§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(一)
1．下列说法正确的是( )A．y＝2x2＋1中的x、y是具有相关关系的两个变量
B．正四面体的体积与其棱长具有相关关系C．电脑的销售量与电脑的价格之间是一种确定性的关系
D．传染病医院感染甲型H1N1流感的医务人员数与医院收治的甲型流感人数是具有相关关系的两个变量 2．两个变量成负相关关系时，散点图的特征是( )A．点散布特征为从左下角到右上角区域 B．点散布在某带形区域内C．点散布在某圆形区域内D．点散布特征为从左上角到右下角区域内 3．已知x与y之间的一组数据如下表： x 0 1 2 3 y 1 3 5 7 则y关于x的线性回归直线必过( )A．(2,2)点 B．(1.5,0)点C．(1,2)点
D．(1.5,4)点
4．回归分析中，相关指数R2的值越大，说明残差平方和()A．越大B．越小C．可能大也可能小 D．以上均错 ^
5．某医学科研所对人体脂肪含量与年龄这两个变量研究得到一组随机样本数据，运用Excel软件计算得y ＝0.577x－0.448(x为人的年龄，y为人体脂肪含量)．对年龄为37岁的人来说，下面说法正确的是( )A．年龄为37岁的人体内脂肪含量都为20.90%B．年龄为37岁的人体内脂肪含量为21.01%C．年龄为37岁的人群中的大部分人的体内脂肪含量为20.90%D．年龄为37岁人群中的大部分人的体内脂肪含量为31.5%
6．在比较两个模型的拟合效果时，甲、乙两个模型的相关指数R2的值分别约为0.96和0.85，则拟合效果好的模型是________．
7．今年一轮又一轮的寒潮席卷全国．某商场为了了解某品牌羽绒服的月销售量y(件)与月平均气温x(℃)之间的关系，随机统计了某4个月的月销售量与当月平均气温，数据如下表：
月平均气温x(℃) 17 13 8 2 月销售量y(件) ^^^^24 33 40 55 由表中数据算出线性回归方程y ＝b x＋a 中的b ≈－2.气象部门预测下个月的平均气温约为6℃，据此估计，该商场下个月羽绒服的销售量的件数约为________．
^
8．已知线性回归方程为y ＝0.50x－0.81，则x＝25时，y的估计值为________． 9．某企业上半年产品产量与单位成本资料如下：
月份 产量(千件) 单位成本(元) 1 2 73 2 3 72 3 4 71 4 3 73 5 4 69 6 5 68 (1)求出线性回归方程；(2)指出产量每增加1 000件时，单位成本平均变动多少？ (3)假定产量为6 000件时，单位成本为多少元？
10．某电脑公司有6名产品推销员，其工作年限与年推销金额数据如下表：
推销员编号 1 2 3 4 5 工作年限x/年 3 5 6 7 9 推销金额y/万元 2 3 3 4 5 (1)求年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程；
(2)若第6名推销员的工作年限为11年，试估计他的年推销金额．
11．对变量x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，?，10)，得散点图(1)；对变量u，v，有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，?，10)，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )
(1) (2)
A．变量x与y正相关，u与v正相关B．变量x与y正相关，u与v负相关C．变量x与y负相关，u与v正相关D．变量x与y负相关，u与v负相关
12．假设关于某设备的使用年限x和所支出的维修费用y(万元)，有如下的统计资料：
x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5n 7.0 根据上表，通过计算机画出的散点图呈线性相关，并且已经得到∑^
^
^
i＝1
xiyi＝112.3. ^
^
(1)求线性回归方程y ＝b x＋a 的回归系数a 、b 的值； (2)求残差平方和； (3)求相关指数R2；
(4)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？
1
答案1．D [感染的医务人员数不仅受医院收治的病人数的影响，还受防护措施等其他因素的影响．]
2．D [散点图的主要作用是直观判断两个变量之间的相关关系．一般地说，当散点图中的点是呈“由左下角到右上角”的趋势时，则两个变量之间具有正相关关系；而当散点图中的点是呈“由左上角到右下角”的趋势时，则
两个变量之间具有负相关关系．]3．D [在本题中，样本点的中心为(1.5,4)，所以回归直线过(1.5,4)点．] 4．B [相关指数R2
越大，说明回归模型拟合的效果越好，残差平方和越小，反之也是．]
^5．C [当x＝37时，y ＝0.577×37－0.448＝20.901≈20.90，由此估计：年龄为37岁的人群中的大部分人的体内
^
^
脂肪含量为20.90%.]6^
．甲7．46解析 ∵样本点的中心为(10,38)，∴38＝－2×10＋a ，∴a ＝58，
∴当x＝6时，y ＝－2×6＋58＝46.8．11.696
解析 y的估计值就是当6
x＝25时的函数值，6
6即0.50×25－0.81＝11.69.9．解 (1)n＝6，i∑＝1
xi＝21，i∑＝1
yi＝426，x＝3.5，y＝71，i∑＝1
xi2＝79，i∑＝1
xiyi＝1 481，
6
^
∑xiyi－6x b ＝iy
＝1
1 481－6×3.5×71
^^
6＝∑279－6×3.52
≈－1.82. a＝y－b x＝71＋1.82×3.5＝77.37.
