第三章 函数与数据的逼近
教学目的 1. 理解连续函数空间，正交多项式理论；2. 掌握最佳平方逼近及最小二乘逼 近函数的求解方法；3. 理解非线性模型举例的有关知识的基础上会求模型的逼近函数。
教学重点及难点 重点是最佳平方逼近及最小二乘逼近函数的求解。难点是会求非线性模型的逼近函数。
教学时数 10学时 教学过程
§1 引言
在科学计算中有下述两类逼近问题。 1．关于数学函数的逼近问题
由于电子计算机只能做算术运算，因此，在计算机上计算数学函数（例如
f(x)?ex,f(x)?sinx等在有限区间上计算）必须用其他简单的函数来逼近（例如用多项式
或有理分式来逼近数学函数，）且用它来代替原来精确的数学函数的计算。这种函数逼近的特点是：
（a）要求是高精度逼近；
（b）要快速计算（计算量越小越好）。 2．建立实验数据的数学模型
给定函数的实验数据，需要用较简单和合适的函数来逼近（或拟合实验数据）。 例如，已知y?f(x)实验数据
xf(x)x1y1x2?xm
y2?ym希望建立y?f(x)数学模型（近似表达式），这种逼近的特点是： （a）适度的精度是需要的； （b）实验数据有小的误差；
（c）对于某些问题，可能有某些特殊的信息能够用来选择实验数据的数学模型。 事实上，我们已经学过一些用多项式逼近一个函数y?f(x)的问题，例如 （1）用在x?x0点Taylor多项式逼近函数 设y?f(x)在[a,b]上各阶导数f(i)(x)(i?0,1,?,n?1)存在且连续，x0?[a,b]，则有
f(n)(x0)f(x)?f(x0)?f'(x0)(x?x0)???(x?x0)n?Rn(x)
n! ?Pn(x)?Rn(x)
f(n?1)(?)其中R(x)?(x?x0)n?1,x?[a,b],?在x0和x之间。
(n?1)!于是，可用Pn(x)(n次多项式）来逼近f(x)，即 f(x)?Pn(x),x?[a,b]
且误差为：Rn(x)?f(x)?Pn(x)
且当f(n?1)(x)?Mn时，则有误差估计
Rn(x)?Mnx?x0(n?1)!n?1,a?x?b
?f(x0)?Pn(x0)显然有：?(k) (k)f(x)?P(x),(k?1,2,?,n)0n0?说明Pn(x)是利用在x?x0处f(x)函数值及各阶导数值来摸拟f(x)的性质，且当x越接近于x0，误差就越小，x越偏离x0，误差就越大。由此，在[a,b]上要提高Pn(x)逼近f(x)的精度，就要提高Pn(x)的次数，这就使得计算量增大。
（2）用插值多项式逼近函数
设已知(xi,f(xi)),(i?0,1,?,n)则存在唯一n次插值多项式Pn(x)使
Pn(xi)?f(xi),(i?0,1,?,n)
其中xi(i?0,1,?,n)?[a,b]且互不相同，于是Pn(x)可作为f(x)近似函数，即 f(x)?Pn(x),x?[a,b]
插值多项式逼近f(x)也是利用n?1个点上f(x)的函数值来模似f(x)的性质，在n?1个节点xi上Pn(x)逼近f(x)无误差，当x?xi时，f(x)?Pn(x),Pn(x)逼近f(x)，也可能使误差|Rn(x)|?|f(x)?Pn(x)|较大。如果实际问题要求：|f(x)?Pn(x)|??对x?[a,b]（其中? 是给定精度要求），用插值多项式Pn(x)去逼近f(x)就可能失败。
例1 设f(x)?ex,x?[?1,1]，试考查用4次Taylor多项式P4(x)逼近f(x)的误差。
解 用在x?0展开的4次Taylor多项式逼近f(x)；
121314?P(x)?1?x?x?x?x4??2624 ?5?R(x)?ex?P(x)?x(?)?1x5?e?,x?[?1,1]4n?5!120?其中?在x和0之间。
于是有误差估计：
1?|R(x)|?|x|5e4?120 ? ??max|R(x)|?e?0.02264?120??1?x?1且有
15e5当0?x?1 x?R4(x)?x,120120误差P4(x)随x增加（0?x?1）而增加（对x?[?1,1]同理可说明），说明误差P4(x)在整个区间[-1，1]不是均匀分布，如图3-1。 现提出下述函数逼近问题。
问题：设f(x)为[a,b]上连续函数，寻求一个近似函数P(x)（多项式）使在[a,b]上均匀逼近
f(x)。
下面给出最佳逼近的数学提法：
C[a,b]?{f(x)|f(x)为[a,b]上实连续函数}
Hn{Pn(x)|Pn(x)??aixi,ai为实数}
i?0nB为较简单且便于计算的函数类，例如为代数多项式或三角项式或分式有理函数等。
设给定f(x)?C[a,b],要求在B中寻求一个函数P(x)使误差f(x)-P(x)在其种度量意义下最小。
1． 最佳一致逼近
设给定f(x)?C[a,b],max|f(x)?Pn(x)|,作为度量误差f(x)-P(x)的“大小”标准，
a?x?bPn(x)?Hn.
