nb?b?(x)a?(x)?(x)dx??(x)f(x)?k(x)dx??a?jjk?a j?0??(k?0,1,?,n)?或
h?nb*??(?a?(x)?k(x)?j(x)dx)aj??a?(x)f(x)?k(x)dx ?j?0?(k?0,1,?,n)?或
?n*??(?k,?j)aj?(f,?k) ?j?0?(k?0,1,?,n)?总结上述讨论有结论： （1）如果P(x)?*n?a?*jj?0nj(x)?S是f(x)?C[a,b]最佳平方逼近函数，则
**(a)系数(a0,?,an)满足方程组
?(?0,?0)(?0,?1)?(?0,?n)??a0??(?0,f)???????a(?,f)(?,?)(?,?)?(?,?)1110111n???????或Ga?d ???????????????a(?,f)(?,?)(?,?)?(?,?)???n?n1nn??n??n0其中系数矩阵G是由基函数作内积构成，方程组Ga?d称为法方程组。 （b）误差函数与基函数正交，即(f?Pn?,?k)?0(k?0,1,?,n).
事实上，由（3.4）式有 (?k,即
(Pn?,?k)?(f,?k)?0 所以
(f?Pn?,?k)?0,(k?0,1,?,n)
n?a??jj?0nj(x))?(f,?k)
(2)由设??0(x),?1(x),?,?n(x)?于?a,b?线性无关,则法方程组Ga?d有唯一解
P(x)??a?j?j(x)?s为f(x)?C?a,b?在S中最佳平方逼近函数。
?nj?0事实上，由没有
?n???(?k,?j)aj?(f,?k) ?j?0?(k?0,1,?,n)?即有
(f?Pn,?k)?0,(k?0,1,?,n) （3.5）
*如果能证明，对任何P(x)??a?jj?0nj(x)?S，则有
f?P2?f?Pn*
222那么，Pn*(x)?S满足
minf?P2?f?Pn*
P?S222考查（记Pn*(x)?P*(x)）
f?P22?(f?P,f?P)
?(f?P*?P*?P,f?P*?P*?P) ?(f?P*,f?P*)?(P*?P,P*?P) ?2(f?P*,P*?P) ?f?P*22*22*22?P?P ,?P(x)?S
*i ?f?P（因为P?P?*?(ai?0n，及（3.5）式有(f?P*,P*?P?0) ?ai)?i(x)）
总结上述讨论有结论：
定理6 （最佳平方逼近） （1）设f(x)?C?a,b?；
（2）选择函数类S?Span??0(x),?1(x),?,?n(x)?其中?i(x)?C[a,b],(i?0,1,?,n)且则(a)f(x)?C[a,b]在S中最佳平方逼近函数Pn*(x)?S??0(x),?,?n(x)?于[a,b]线性无关。存在且唯一，即存在Pn*(x)?S使
min??(x)(f(x)?P(x)dx???(x)(f(x)?Pn*(x))2dx
P?Saab)2b(b)且可由解法方程组
?n??(?k,?j)aj?(f,?k) ?j?0?(k?0,1,?,n)?**求得[a0,?,an]，于是f(x)?C?a,b?的最佳平方逼近函数为
f?P*22???(x)(f(x)?P*(x))2dx?(f?P*,f?P*)
a22b*** ?(f,f)?(P,P)?2(f,P)?f?(f,P*)
（因为(P,P)?(f,P)?(P?f,P)?0）
3．2用多项式作最佳平方逼近 已知f(x)?C?a,b?。
（1） 选取S?Hn?{1,x,?,x},?(x)?1寻求P(x)?n*n*****?ax*jj?0nj?Hn使
min(f(x)?P(x)2)dx?p?Hna?b*2(f(x)?P(x))dx n?ab显然，?j(x)?xj(j?0,1,?,n),计算
(?k,?j)??xk?jdx?abab1(bk?j?1?ak?j?1)k?j?1
(f,?k)??f(x)xkdx?dk（2）求解法方程组：Ga?d 即得
P(x)??a*j?j(x)
*nj?0n物别，设f(x)?C[0,1],?(x)?1，则
(?k,?j)??xk?1dx?01011k?j?1
(?k,f)??f(x)xkdx?dk法方程组为：
??1?1??2???1??n?11??a0??d0?n?1?????1??a??d???1??1??n?1?????? （或Ga?d）
?????11?????????an????dn??n?22n?1????1213
求解Ga?d，则可是
jp(x)??a*jx *nj?0n矩阵G称为Hilbert矩阵，是一个著名病态矩阵（对解Ga?d而言），且随n增大，G病态愈严重，求得Ga?d比较准确的计算解就愈困难。因此，取Hn中基{1,x,?,xn}，求f(x)*是佳平方逼近多项式pn当n增加时，(x),当n较大时用一般计算方法救得的计算解是不可靠的，
这种方程组计算解精度由舍入误差影响而迅速恶化。一个补救的办法是取Hn中正交基。]
3．3用正效多项式作最佳平方逼近
设f(x)?C[a,b]。
（1）选取Hn中正交基{?0(x),?1(x),?,?n(x)}x,?[a,b]权函数?(x)，寻求
np(x)??a*j?j(x)?Hn使
*nj?0 minp(x)?Hna2*2?(x)[f(x)?P(x)]dx??(x)[f(x)?p(x)]dx n??abb由设，(?i,?)?0,当i?j。 （2）求解法方程组
?(?0,?0)??a0??(f,?0)????a??(f,?)?(?,?)111???1??? ?