ix2i－6x
＝1
^
^
^
^
线性回归方程为y ＝^a ＋b x＝77.37－1.82x.(2)因为单位成本平均变动b ＝－1.82<0，且产量x的计量单位是千件，所以根据回归系数b 的意义有：产量每增加一个单位即^
1 000件时，单位成本平均减少1.82元．
(3)当产量为6 000件时，即x＝6，代入线性回归方程：y＝77.37－1.82×6＝66.45(元)当产量为6 000件时，单位成本为66.45元．
5
^
^
^
^
∑ ?xi－x??10．解 (1)设所求的线性回归方程为y ＝b x＋a ，则b ＝iyi－y?5＝10
^^＝1＝0.5，a＝y－b ∑i＝1
?xi－x?
2
20x＝0.4. ^
^
所以年推销金额y关于工作年限x的线性回归方程为y ＝0.5x＋0.4.(2)当x＝11时，y ＝0.5×11＋0.4＝5.9(万元)． 所以可以估计第6名推销员的年推销金额为5.9万元．
11．C [图(1)中的数据随着x的增大而y减小，因此变量x与变量y负相关；图(2)中的数据随着u的增大，v也增大，因此u与v正相关．] 12．解 (1)由已知数据制成下表. i 1 2 3 4 5 合计 xi 2 3 4 5 6 20 yi 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 25 xiyi 4.4 11.4 22.0 32.5 42.0 112.3 x2i 4 9 165 25 536 90 x＝4；y＝5；i∑＝1xi2＝90；i∑＝1xiyi＝112.3 ^
于是有b ＝112.3－5×4×5^
^
90－5×42
＝1.23，
a ＝y－b x＝5－1.23×4＝0.08，
^
∴y ＝1.23^
x＋0.08.
(2)由公式y 1＝1.23×2＋0.08＝2.54，
^
×3＋0.08＝3.77， ^
y2＝1.23^y3＝1.23×4＋0.08＝5， ^
y4＝1.23×5＋0.08＝6.23， y5＝1.23×6＋0.08＝7.46，
^
∴e2.2－2.54＝－0.34， ^
1＝＝0.03， ^e2＝3.8－3.77^e3＝5.5－5＝0.5， ^
e4＝6.5－6.23＝0.27， e5＝7.0－7.46＝－0.46.
∴残差平方和为(－0.34)2
＋0.032
＋0.52
＋0.272
＋(－0.46)2
＝0.651.
(3)R2＝1－0.651
?－2.8?2
＋?－1.2?2＋0.52＋1.52＋2.02 ≈0.958 7.