?寻求次数?n的多项式Pn(x)?Hn使最大误差最小，即 Pn(x)?Hna?x?bminmax|f(x)?Pn(x)|?max|f(x)?Pn?(x)|
a?x?b??如果这样多项式Pn(x)存在，称Pn(x)为f(x)在[a,b]上n次最佳一致逼近多项式。这个
逼近问题近问题称炒最佳一致逼近（或称为Chebyshev逼近，或称为极大极小逼近）。
?在现论上可以证明，对任意的[a,b]上连续函数f(x)的n次最佳一致逼近多项式Pn(x)存
有且唯一。最佳一致逼近主要用于初等函数的计算。
2．最佳平方逼近以均方误差[小“标准，P(x)?Hn.
寻求P(x)?Hn,使均方误差最小，即
Pn(x)?Hn2‘大?(x)(f(x)?P(x))dx]2作为度量误差f(x)-P(x)的n?ab1min[??(x)(f(x)?Pn(x))dx]2
a?2?(x)(f(x)?P(x))dx]2 ?anb21 [b1其中?(x)?0为权函数。
??如果这样的多项式Pn(x)存在，称Pn(x)为f(x)在Hn中的最佳平方逼近多项近。这种逼
近问题称为最佳平方逼近。
对于离散数据的逼近问题有： 3． 小二乘逼近
如果y?f(x)仅仅在有限个点上给定，即已知y?f(x)实验数据
xx1x2?xm
f(x)y1y2?ym寻求次数?n多项式P(x)?Hn,使编差平方（或带权）和最小，即
Pn(x)?Hnmin?(x))2 ??i(f(xi)?Pn(xi))2??(f(xi)?pni?1i?1mm?如果这样的多项式P(x)?Hn存在，称Pn(x)为实验数据的最小二乘逼近函数或称为实验?n数据的最小二乘拟合多项式或称为y?f(x)的经验公式（数学模型）。
对于给定f(x)?C[a,b]，需要研究的问题是：
?（1）在各种度量意义下最佳逼近多项式Pn(x)?Hn是否存在，是否唯一。本章主要讲座?最佳平方逼近，最小二乘逼近Pn(x)?Hn存在性及唯一性。
?（2）如何具体寻找或构造或构造各种最佳逼近意义下多项式Pn(x)。
§2 连续函数空间，正交多项式理论
2． 1连续函数空间
[a,b]上所有实连续函数集合C[a,b]，关于函数的加法及与数（实数）乘法运算为一线性空间，对于f(x)?C[a,b]称f为C[a,b]中一个元素，下面将在C[a,b]内引进内积，范数等概念。
1．内积
设f,g?C[a,b]为任一对元素，定义
(f,g)???(x)f(x)g(x)dx
ab为一实数（其中?(x)?0,x?[a,b]且于[a,b]为可积，各对[a,b]任何子区间?(x)?0,称为权函数）称为元素f,g?C[a,b]的内积。显然，连续函数空间C[a,b]中元素的内积满足下述性质：
(a)(f,g)?(g,f),?f,g?C[a,b]
(b)(Cf,g)?C(f,g),C为常数 (c)(f1?f2,g)?(f1,g)?(f2,g)
(d)(f,f)?0.f?C[a,b]且(f,f)?0当且仅当f(x)?0,又称C[a,b]为内积空间。
3． 范数
定义1 关于函数f(x)?C[a,b]的某个实值非负函数N(f)?||f||,如果满足下述条件：
1o||f||?0,||f||?0当且仅当f?0 2o||cf||?|c|||f||(c为实数）
3o三角不等式：对任意f(x)?C[a,b]，有 ||f?g||?||f||?||g||
称N(f)?||f||,为f(x)的范数或模。 定义2 （1）设f(x)?C[a,b]，称 N?(f)?||f||??maxf(x)
a?x?b为f的“?”范教（或Chebyshev范数）。 （2）设f(x)?C[a,b]称
N2(f)?||f||2?(f,f)为f的“2”范数（或模）。
1/2?[??(x)f2(x)]1/2
