cosk??则有
sin(k?1)??sin(k?1)?
2sin?sin2n?
2sin?cos??cos3????cos(2n?1)??从而有
（1）当k?l时
1sin2n?1sin2n?1sin(k?l)?1sin(k?l)?????0
22sin?22sin?22sin?22sin?k?（2）当k?l?0时，??0,??，则
n11sin2k?1(Tk,Tk)?n??n
222sin?2（3）当k?l?0时，??0,??0，则
11(T0,T0)?n?n?n
22(Tk,Tl)?4．4非线性模型举例
设已知y?f(x)实验数据(xi,f(xi)),(i?1,2,?,m)，在前面讨论了建立实验数据的多项
式模型，即设??0(x),?1(x),?,?n(x)?(m?n)为Hn中一个基，用多项式来拟合实验数据，即求
?a?,P(x)??a?*j*n*jj?0nj(x)?Hn
m使
Pn?Hnmin??i(f(xi)?Pn(xi))???i(f(xi)?Pn*(xi))2
2i?1i?0m 且a*j
*n
nj?0
j
j （4．10）
??由求解法方程组Ga?d得到。数学模型P(x)??a?(x)，关于参数aj是线
??性模型。
对于给定y?f(x)实验数据(xi,f(xi)),(i?1,?,m)，应根据数据的走向、趋势选择合适的数学模型。例如，当实验数据(xi,f(xi)),(i?1,?,m)，具有单调性凸性（凹向上或凹向下）时，可选择下述适当的数学模型y?f(x)来拟合实验数据
g1(x)?aebx,g2(x)?aeb/x,g3(x)?axb,g4(x)?a?b x等，其中a、b为参数，如图3-4
例8 在某化学反应里，根据实验所得生成物的浓度与时间关
系如下，求浓度y与时间t的拟合曲线y?f(t).
t(分)12345678910111213141516f(t)?10?34.006.408.008.809.229.509.709.8610.0010.2010.3210.4210.5010.5510.5810.60
解 从数据表略可看出，浓度随t增加而增加，开始浓度增加快，后来逐渐减弱，到一定时间就基本稳定在一个数值上，即当t??时，y趋向于某个常数，故有一水平渐近线。
（1） 选取数学模型为指数函数y?aeb/t是关于参数a,b的非线性模型，求a,b使
I(a,b)??[f(ti)?aeb/ti]2?min （4.11）
i?1m且极小点满足法方程.
于是非线性最小二乘问题化为非线性方程组的求解问题,即求解法方程’
???? (4.12) m?Ia0???2?(f(ti)?aeb/ti)eb/ti??bti?i?1?(4.12)为关于参数a,b的非线性方程组.消失a得
b/ti1f(t)eb/ti?if(ti)eti???0 ?(b)?2b/ti1?e?e2b/titi(4.13)
再用弦位法求解?(b)?0.得到(4.12)近似解:
*??a?0.01135728 ?*??b??1.0728187m?I0???2?(f(ti)?aeb/ti)eb/ti?ai?1注:注意对一般非线性最小二乘问题,法方程解是I(b1,b2,?,bn)的驻点,不一定是
I(b1,b2,?,bn)的极小点.也可直接解I(b1,b2,?,bn)极小化问题.
于是,得到数学模型
?1(t)?0.01135728ge?1.0728187/t
且最大偏差:
? S(1)?max?i16(1)i?2.422?10,??4(1)i?f(ti)?ae*b*/ti
最小平方误差:
(1)?(??i(1))1/2?3.314?10?4
i?12 (2)选取数学模型y?ae 求导:lny?lna?作变换:令
b/t,作变换,将此模型转化为线性模型求解较简单.
b (4.14) t记???y?lny,A?lna ? (4.15)
1?t?,B?b?t?。 ??A?Bt则（4.14）式变为:y于是，问题化为由已知数据
?2?t?mt
?2?y?my（由（ti,f(ti)））及（4.15）式求得）
求参数A，B使
?t?y?1t?1y??(yi?1mi?i))2?min?(A?Bt
（4.16）
?为线性模型，可求得 ??A?Bt其中，模型yA*??4.48072,B*??1.0567
从而
a?11.3253?10?3,b??1.0567
于是得到模型
?2(t)?11.3253?10?3e?1.0567/t y?g且最大偏差：
?2(ti) ?(2)?max?i(2)?0.277?10?3,?i(2)?f(ti)?gi及最小平方误差：
S(2)?(?(?i(2))2)1/2?3.4?10?4
i?116注：解（4.16）与解（4.11）是有差别的，对于解（4.16）求出（a,b），一般而言已不是关
于（4.11）的最小二乘解，但是在某些应用问题中这种方法还是令人满意的。
（3）选取数学模型为双曲函数
y?g3(x)?t at?b其中a,b待定参数。显然，
1b?a? yt作变换，令
1?1? ??a?bt,t?,yyt?i,y?i)(i?1,?,m)（由数据(ti,f(ti))(i?1,?,m)）及变换求得）于是问题化为，已知数据(t，
??y寻求a,b使
??(yi?1mi?i))2?min ?(a?bt?为线性模型，取H1基1,t?。 ??a?bt其中y求解法方程
????16??16?i??t?i?1得到
?a??16????ty?i?????i?i?1?????i?1? 1616????2????tty?i?????ii?bi?1????i?1?16a?80.6621,b?161.6822
得到数学模型
?3(t)?y?g最大偏差：
t
80.6621t?161.6822?3(ti) ?(3)?max?i(3)?0.568?10?3,其中?i(3)?f(ti)?gi最小平方误差：
S(3)?(?(?i(3))2)i?11612?1.19?10?3
(1)?1(x)(或y?g?2(x))时?由此可知，选取指数模型y?g、S(1)（或?(2)、S(2)）都比较
?2(x)）作拟合曲线要比双曲模型要好（对比例）?1(x)（或g小，所以用g。
作业