^
(4)线性回归方程为^
y ＝1.23x＋0.08， 当x＝10时，y ＝1.23×10＋0.08＝12.38， 即估计使用10年时维修费用是12.38万元．
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)
^
1．设有一个回归方程为y ＝3－5x，变量x增加一个单位时( ) A．y平均增加3个单位
B．y平均减少5个单位C．y平均增加5个单位
D．y平均减少3个单位
2．某商品销售量y(件)与销售价格x(元/件)负相关，则其回归方程可能是( )
^
^
^
^
A．y ＝－10x＋200 B．y ＝10x＋200C．y ＝－10x－200 D．y ＝10x－200
3．某考察团对全国10大城市进行职工人均工资水平x(千元)与居民人均消费水平y(千元)统计调查，y与x具有
^
相关关系，回归方程为y ＝0.66x＋1.562，若某城市居民人均消费水平为7.675千元，估计该城市人均工资收入的百分比约为( )A．83% B．72% C．67% D．66%
4．若x，y具有相关关系，且得到一组散点图大致分布在一条直线的附近，则所得的回归直线是指( ) A．经过散点图上两点的直线B．经过散点图上最多的点的直线C．与各个散点的偏差和最小的直线 D．与各个散点的偏差的平方和最小的直线
5．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：
广告费用x(万元) 4 2 3 5 销售额y(万元) 49 26 39 54 2
^^^^
父亲身高(x) 儿子身高63.6 65.2 66 65.5 66.9 67.1 67.4 68.3 70.1 70 60 62 64 65 66 67 68 70 72 74 根据上表可得回归方程y ＝b x＋a 中的b 为9.4，据此模型预报广告费用为6万元是销售额为( ) A．63.6万元
B．65.5万元C．67.7万元
D．72.0万元
6．某种产品的广告费支出x与销售额y之间有下表关系，现在知道其中一个数据弄错了，则最可能错的数据是
x/万元 y/万元 2 30 4 40 5 60 6 50 8 70 (y) (1)对变量y与x进行相关性检验；
(2)如果y与x之间具有线性相关关系，求线性回归方程； (3)如果父亲的身高为73英寸，估计儿子的身高．
7.根据统计资料，我国能源生产自1986年以来发展很快．下面是我国能源生产总量(单位：亿吨标准煤)的几个统计数据：
年份 产量 1986 8.6 1991 10.4 1996 12.9 2001 16.1
12．某种书每册的成本费y(元)与印刷册数x(千册)有关，经统计得到数据如下：
根据有关专家预测，到2010年我国能源生产总量将达到21.7亿吨左右，则专家所选择的回归模型是下列的四种
^
^
^
^
2
x 1 2 5.52 3 4.08 5 2.85 10 2.11 20 1.62 30 1.41 50 1.30 100 1.21 200 1.15 模型中的哪一种________．(填序号)①y ＝a x＋b (a ≠0)；②y＝ax＋bx＋c(a≠0)； ③y＝ax(a>0且a≠1)；④y＝logax(a>0且a≠1)． 8．下列说法中正确的是________(填序号)．
①回归分析就是研究两个相关事件的独立性；②回归模型都是确定性的函数；③回归模型都是线性的；④回归分析的第一步是画散点图或求相关系数；⑤回归分析就是通过分析、判断，确定相关变量之间的内在的关系的一种统计方法．
9．假设学生在初一和初二数学成绩是线性相关的．若10个学生初一(x)和初二(y)的数学分数如下：
y 10.15 1
检验每册书的成本费y与印刷册数的倒数之间是否具有线性相关关系？如有，求出y对x的线性回归方程．
x
x y 74 76 71 75 72 71 68 70 76 76 73 79 67 65 70 77 65 62 74 72
试求初一和初二数学分数间的线性回归方程．
10．在某化学实验中，测得如下表所示的6对数据，其中x(单位：min)表示化学反应进行的时间，y(单位：mg)表示未转化物质的质量．
x/min y/mg 1 39.8 2 32.2 3 25.4 4 20.3 5 16.2 6 13.3
§1.1 回归分析的基本思想及其初步应用(二)
^
^
(1)设y与x之间具有关系y＝cdx，试根据测量数据估计c和d的值(精确到0.001)； (2)估计化学反应进行到10 min时未转化物质的质量(精确到0.1)． 11．测得10对某国父子身高(单位：英寸)如下：
1．B2．A [∵负相关，∴b <0，再由问题的实际意义排除即可．]3．A [当y ＝7.675时，x≈9.262，
3
∴估计该城市人均消费额占人均收入百分比约7.675÷9.262≈0.83.]
