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??11分析：取un??,vn?可以排除选项(A),(B)及(D)。因为级数?un，?vn都发
nnn?1n?1???散，所以级数
?un?1?n，
?vn?1n都发散，因而
?(un?1n?vn)发散。故选(C)。
17．设正项级数
?un?1n收敛，则[ ]
(A) 极限limun?1u小于1。 (B) 极限limn?1小于等于1。
n??un??unnun?1u存在，其值小于1。(D) 若极限limn?1存在，其值小于等于1。
n??un??unn(C) 若极限lim
答 D
?un?1分析：根据比值判敛法，若极限lim存在，则当其值大于1时，级数?un发散。
n??un?1n?1因此选项(D)正确。取un?2排除选项(C)。因为正项级数?un收敛并不能保证极限
nn?1limun?1存在，所以选项(A)，(B)不对。
n??un18．下列命题中正确的是[ ] (A) 若幂级数
?anxn的收敛半径为R?0，则limn?0?an?11?。
n??aRn?an?1n(B) 若极限lim不存在，则幂级数?anx没有收敛半径。
n??an?0n??(C) 若幂级数
?an?0?n[?1,1]的收敛域为，则幂级数的收敛域为[?1,1]。 xnax?nnnn?1?(D) 若幂级数
答 D
?anx的收敛域为[?1,1]，则幂级数?nn?0annx的收敛域为[?1,1]。
n?0n?1分析：极限liman?11??只是收敛半径为R?的一个充分条件，因此选项(A)不对。
n??a?n 6
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?幂级数
?an?0nx没有收敛半径存在而且惟一，所以选项(B)不对。取级数?n?xnnn可以排除
n?1选项(C)。选项(D)可以由幂级数的逐项积分性质得到。 19．若幂级数
?an?0?n(x?1)在x??1处条件收敛，则级数?an [ ]
nn?0?(A)条件收敛。 (B)绝对收敛。 (C)发散。 (D)敛散性不能确定。
答 B
分析：根据收敛半径的定义，x??1是收敛区间的一个端点，所以原级数的收敛半径为2。因此幂级数20．设函数
?an?0?n(x?1)在x?2处绝对收敛，即级数?an绝对收敛。
nn?0?f(x)?x2,x?[0,1]，
而
a0?S(x)???ancosn?x,x?(??,??)，
2n?1其中 an?2?10f(x)cosn?xdx,n?0,1,2,?，
则S(?1)的值为[ ] (A)?1。 (B)?
答 D
11。 (C)。 (D)1。
22a0?2分析：??ancosn?x是对函数f(x)?x,x?[0,1]作偶延拓得到的三角级数展开
2n?1式，且延拓后得到的函数连续，根据狄里克莱收敛定理，S(?1)?f(1)?1。
[解答题]
?lnn31???21．求级数??n??的和。 n(n?1)2n?1???解：因为
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lnn31?nnlnk3ln32,??k21?ln3k?122所以
11， ?1????kk?1)n?1k?1n?lnn31??????2n? n(n?1)n?1????lnk3?1?lim??k?? n????kk?1)k?1?2?n??lnn31??ln3n1?2?lim??1??
n??ln32n?1??1???2??? 22．已知级数
ln32?1?。
2?ln32?ln3?(?1)n?12n?1?n?1un?2,??un?1?2n?1?5，求级数?un的和。
n?1??解：因为 故
?un?1??5，所以 ?2u2n?1?10。又因为 ?(?1)n?1un?2，
n?1n?1?un?1?n??(2u2n?1?(?1)n?1?n?1un)??2u2n?1??(?1)n?1un?10?2?8。
n?1n?1?? 23．判断级数
?n?1?1?n?1?ln??的敛散性。
nn??解：因为
1?n?1?ln???0，且 n?n??n?1?ln??n??1lim?，
n??1n 8
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?11?n?1?所以在n??时是等价无穷小。又因为级数?收敛，所以，ln??与
n?n?nnn?1nn1根据比阶判敛法知级数
?n?1?1?n?1?ln??收敛。
nn??另解：因为
?n?1??1?1ln???ln?1???， ?n??n?n所以
11?n?1?。 ln???n?n?nn 已知
?nn?1?1n?收敛，所以由比较判敛法知级数
?n?1?1?n?1?ln??收敛。
nn??ann!24．判断级数?n(a?0)的敛散性。
n?1nann!解：记 un?n，则un?0，且
nun?1aaan?1(n?1)!nn?lim?， lim?lim?nn??1n??un??(n?1)n?1ean!n(1?)nn所以根据比值判敛法，当a?e时级数收敛，当a?e时级数发散。
当a?e时，因为limun?1?1，所以此时比值判敛法失效，但由于
n??une1?1，(因为数列(1?)n单调递增趋于e) 1n(1?)nnun?1?un所以limun?0，因而当a?e时，级数发散。
n??
?an25．讨论级数?p，p?0的敛散性。
n?1n
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解：因为
limn??an?1p(n?1)??npan?a，
an所以根据比值判敛法，当a?1时，级数?p绝对收敛。
n?1n
?anan当a?1时，由于limp???，所以级数?p发散。
n??nn?1n 当a?1时，级数为级数收敛。
1，由p级数的敛散性，当0?p?1时级数发散，当p?1时?pnn?1?(?1)n当a??1时，级数为?，由莱布尼兹判敛法与绝对值判敛法，当0?p?1时级pn?1n?数条件收敛，当p?1时级数绝对收敛。
26．已知函数y?y(x)满足等式y??x?y，且y(0)?1，试讨论级数
1??1 y()?1???n?n?n?1?的收敛性。
解：因为 y??x?y，所以 y???1?y?。由y(0)?1，得y?(0)?1,y??(0)?2。根据泰勒公式，得
?11111y()?y(0)?y?(0)?y??(0)()2?o(2)nn2nn
111?1??2?o(2)，nnn?1111所以y()?1?在n??时与2等价，且级数?2收敛，因此级数
nnnn?1n1??1y()?1???n? n?n?1?绝对收敛。
? 10