b?ab?at?)?F(t) , 且t?[?1,1] 22*可用Legendre多项式求F(t)在[-1，1]的最佳平方逼近Pn(t)，其中
f(x)?f(?P0(t),P1(t),?,Pn(t)? Hn?Span最后，利用
2xb?a? b?ab?a可得函数在[a,b]上最佳平方逼近多项式
2xb?aPn*(t)?Pn*(?)
b?ab?a例5 用Chebyshev多项式求f(x)?ex在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。
t?解: 3次最佳逼近多项式为
*C3(x)?a0?a1T1(x)?a2T2(x)?a3T3(x) 21其中，
ak?令
2??ex1?x2?1Tk(x)dx,(k?0,1,2,3)
x?cos?
于是，可用数值分计算积分（见表3.2）
ak?2???0ecos?cosk?d?,(k?0,1,2,3)
表3.2 ak 2.53213176 1.13031821 0.27149534 0.04433684 0.00547424 0.00054293 0.000044977
k 1 2 3 4 5 6 x f(x)?e在[?1,1]上3次最佳逼近多项式为：
*C3(x)?0.994571?0.997308x?0.542991x2?0.177347x3(?1?x?1)且
*f(x)?C3(x)?a4T4(x)?a5T5(x)?a6T6(x)
|f(x)?C|?a4?a5?a6?0.00607,x?[?1,1]或
*max|f(x)?C3(x)|?0.00607 ?1?x?1*3
*用Chebyshev多项式求得f(x)?e的3次最佳平方逼近C3(x)的最大误差*max|f(x)?C3(x)|接近3最佳一致逼近的误差（见图3-3），且误差函数的分布很相似（见本?1?x?1x章§6）。
§4 最小二乘逼近
4．1一般的最小二乘逼近
设已知x?f(x)的实验数据
xx1x2?xm
f(x)f(x1)f(x2)?f(xm)其中x1?x2???xm,a?x1,b?xm。且选取C[a,b]中一函数类 S?Span{?0(x),?1(x),?,?n(x)} 记X?{x1,?,xm},且m?n.
最小二乘逼近问题：在S中寻求怀函数P(x)m2n*?a?*jj?0nj(x)使min??(f(x)使
P(x)?Si?1mp(x)?smin??if(xi)?p(xi))???i(f(xi)?p?(xi))2 （4.1）
i?1i?1其中?i?0为仅系数。
研究的问题：在S中Pn?(x)是否存在，是唯一及计算Pn?(x)等问题。 权系数。
（1）离散函数的内积： (f,g)?（2）范数：||f||2?(定义9 设已知f(x0,g(x)关于点集X??x1,x2,?,xm?上函数值，?i?0，(i?1~m)为
??i?1mif(xi)g(xi)
??i?1mm21/2f(x)) ii（对离散情况f(x)?0是指f(x)在x1,x2,?,xm上不全为零，于是，当f(x)?0时，则
(f,f)?0）
（3）如果 (f,g)?则称f(x)与g(x)关于权
n??i?1if(xi)g(xi)?0
???及点集X为正交。
i（4）设有连续函数组??0(x),?1(x),?,?n(x)?如果
?a?jj?0j(x)?0，当x?xi(i?1,?,m,m?n)
时成立，则a0?a1??an?0，称??0(x),?,?n(x)?在点集X上线性无关，否则称
??0(x)?,?n(x)?在X上线性相关。
若记
?i[?i(x1),?i(x2),?,?i(xm)]T,(m?n)
显然，函数组??0(x),?,?n(x)?关于X线性无关，即是向量组??0,?1,?,?n?线性无关。
det(G)?0。?m?n?其中
类似于定理2 可证明下述结论。
定理2?连续函数组??0(x),?,?n(x)?在点集X??x1,?,xm?上线性无关?是
?(?0,?0)(?0,?1)?(?,?)(?,?)11G??10????(?n,?0)(?n,?1) (?i,?j)?mkik?1j?(?0,?n)??(?1,?n)??