^
^
4．D5．B [由题意可知x＝3.5，y＝42，则42＝9.4×3.5＋a ，a ＝9.1，
^
y ＝9.4×6＋9.1＝65.5，答案应选B.]6．(6,50) 7．①8．④⑤
解析 回归分析就是研究两个事件的相关性；回归模型是需要通过散点图模拟的；回归模型有线性和非线性之分．
10
10
^
9．解 因为x＝71，?x251 467－10×71×72.3i＝50 520，y＝72.3，?xiyi＝51 467，所以，b ＝
i＝1
i＝1
50 520－10×71
2
≈1.218 2.
^^
a ＝72.3－1.218 2×71＝－14.192 2，线性回归方程是：y ＝1.218 2x－14.192 2. 10．解 (1)在y＝cdx两边取自然对数，令ln y＝z，ln c＝a， ln d＝b，则z＝a＋bx.由已知数据，得 x 1 2 3 4 5 6 y 39.8 32.2 25.4 20.3 16.2 13.3 z 3.684 3.472 3.235 3.011 2.785 2.588 ^
由公式得a≈3.905 5，b≈－0.221 9，则线性回归方程为z ＝3.905 5－0.221 9x.而ln c＝3.905 5，ln d＝－0.221 9，故c≈49.681，d≈0.801，所以c、d的估计值分别为49.681，0.801.(2)当x＝10时，由(1)所得公式可得y≈5.4(mg)． 11．解 (1)x＝66.8，y＝67.01，10∑10i＝ 1x2i＝44 794，∑i＝ 1y2i＝44 941.93，x y＝4 476.27， 10
∑x2＝4 462.24，y2＝4 490.34，10∑ xi＝ 1xiyi－10x yiyi＝44 842.4.所以r＝
i＝1
(
10∑2
2
i＝ 1xi－10x2
)(
10∑2
i＝ 1yi－10y)
＝
44 842.4－10×4 476.27
?44 794－44 622.4??44 941.93－44 903.4?
＝
79.7
≈79.7
≈0.980 2.
6 611.74881.31
由于r的值非常接近于1，
^
^
^
所以y与x之间具有线性相关关系．(2)设回归方程为y ＝b x＋a . 10
^
∑由b ＝i＝ 1xiyi－10x y44 842.4－44 762.7
10＝
∑i＝ 1
x2244 794－44 622.4i－10x＝
79.7
171.6
≈0.464 5， ^^
a ＝y－b x＝67.01－0.464 5×66.8≈35.98.
^
故所求的线性回归方程为y ＝0.464 5x＋35.98.
^
(3)当x＝73时，y ＝0.464 5×73＋35.98≈69.9，所以当父亲身高为73英寸时，估计儿子的身高约为69.9英寸． 12．解 把1x置换为z，则有z＝1
x，
从而z与y的数据为 z 1 0.5 0.333 0.2 0.1 0.05 0.033 0.02 0.01 0.005 y 10.15 5.52 4.08 2.85 2.11 1.62 1.41 1.30 1.21 1.15 可作出散点图，从图可看出，变换后的样本点分布在一条直线的附近，因此可以用线性回归方程来拟合．
z＝1
10×(1＋0.5＋0.333＋0.2＋0.1＋0.05＋0.033＋0.02＋0.01＋0.005)＝0.225 1，
y＝1
10
×(10.15＋5.52＋4.08＋…＋1.15)＝3.14，∑z2i＝12＋0.52＋0.3332＋…＋0.012＋0.005210
≈1.415，
i＝1
10
10
∑y2
2
2
2
2
i＝10.15＋5.52＋…＋1.21＋1.15＝171.803，∑ziyi＝1×10.15＋0.5×5.52＋…＋0.005×1.15
i＝1
i＝1
10
^
∑ziyi－10z y^^
＝15.221 02，所以b ＝
i＝1
10
≈8.976，a＝y－b z＝3.14－8.976×0.225 1≈1.120，
∑z2
2
i－10zi＝1
^
所以所求的z与y的线性回归方程为y＝8.976z＋1.120. ^
又因为z＝1x，所以y ＝8.976
x＋1.120.
