第六部分 无穷级数 第 16 页 共 20 页
令
xnS1(x)??，
n?1n?则S1(x)的定义域为[?1,1)，且S(x)?xS1(x)。任给x?[?1,1)，由逐项求导公式得，
?xn?(x)???S1?n?1?n????1n?1??x?,x?(?1,1)。 ??1?xn?1?1dt??ln(1?x),x?(?1,1)。 01?tx因此，
S1(x)?S1(x)?S1(0)??所以，
S(x)?xS1(x)??xln(1?x),x?(?1,1)。
由S(x)?C[?1,1)得，S(?1)?lim?S(x)?lim?[?xln(1?x)]?ln2。
x??1x??1(?1)n（2） 求数项级数?的和。
2n?1n?0?(?1)n2n?1考虑幂级数?x，则其收敛域为[?1,1]。若记其和函数为S(x)，则
n?02n?1?(?1)n。 S(1)??n?02n?1? 由于
S(x)?S(x)?S(0)??S?(t)dt0x x1??n2n?????(?1)t?dt??dt?arctanx,x?(?11)。001?t2?n?0?x
又因为S(x)?C[?1,1]，所以
S(1)?limS(x)?limarctanx???x?1x?1?4。
?故
(?1)n??。 ?2n?14n?0 16
第六部分 无穷级数 第 17 页 共 20 页
n235．求级数?的和。
n!n?1?xn解：由于 e??n?0n!x?,x?(??,??)。
对上式两边求导，得
ne??xn?1，
n?0n!x?所以 xe?此式两边再求导，得
xnn?x， n?0n!?n2n?1xe?e??x，
n?0n!xx?n2?2e。 在上式中令x?1，有 ?n?1n!?36． 设f(x)时周期为2的周期函数，且f(x)???x,0?x?1,，写出f(x)的傅里叶级数
?0,1?x?2与其和函数，并求级数
1的和。 ?2(2n?1)n?0?解：根据傅里叶系数的计算公式，得
an????201f(x)cosn?xdxxcosn?xdx
0(?1)n?1?(n?1,2,3,?)，n2?2a0??f(x)dx??xdx?00211， 2bn??f(x)sinn?xdx02??xsinn?xdx01
(?1)n?1?(n?1,2,3,?)，n?所以f(x)的傅里叶级数为
17
第六部分 无穷级数 第 18 页 共 20 页
1?1??4n?1n?
其和函数的周期为2，且
?(?1)n?1?n?1cosn?x?(?1)sinn?x?。 ??n???x,0?x?1,?1S(x)??,x?1,
2??0,1?x?2。
令x?0，得
1?1?(?1)n?1?1?2，且 S(0)?0， S(0)????????224n?1n??n??4n?0(2n?1)?所以
1?2。 ??28n?0(2n?1)?37．设级数?an收敛，且limbn?1，证明级数?anbn绝对收敛。
n?1n????n?1证： 因为limbn?1，所以数列{bn}有界，即存在M?0，使得对任意的n，有
n??bn?M，
于是anbn?Man，又级数?an收敛，由比较判敛法知?anbn收敛，故级数?anbn
n?1n?1n?1???绝对收敛。
38．已知an?0,且an?1?an(n?1,2,3,?)，若级数
?(?1)n?1?nan发散，证明级数
1收敛。 ?n(1?a)n?1n证：因为0?an?1?an(n?1,2,3,?)，所以极限liman存在，其值记为A。由于级数
n????(?1)n?1?nan发散，根据莱布尼兹判敛法知A?0。所以存在N?0，使得当n?N时，有
an?A1，故当n?N时，?n2(1?an)?1。 An(1?)2根据比较判敛法知级数
1收敛。 ?nn?1(1?an) 18
第六部分 无穷级数 第 19 页 共 20 页
?39．设an??40tanxdx，证明对任意的常数??0，级数?nan收敛。 ?nn?1?证：令 tanx?t，得
n1t1n0?an??4tanxdx??dt?tdt?， ?0001?t2n?1n1?所以
0??an11。 ????1??n(n?1)nnan收敛。 ??nn?1?由于当??0时，级数
?nn?111??收敛，根据比较判敛法，级数
?1?2xn40．已知 ?2?, f(x)??2 ,证明
6n?1nn?1n?f(x)?f(1?x)?lnxln(1?x)???26。
xn证：因为幂级数?2 为[?1,1]，所以函数f(x)定义域是[?1,1]，函数f(1?x)定义域是
n?1n[0,2]。
1?x)，则其定义域为(0,1)。根据幂级数的可导性令F(x)?f(x)?f(1?x)?lnxln(及逐项求导公式，得
??n?1??xn?x1?f?(x)??? ??ln(1?x)， ??n2??nx?n?1?n?1????(1?x)n?(1?x)n?1f?(1?x)????n2?????nn?1?n?1?
n1?1n?1(x?1)?(?1)?lnx,?1?xn?1n1?x又
(lnxln(1?x))??所以
11ln(1?x)?lnx， x1?x?F?(x)?f?(x)?f?(1?x)??lnxln(1?x)??0,x?(0,1)。
19
第六部分 无穷级数 第 20 页 共 20 页
1?x)?C,x?(0,1)。 因此F(x)?f(x)?f(1?x)?lnxln(在上式两端令x?1取极限，得
?C?limF(x)?x?1?f(1)?f(0)?limln(1?(x?1))ln(1?x) ?x?11?2?f(1)??2?,6n?1n?1?x)?所以f(x)?f(1?x)?lnxln(?26,x?(0,1)。
20