???????????????(?,?)a(f,?)nn??n??n??于是，
a*j?(f,?j)(?j,?j)n,(j?0,1,?,n)
得到f(x)?C[a,b]在Hn最佳平方逼近多项式 p(x)?*n*a?j?j(x) j?0定理7 （用正交多项式作最佳平方逼近）
（1） 设f(x)?C[a,b]；
（2） 选取Hn中正交基{?0(x),?1(x),?,?n(x)},即
b(?i,?)???(x)?i(x)?j(x)dx?0,当i?j，
a?(x)为权函数，则
(a)f(x)?C[a,b]在Hn中最佳平方逼近多项式
P(x)??a*j?j(x)
*nj?0n其中，
a?*j(f,?j)(?j,?j*2n2?(x)f(x)?(x)dx??,(j?0,1,?,n) )??(x)?(x)dxajba2jb(b)均方误差
f?P?f2?(f,P)?f2*n222??(?j,?j)a*j j?0n由此，用正交多项式求得佳平方逼近多项式，避免解法方程组。
例4 求f(x)?ex在[-1，1]上3次最佳平方逼近多项式。
解 取H3中正交基?P0,PPi?i?0为Legendre多项式。?(x)?1,f(x)?ex于1,P2,P3?其中?3[-1，1]在H3中3次最佳逼近多项式为：
****P3*(x)?a0P0(x)?a1P1(x)?a2P2(x)?a3P3(x)
其中
a*j?且
(f,Pj)(Pj,Pj)???1?11exPj(x)dxP(x)dx2j
?1(Pj,Pj)?2(j?0,1,2,3) 2j?1表3-1
j0123所以由表3-1：
a*j1.17521.10360.35780.07046
P3*(x)?0.9963?0.9979x?0.5367x2?0.1761x3 x?[?1,1]
用Chebyshev多项式作最佳平方逼近。 设f(x)?C[?1,1]。
(a)选取Hn中正交基?T0(x),T1(x),?,Tn(x)?，其中,Ti(x)为Chebyshev多项式。[a,b]?[?1,1]，权函数?(x)?11?x2?，寻求Cn(x)??aT(x)?H?kkn使
Cn(x)?Hn?1min1?111?x2[f(x)?Cn(x)]2dx
??11?x2?1*[f(x)?Cn(x)]2dx
(b)由定理7，f(x)?C[?1,1]在Hn中最佳平方逼近多项式为
n?**?Cn(x)??akTk(x)k?0??其中 ?(f,T0)111?*a0??f(x)dx?(T0,T0)???11?x2?(f,Tk)211?*a??f(x)Tk(x)dxk??2?1(Tk,Tk)?1?x?或
*n?a0**Cn(x)???akTk(x)?2k?1?? ?其中?211*?ak??f(x)Tk(x)dx(k?0,1,?,n)2?1??1?x?(c)均方误差
f?C*2n2?f2??(Tj,Tj)a2j?0n*2j?f2??a?2*0??a2k?1n*2k
如果f(x)?C[a,b]，要求f(x)在[a,b]上最佳平方逼近多项式：
作变换 x?于是，
b?ab?at?,(?1?t?1) 22