第一章绪论
1．2 IIR数字滤波器基本理论器的传递函数日(z)可表示为 由数字信号处理理论f2】【4】可知，数字滤波
酢，=箬筹auz％+qz。+?+
?
m，，
式中z是z变换的变量，并取n(z)的分子与分母的系数全部为实数。 设滤波器的输入信号为X(z)，输出信号为r(z)，则有
】，(z)=汀(z)X(z) (1—2)
假设信号采样周期为r，对式(1．2)作z逆变换，可得
y(七D=一∑ay((k-i)T)+∑bjx((k-j)T)，k=0，l，．1一
(1-3)
式中，当k<0时，令x(kT)=y(kT)=O。若将采样周期丁归一化为T=1t则在t=kT 处，将x(kT)、y(kT)分别写成x(t)、y(t)，贝lJy(t)可表示为
y(r)=一∑a,y(t-i)+∑bjx(t-j)，t=0，l'．1一(1-4)
通常，时域的差分方程使用式0-4)，若明确采样周期7T时，使用式(1—3)。 在时域中，如果用Z-I石p)=x(t一1)，Z-Iy(t)=y(t一1)，t=l，2，?定义单位延迟
算子(Unit Delay Operator)z一，从式(1-4)可得
y(D=H(z)x(r) (1-5)
式中，日(z)的意义与式(1一1)相同。 要注意的是，式(1—2)的日(z)是z变换的传
递函数，而式(1-5)的日(z)则是时
域的单位延迟算予表达形式。由于它们是用完全相同的形式表达的，所以在不至 于混淆的情况下，在z变换域与时域都可以使用式(1．1)。
分析式(1．1)可知，只要分母多项式的系数qO=1，2，?，M)中有一个不为0， 数字滤波器的内部必然存在反馈环路，这种内部具有反馈环路的数字滤波器称为 递归滤波器(RecursiveFilter)；反之，如果分母多项式的所有系数qO=1，2，?，M)均 0，则数字滤波器的内部就不存在反馈环路，相应的滤波器称为非递归滤波器 为(Nonrecursive Filter)。由于非递归滤波器的内部没有反馈环，根据数字滤波器稳定 性理论【31141可知，非递归滤波器总是稳定的。
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电子科技大学硕士学位论文
再从滤波器的单位冲激响应来看，数字滤波器又可分为有限长单位冲激响应 的FIR(Finite Impulse Response)滤波器和无限长单位冲激响应的IIR(Infinite Impulse Response)滤波器。由于IIR滤波器的传递函数存在原点以外的极点，所以 IIR滤波器的单位冲激响应是无限持续的，因而IIR滤波器与递归滤波器一致。但 是，当稳定的递归滤波器与非递归滤波器级联后，若递归滤波器的极点与非递归 滤波器的零点相互抵消，使得由两个滤波器构成的新滤波器在原点以外不存在极 点，这种级联滤波器也属于FIR滤波器。此时，因级联后的滤波器内部存在反馈 环路，这种滤波器也成为递归滤波器，比如频率采样滤波器(Frequeney Sampling Filter，FSF)／51。
IIR数字滤波器系统传递函数的极点可以位于单位圆内的任何地方，因此可用 较低的阶数获得较高的频率选择性，所用的存储单元较少，经济且效率较高，但 是系统传递函数的极点也可能位于单位圆外，这可能引起滤波器的不稳定。同时， IIR滤波器的相位特性是非线性的，且选择性越好，相位特性的非线性越严重【51。 相反，FIR滤波器却可以得到严格的线性相位特性，但由于FIR滤波器系统传递函 数的极点固定在原点，所以只能用较高的阶数来实现其高的频率选择性，对于同 样的滤波器设计指标，FIR滤波器所要求的阶数要比IIR滤波器高5至UlO倍【6】，所以 成本较高，信号延迟也较大。但如果要求相同的线性相位特性，贝UIIR滤波器就必 须加全通滤波器来进行相位校正，同样也要增加滤波器的阶数和复杂性。FIR滤波 器可以用非递归方法实现，在有限精度下不会产生振荡，同时由于量化舍入以及 系数的不确定性所引起的误差对其产生的影响要比IIR滤波器小的多，并且FIR滤波 器可以采用FFT(Fast Fourier Transform)算法，运算速度快。但FIR滤波器不像IIR滤