aoob可以验证N?(f),N2(f)满足范数的3个条件1?3（见定理1）。 定理1 设f,g?C[a,b]则有
（1）哥西-许瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式 |(f,g)|?||f||2?||g||2
（2）三角不等式||f?g||2?||f||2?||g||2
证明（1）对任对f,g?C[a,b]（不妨设g?0）及任何实数t,则有
0?(f?tg,f?tg)?(f,f)?2t(f,g)?t2(g,g)
?c?bt?at2,?t?R其中 a?(g,g)?0,b??2(f,g),c?(f,f)
22则有 b?4ac?4(f,g)?4(g,g)?(f,f)?0 即|(f,g)|?||f||2?||g||2
（2）考查
||f?g||22?(f?g,f?g)?(f,f)?2(f,g)?(g,g)?(g,g)
由哥西-许瓦兹不等式，则有
2222||f?g||2?||f||?2|(f,g)|?||g||?||f||?2||f||||g||?||g||2222222?(||f||2?||g||2)3．距离概念
2
定义3 设f,g?C?a,b?,称d(f,g)?f?ga
为f,g之间距离（其中a??或2）。 4．正交函数组
定义4（1）设f(x),g(x)?C?a,b?，如果(f,g)?上带树权?(x)为正交。
（2）设有函数组??0(x),?1(x),?,?n(x)?，其中?i(x)?C?a,b?(i?0,?,n)，如果
0, (??)?b?(x)?(x)?(x)dx???ijaij?当i?j ?Ai?0,当i?j?ba?(x)f(x)g(x)dx?0称f和g在?a,b?称??i?为?a,b?上带权正交函数组。
0,当i?j （3）如果(??)???ij?1,当i?j称??i?为[a,b]上带权?(x)标准正交组。
例2 三角函数组?1,cosx,sinx,?,cosnx,sinnx?于[??,?]上组成一正交组。
解 显然有
（1）(cosix,cosjx)???cosixcosjxdx?0当i?j,且i,j?1
???0,当i?j
??,当i?j?0（3）(cosix,cosix)??
（2）(sinix,sinjx)??（4）（1，1）=
??dx?2?
??(1,sinix)?0,(1,cosix)?0,i?1,?,n
5．函数组的线性无关 定义5 设有函数组??0(x),?1(x),?,?n(x)?，其中?i(x)?C[a,b](i?0,?,n) （1）如果存在不全为零数a0,a1,?,an使
a0?0(x)?a1?1(x)???an?n(x)?0，对所有x?[a,b]称函数组??i?i?0在[a,b]上为线
n性相关。
（2）如果
a0?0(x)?a1?1(x)???an?n(x)?0，对所有x?[a,b]则a0?a1???an?0，称[?0,?1,?,?n]在[a,b]上是线性无关。
例3 函数组1,x?,xn，其中xi?C[a,b](i?0,1,?,n)于[a,b]为线性无关。 证明 反证法。设1,x?,xn于[a,b]为线性相关，即存在不全为零的数c0,c1,?cn使
????Pn(x)?c0?c1x???cnxn?0 （2。1）
对所有x?[a,b]（2。1）式成立，而Pn(x)为次数?n多项式，最多有n个零点，而（2。1）式说明Pn(x)有无穷多零点，矛盾。
定理2 C[a,b]内函数组??0(x),?1(x),?,?n(x)?于[a,b]线性无关充要条件是行列式
(?0,?0)(?0,?1)?(?0,?n)(?,?)(?1,?1)?(?1,?n)G(?0,?1,?,?n)?10?0
?(?n,?0)??(?n,?1)?(?n,?n)行列式G(?0,?,?n)称为函数组??i?的Gram行列式。