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注：本题也可先解定解问题??y??y?x，得到y(x)?2ex?x?1后再用泰勒公式讨论。
?y(0)?127．求下列幂级数的收敛域
(1) ?(?1)n?1?n2nnx，(2) ?(?nx)，(3) ?nnn?1?1nx。 n!n?1?解：
2n(1) 记an?(?1)，因为
nnan?12n?lim?2,
n??an??n?1nlim所以收敛半径为 R?111，收敛区间为 (?,)。 222
?1
又因为当x?时， 级数
2
n?11n(?1)??发散。 nnn?1?(?1)n?1?n11条件收；当x??时， 级数
2n?(?1)n?1 故级数
?(?1)n?1?n2n11xn的收敛域为(?,]。
22nnan?1?1?nn(2) 记an?(?1)n, 由lim?lim(n?1)?1?????, 得收敛半径为
n??an???n?nR?0, 所以幂级数?(?nx)n仅在x?0处收敛。
n?1?an?111lim?lim?0, 得收敛半径为R???, 故级数 (3) 记an?, 由n??n??n!ann?11nx的收敛域为(??,??)。 ?n!n?128．求幂级数
?12n?1的收敛域。 x?nn?13?解：此时不能套用收敛半径的计算公式，而要对该级数用比值判敛法求其收敛半径。
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因为
k??lim13k?1x2k?112k?1x2x2, x?lim?k??333k?x2x212n?1所以，当绝对收敛；当?1, 即|x|?3时，级数?nx?1, 即|x|?3时，
33n?13级数
12n?1发散。 x?nn?1312n?1的收敛半径为R?3。 x?n3n?1?? 根据收敛半径的定义知级数
又，当x?3时,
?1112n?1?(3)?, 级数发散；当时, 一般项为, x??3n333级数也发散。 故级数
12n?1的收敛域为(?3,3)。 x?nn?13?1?12n1n2 注：还可以将级数变形为?nx，再令u?x，研究幂级数?nu的收敛半径
xn?13n?13和收敛域，最后得到
12n?1的收敛域。 x?nn?132n?1?29．求幂级数?10(2x?3)n?1??2n的收敛域。
解：因为
?10n?12n(2x?3)2n?11?3??202n(x?)2n?1，且 2n?12un?1(x)102n?2(2x?3)2n?1322lim?lim?20(x?)， n??u(x)n??102n(2x?3)2n?12n所以，当20(x?)?1，即x?2322313??0.05时，级数绝对收敛；当x??0.05时，22022n?1级数发散。故幂级数?10(2x?3)n?1?2n的收敛区间为(1.45,1.55)。
又当x?3?0.05时，原级数的一般项分别是un??10和un?10，所以发散。因此2 12
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?级数?10(2x?3)n?12n2n?1的收敛域为(1.45,1.55)。
30．设a0,a1,a2,?为一等差数列，且a0?0，求级数?anx的收敛域。
n?0?n解：记a0,a1,a2,?的公差为d，则
an?a0?nd，
所以
an?1?1。
n??anlimn因此收敛半径为R?1，又当x??1时，级数成为?(?1)an，liman?0，所以
n?0n???n?0n?(?1)an发散，于是级数?anx的收敛域为(?1,1)。
n?0?n?1?x531．将函数ln展开为x?0处的幂级数。
1?x(?1)n?1n解：因为ln(1?x)??x,x?(?1,1]。
nn?1?所以
1?x5ln?ln(1?x5)?ln(1?x) 1?x??(?1)n?1??n?1n(?x5)n?n?1(?x) ??(?1)nnn?1x5n?xn (?1?x?1)。 ?????nnn?1n?132．将函数f(x)?arctan解：因为
?2n2nf?(x)??2(?1)x,(x?1)，f(0)?0， ?21?xn?02x在x?0点展开为幂级数。 21?x所以
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f(x)??x0(?1)n2n?1f?(t)dt?2?(?1)?tdt?2?x (x?1)。
02n?1n?0n?0?nx2n?
33．将函数f(x)?
(n)x?1在x0?1点展成幂级数, 并求f4?x(1)。
?11n解：将f(x)视为(x?1), 因此只需将展成?bn(x?1)即可。
4?x4?xn?0 因为
111??4?x3?(x?1)3且
1, x?11?31?1?x?x2???xn?? x?1， 1?x所以
11?4?x3于是
?11?x?1(x?1)2(x?1)n??1????????， 2nx?13?333?1?3?x?11?(x?1)2(x?1)3(x?1)n?1f(x)???(x?1)????????, |x?1|?3。
4?x3?3323n?
由于f(x)的幂级数
?an?0?n(x?1)的系数an?f(n)nf(n)(1), 所以 n!(1)?(n!)an?
n!。 3n?134．求幂级数
??(?1)n?1?n?1n(n?1)xn在收敛区间(?1,1)内的和函数S(x), 并求数项级数
?(?1)n?1n?1n(n?1)的和。 2n解：利用幂级数在收敛区间内可以逐项积分和逐项微分, 得
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xn?1n???0(?1)n(n?1)xdx??(|x|?1)?0S(x)dx????n?1x???(?1)n?1?n?1nxn?1??(?1)n?1(xn)?x2n?1??????x2??(?1)n?1xn??n?1??xx2??2?x?。??21?x(1?x)??将上式两端对上限x求导, 得
S(x)?
令x?2x, |x|?1。
(1?x)31, 得 2?(?1)n?1n?1?n(n?1)?1?8。 ?S???n2272??求幂级数
令
nnx?的和函数S(x)。 n?1?S1(x)??nxn?1，
n?1?则S1(x)的定义域为(?1,1)，且S(x)?xS1(x)。任给x?(?1,1)，由逐项积分公式得，
?
因此，
x0S1(t)dt???ntn?10?xn?1dt??xn?n?1?x,x?(?1,1)。 1?x?1?x?S1(x)??,x?(?1,1)， ??2(1?x)?1?x?所以，
S(x)?xS1(x)?x,x?(?1,1)。 2(1?x)xn?1（1） 求幂级数?的和函数。
n?1n? 15