波器那样可借助模拟滤波器的成果，FIR滤波器没有现成计算公式，必须要用计算 机辅助设计(Computer Aided Design，CAD)软件(如MATLAB等)来计算。总的来说， FIR和IIR滤波器都有广范的应用，具体采用FIR滤波器还是IIR滤波器完全取决于具 体应用场合。FIR适用于对相位要求严格的场合，而IIR滤波器则用在相位要求不是 很严格的场合。考虑到具体应用，本文以IIR数字滤波器为主要研究对象。
1．2．1
IIR数字滤波器的幅频特性
假设数字滤波器的采样周期为r，令z=joT，从z变换理论可知，滤波器
H(z)的频率特性【4】【7】可表示为
Ⅳ(e’”)=1日o’”)l么日(P。”)=1日(e’”)k州”’(1-6)
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第一章绪论
其中lH(ej9r)I表示数字滤波器的幅频特性，／H(ej。r)、矿(n玎)表示相频特性， H(d4r1是数字滤波器的频率传递函数，它决定数字滤波器的幅频特性与相频特 性。考虑采样周期归一化(即T=1)的情况，H(eJar)o-ff$表示为
H(e”)=lH(e”)lLn(e”)=lH(e归)lP州哪
(1·7)
由于P”是周期为2万的周期函数，在0≤09≤27r或M≤万的范围内求日(P”)， 即可确定数字滤波器的频率特性。再考虑到式(1．1)，则有lⅣ(P归)|-ln(e一问)|，所 以设计数字滤波器时，一般只需考虑0≤国≤万的部分即可。
数字滤波器按其幅频特性分类【4】，与模拟滤波器完全相同，可以分为低通滤
波器(Low
Pass
Pass Filter，LPF)、高通滤波器(High Pass
FiRer，踟、带通滤波器(Band
Filter，
Filter，BPF)、带阻滤波器(Band Stop Filter，BSF)和全通滤波器(All Pass
APE)。这五种数字滤波器的理想幅频特性如图1．1所示。需要说明的是，全通滤 波器的幅频特性在全频带内具有固定增益，常用于改善其它滤波器的相频特性。
盘矗蕴矗矗
q脚0嘞 ∞0皑q国0啦吼∞0咀嘞脚
(a)低通滤波器 (b)高通滤波器 (c)带通滤波器(d)带阻滤波器 (e)全通滤波器 图1．1数字滤波器的理想幅频特性
O
实际上，要设计幅频特性11-I(d。)l与图1．1所示的理想性能完全一致的数字滤
波器是不可能的，现实的滤波器只能设法逼近理想幅频特性。 由数字滤波器理论可
知，一般情况下要减小(增大)通带与阻带的纹波，会造成
过渡带的截止特性变差(好)。根据滤波器的使用目的，其考虑重点是不同的，在数 字滤波器的阶次确定后，合理的折中方案是必要的。当数字滤波器的幅频特性要 求很高时，除了采用更高阶的FIR滤波器，还必须考虑采用IIR滤波器。
1．2．2 IIR数字滤波器的相频特性
设计IIR数字滤波器时，不仅要考虑其幅频特性，相频特性通常也是需要重 点考虑的对象。特别是在线性相位滤波器中，相位的延迟不会造成波形失真，所 以在波形要求很高时，滤波器具有线性相位特性是非常重要的【町。还有一个与相
位特性密切相关的概念就是群时型4】【51，它表征不同频率的信号经过滤波器之后