§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
1．给出下列实际问题：①一种药物对某种病的治愈率；②两种药物治疗同一种病是否有区别；③吸烟者得肺
病的概率；④吸烟人群是否与性别有关系；⑤网吧与青少年的犯罪是否有关系．其中用独立性检验可以解决的问题有( )A．①②③ B．②④⑤C．②③④⑤
D．①②③④⑤
2．用独立性检验来考察两个分类变量x与y是否有关系，当统计量K2的观测值( ) A．越大，“x与y有关系”成立的可能性越小B．越大，“x与y有关系”成立的可能性越大 C．越小，“x与y没有关系”成立的可能性越小D．与“x与y有关系”成立的可能性无关 3．检验两个分类变量是否相关时，可以用________粗略地判断两个分类变量是否有关系．( )
4
A．散点图 B．独立性检验C．等高条形图 D．以上全部都可以 4．下面是一个2×2列联表：
y1 y2 总计
x1 a 21 73 x2 8 25 33 总计 b 46 则表中a，b处的值分别为( )A．94,96
B．52,50C．52,60
D．54,52
5．某班主任对全班50名学生进行了作业量的调查，数据如表 认为作业量大 认为作业量不大 合计 男生 18 9 27 女生 8 15 23 合计 26 24 50 则推断“学生的性别与认为作业量大有关”，这种推断犯错误的概率不超过( ) A．0.01
B．0.005
C．0.025
D．0.001
6．下列说法正确的是________．(填序号)①对事件A与B的检验无关，即两个事件互不影响； ②事件A与B关系越密切，K2就越大；③K2的大小是判断事件A与B是否相关的唯一数据； ④若判定两事件A与B有关，则A发生B一定发生．
7．在一次独立性检验中，有300人按性别和是否色弱分类如下表： 男 女 正常 142 140 色弱 13 5 由此表计算得K2的观测值k≈________.(结果保留两位小数)
8．某市政府在调查市民收入增减与旅游愿望的关系时，采用独立性检验法抽查了3 000人，计算发现K2的观测值k＝6.023，根据这一数据查表，市政府断言市民收入增减与旅游愿望有关系，这一断言犯错误的概率不超过________．
9．在对人们休闲的一次调查中，共调查了124人，其中女性70人，男性54人．女性中有43人主要的休闲方式是看电视，另外27人主要的休闲方式是运动；男性中有21人主要的休闲方式是看电视，另外33人主要的休闲方式是运动．(1)根据以上数据建立一个2×2的列联表； (2)检验性别与休闲方式是否有关系．
10．某大型企业人力资源部为了研究企业员工工作积极性和对待企业改革态度的关系，随机抽取了189名员工进行调查，所得数据如下表所示：
积极支持改革 不太赞成改革 合计 工作积极 54 40 94 工作一般 32 63 95 合计 86 103 189 依据表中的数据对人力资源部的研究项目进行分析，能够得出什么结论？
11．在吸烟与患肺病是否相关的判断中，有下面的说法：
①若K2的观测值k>6.635，则在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，那么在100
个吸烟的人中必有99人患有肺病；
②从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.01的前提下，认为吸烟与患肺病有关系，若某人吸烟，则他有99%的可能患有肺病；
③从独立性检验可知在犯错误的概率不超过0.05的前提下，认为吸烟与患肺病有关系时，是指有5%的可能性使得推断错误．
其中说法正确的是________．(填序号)
12．为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽样方法从该地区调查了500位老年人，结果如下：
性别 男 女 是否需要志愿者 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例．
(2)能否有99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？
(3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例？说明理由．
§1.2 独立性检验的基本思想及其初步应用
1．B 2．B 3．C4．C [由列联表知，2
a＝73－21＝52，b＝a＋8＝52＋8＝60.]
5．C [K2＝50×?18×15－8×9?26×24×27×23
≈5.059>5.024.∵P(K2
≥5.024)＝0.025，∴犯错误的概率不超过0.025.]
6．②解析 对于①，事件A与B的检验无关，只是说两事件的相关性较小，并不一定两事件互不影响，故①错．②是正确的．对于③，判断A与B是否相关的方式很多，可以用列联表，也可以借助于概率运算，故③错．对于④，两事件A与B有关，说明两者同时发生的可能性相对来说较大，但并不是A发生B一定发生，故④错． 7．3.24解析 代入K2公式计算即可．8．0.025 9．解 (1)2×2的列联表：
5