此应填[0,2]。
n?0?5．幂级数
n2n的收敛半径为 3。 x?nnn?12?(?3)?分析：因为幂级数缺奇次方项，不能直接用收敛半径的计算公式。因为
nnn?1122(n?1)2?(?3)limn?1x?x，
n??23?(?3)n?1nx2n所以，根据比值判敛法，当x?3时，原级数绝对收敛，当x?3时，原级数发散。由
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收敛半径的定义，应填3。 6．幂级数
1?n?1?x的收敛域为 [?1,1)。 ??n?2?n?2?nlnn1nx收敛半径为1，收敛域为[?1,1)；?n?2nlnn?? 分析：根据收敛半径的计算公式，幂级数
幂级数
1n）?[1，2）一定发散。x收敛域为(?2,2)。因此原级数在[?1,1)收敛，在(?2,?1?nn?22?有根据阿贝尔定理，原级数在(??,?2]?[2,??)也一定发散。故应填[?1,1)。
7．已知f(x)??an?0?nx,x?(??,??)，且对任意x，F?(x)?f(x)，则F(x)在原点的幂n级数展开式为 F(0)?an?1nx,x?(??,??)。 ?n?1n?
分析：根据幂级数的逐项积分性质，及f(x)??an?0?nxn,x?(??,??)，得
F(x)?F(0)???x0?a??n?f(t)dt????ant?dt??nxn?1，
0n?0n?1?n?0?x故应填F(0)?an?1nx,x?(??,??)。 ?nn?1x????11?n????(x?1)?。 8．函数f(x)?xe在x?1处的幂级数展开式为 e?1???(n?1)!n!??n?1??
分析：已知e?x1nx(x?(??,??))，所以 ?n!n?0x?1?xe?e[(x?1)ex?ex?1??11??n]?e?(x?1)?(x?1)??(x?1)n?
n?0n!n?0n!??????11?n??e?1????(x?1)?。 ?(n?1)!n!???n?1?? 根据函数的幂级数展开形式的惟一性，这就是所求。
9．已知f(x)?x?1,x?[0,1]，S(x)是f(x)的周期为1的三角级数的和函数，则
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133S(0),S()的值分别为 ，。
2221?x,0?x?,?210．设f(x)??
1?2(1?x),?x?1,2?a0?S(x)???ancosn?x,x?(??,??)，
2n?1其中 an?2
?1053f(x)cosn?xdx(n?0,1,2,?)，则S(?)?。
24[选择题]
11．设常数??0，正项级数
?an收敛，则级数?(?1)nn?1n?1??a2n?1n??2[ ]
(A)发散。 (B)条件收敛。 (C)绝对收敛。 (D)敛散性与?的值有关。
答 C 分析：因为
?ak?1n2n?12k?1??ak?1nk，且正项级数
?an?1?n收敛，所以
?an?1?2n?1收敛。又因为
(?1)所以原级数绝对收敛。 12．设an?cosn?ln(1???a2n?1n2???1?1??a2n?1?2?， 2?n???1n)(n?1,2,3,?)，则级数[ ]
??(A)
?an?1?n与
?an?12n都收敛。 (B)
?an?1?n与
?an?12n都发散。
(C)
?an?1n收敛，
?an?1?2n发散。 (D)
?an?1n发散，
?an?1?2n收敛。
答 C
1?分析：因为an?cosn?ln(1n)?(?1)ln(1?n1n)，所以级数?an是满足莱布
n?1? 3
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?尼兹条件的交错级数，因此
?an?1n收敛。因为 an?ln(1?2211)在n??时与是等价无
nn?12穷小量，且调和级数?发散，所以?an发散。
nn?1n?1?13．设0?an??1(n?1,2,3,?)，则下列级数中肯定收敛的是[ ] n?n??an2(A)?an。 (B) ?(?1)an。 (C) ?。 (D) ?anlnn。
n?1n?1n?2lnnn?2 答 D
?1lnnlnn12分析：因为0?an?，所以0?anlnn?2。又因为lim2nn?0，且?n??nnnn?1nn?收敛，所以
?an2lnn收敛。另外，取an?n?21，可以说明不能选(A)及(C)；取2na2n?1???1114na?， ，因为 ???a?a?(1?)发散，所以2n??2n2n?1224n(2n?1)(2n?1)n?1n?14n?(?1)n?1nan发散。
14．下列命题中正确的是[ ] (A)若un?vn(n?1,2,3,?)，则
?un?1??n??vn。
n?1?(B) 若un?vn(n?1,2,3,?)，且
?vn?1n收敛，则
?un?1?n收敛。
??un(C)若lim?1，且?vn收敛，则?un收敛。
n??vn?1n?1n???(D) 若wn?un?vn(n?1,2,3,?)，且
答 D
?wn?1n与
?vn?1n收敛，则
?un?1n收敛。
分析：因为wn?un?vn，所以0?un?wn?vn?wn。又因为
?wn?1?n与
?vn?1?n收敛，
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???所以
?(vn?1n?wn)收敛，因而?(un?wn)收敛。故?un收敛。
n?1n?1因为只有当级数收敛时，才能比较其和的大小，所以不能选(A)；选项(B),(C)将正项级
??11数的结论用到了一般级数上，显然不对。例如取级数??与?2可以说明(B)不对，取
nn?1nn?1级数
?n?1?(?1)n?(?1)n1?与???n?n??就可以说明(C)不对。 nn?1???15．下列命题中正确的是[ ] (A) 若
?un?1??2n与
?vn?1?2n都收敛，则
??(un?1??n?vn)2收敛。
(B) 若
?uvn?1nn收敛，则
??un?12n与
?vn?12n都收敛。
(C) 若正项级数
?un发散，则un?n?1?1。 n发散，则
(D) 若un?vn(n?1,2,3,?)，且
答 A
?un?1n?vn?1?n发散。
分析：因为(un?vn)?u?2unvn?v?2(u?v)，所以当
?22n2n2n2n?un?1?2n与
?vn?1?2n都收敛
时，
?(un?vn)2收敛。取un?n?1111,vn?可以排除选项(B)；取un?排除选项(C)；
2nnn取级数un???11与vn?2可以说明(D)不对。 nnn16．若级数
?un?1，
?vn?1?n都发散，则[ ]
?(A)
?(un?1??n?vn)发散。 (B) ?unvn发散。
n?1?(C)
22发散。 (D) (u?v)(u?v?nn?nn)发散。 n?1n?1答 C
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