?????(?n,?n)?kjk???(x)?(x) ?(x)???x?，显然，如先取?则?x?njnj?0关于
X??x1,x2?,xm?上?m?2n?是线性无关。
j?0设连续函数组??0(x),?,?n(x)?关于点集X线性无关。 n设存在P?n(x)??a?j?j(x)?S使(4.1)式成立，现考查系数?a?j?应满足的条件．j?0对任何P(x)??S，于是有
nP(x)??aj?j(x)
j?0m||f?p||22???i(f(xi))?p(xi))2i?1mn
???i(?aj?j(xi)?f(xi))2?I(a0,a1,?,an)i?1j?0(4.1) 式成立即说明，存在{a*j}(j?0,1,?,n)使
miI(a***an0,a1,?,an)?I(a0,a1,?,an) i实数于是由多元函数取极值的必要条件，则有(a**0,?,an)满足 ????I?mn???2??i(?aj?j(xi)?f???a?(xi))?k(xi)?0k?(a)*0,?a*ni?1j?0 ?(k?0,1,?,n)即 (a**0,?an)应满足方组：
?nmm(??i?k(xi)?j(xi))aj?xi)j?0i?0??if(xi)?k(j?0
(k?0,1,?,n)或
?n???(?*k,?j)aj?(f,?k)j?0 ??(k?0,1,?,n),记Ga?d其中,
m(?k,?j)???i?k(xi)?j(xi),(f,?k)??m?if(xi)?k(xi)
i?1i?1（4．3）式即说明p*n(x)应满足
4.2） 4.4）
（ （*?(f?pn,?k)?0 （4. 4） ??(k?0,1,?,n)反之,如果{a}(j?0.1,?,n)为Ga?d解,则p(x)?乘逼近函数，即P?(x)满足（4.1）式。
总结上述讨论，有下述结论。 定理8 设有y?f(x)*j*n?a??jj?0nj(x)为y?f(x)的最小二
(xi,f(xi)i)?1,(?,m)且
??0(x),?1(x),?,?n(x)?，其中?S?Span?j(x)??j?0,1,?,n?关于点集X??x1,?,xm?线性
无关(m?n)，则
实
验
数
据
?P(x)??a?j?j(x)?S是y?f(x)在S中最小二乘逼近函数?是aj满足法方程组?j?0n??Ga?d或误差函数f?p?满足足正交条件
(f?P?,?j)?0,(j?0,1,?,n)
由定理2?可知，当假设连续数组
??(x)?(j?0,?,n)在点集X??x,x,?,x?(m?n)j12m线性无关时，则法方程组Ga?d有唯一解。 定理9 （最小二乘逼近）
（1）设已知y?f(x)实验数据(xi,f(xi))(i?1,?,m)(a?x1?x2??xm?b)。
（2）设Hn中函数组
j12m??(x)??(j?0,1,?,n)关于点集X??x,x,?,x?线性无关
?jnj?0(m?n)，则有
(a)y?f(x)在Hn中最小二乘逼近函数 P(x)??a?j?j(x)?Hn存在且唯一。即存在
Pj?(x)??Hn使
pn(x)Hnmin2?(f(x)?P(x))??(f(x)?P(x))?iini?iini
2i?1i?1mm（b）且最小二乘逼近多项式P(x)?求得
?j?a??jj?0nj(x)的系数a?j(j?0,?,n)可由解法方程组
????0,?0?0,?1??0,?n??a0??(f,?0)???,??,???,???a1??(f,?)?111n??1??10???，或Ga?d
???????????????a(f,?)?,??,???,?n?n1nn??n???n0其中，
(?k,?j)???j(xi)?j(xi)
i?1m(c)最小平方误差
?1?||f?P||2?(??i[f(xi)?Pn?(xi)]2)1/2
?ni?1m最大偏差
?2?maxf(xi)?Pn?(xi)
1?i?m 注意下列问题：
（1）权系数?i的选取：
特别可取权系数?i?1(i?1,?,m)或选取??i?为下面的（4.5）式。
即选取权系数为：
??1?(x2?x1)/2???i?(xi?1?xi?1)/2,(i?2,?,m?1) （4.5） ???(x?x)/2mm?1?m则(f,g)??baf(x)g(x)dx???if(xi)g(xi)
i?1bmm即离散内积近似于连续内积。事实上
(f,g)??f(x)g(x)dx???if(xi)g(xi) （4.6）
ai?1当利梯形公式计算积分,即有
?xixi?1f(x)g(x)dx?bxi?xi?1(f(x1)g)(xi)?f(xi?1)g(xi?1)) 2m将(4.7)代入(4.6)式,即得
(f,g)??f(x)g(x)dx???if(xi)g(xi)
ai?1其中?i(i?1,?,n;i?1,?,m)为(4.5)式(当m较大时)。
权系数还可根据实验数据yi的准确程度来先取，当yi较准确时，就分配较大的权系数?i。 （2）设权系数
?i??j(xi),(j?0,1,?,m)，将第j个基函数在xi处值记为：
aij??j(xi),(j?0,1,?n;i?1,?,m)
?a10a11??aa21?20?A???????am0am1?a1n?a2n??，A?Rm?(n?1) ???amn?f?[f(x1),f(x2),?,f(xm)]T
TTTTT则G?AA,d?Af，即法方程组为AA,d?Af，且G?AA为对称正定阵（当
??0(x),?,?n(x)?在X?x1,?,xm?线性无关时）。
（3）设已知y?f(x)的实验数据
xf(x)x1f(x1)x2?f(x2)?xm f(xm) （4.8） (a?x1?x2???xm?b,m?n)
(a)选取Hn中基1,x,?,xn，权系数?i(i?1,?,m)?j(x)?xj(j?0,1,?,n)
???j(x)?xj(j?0,1,?,n)