2
7．－4解析 若4－3a－a2
i＝a2
＋4ai，则??4－3a＝a
?a2
＋3a－4＝0?a＝－4或a＝1
?－a2＝4a???a2＋4a＝0 ???a＝0或a＝－4
.∴a＝－4.
?m2
－3m＝0，
8．{3}解析若使复数可以比较大小，∴两个数必须为实数．∴?m2
－4m＋3＝0，
?m2<10，
?
m＝0或3，
∴?m＝1或3，∴m＝
?－10 10， 3. 9．解 (1)当z为实数时，则有： ??a2 －5a－6＝0，?a＝－1或a＝6，?a2－1≠0， ∴??a≠±1， ∴a＝6. ∴当a＝6时，z为实数． (2)当z为虚数时，则有： ??a2 －5a－6≠0， ?a≠－1且a≠6，?a2－1≠0，∴??a≠±1， ∴a≠±1且a≠6. ∴当a∈(－∞，－1)∪(－1,1)∪(1,6)∪(6，＋∞)时，z为虚数． (3)当z为纯虚数时，则有： ?a2－5a－6≠0， ??a≠－1且a≠6，? a2 －7a＋6 a2－1 ＝0， ∴??a＝6. ∴不存在实数a使z为纯虚数． 10．解 由复数相等的定义得 ?x2－x－6 ? x＋1＝0，? x2－2x－3＝0. 解得：x＝3，∴x＝3为所求． 11．C [由复数相等的充要条件得，? ?a＋b＝10 ?ab＝1 ?(a－b)2 ＝a＋b－2ab＝10－2＝8.] 12．解 由z1>z2，z1 ?m3＋3m2＋2m＝0， ① ∴当z1>z2时，有?m3－5m2 ＋4m＝0， ② ? m2＋1>4m＋2， ③ 由①②解得m＝0，不能满足③式， ∴使z1>z2的m的值的集合为空集． 由以上可知，m＝0时，m2＋1<4m＋2， ∴使z1 复数的概念习题课 1．以3i－2的虚部为实部，以3i2＋2i的实部为虚部的复数是( ) A．3－3i B．3＋iC．－2＋2i D．2＋2i 2．若2＋ai＝b－i，其中a，b∈R，i是虚数单位，则a2＋b2等于( ) A．0 B．2 C．5 2 D．5 3．若点P对应的复数z满足|z|≤1，则P的轨迹是( ) A．直线 B．线段C．圆 D．单位圆以及圆内 4．在复平面内表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则实数m的值为( ) A．1 B．1或3C．3 D．9 5．在复平面内，O为原点，向量OA→对应复数为－1－2i，则点A关于直线y＝－x对称点为B，向量OB→ 对应复数为( )A．－2－i B．2＋iC．1＋2i D．－1＋2i 6．若x是实数，y是纯虚数且满足2x－1＋2i＝y，则x＝________，y＝________. 7．下列命题：(1)两个复数不能比较大小；(2)若z＝a＋bi，则当a＝0，b≠0时，z为纯虚数； (3)x＋yi＝1＋i?x＝y＝1；(4)若实数a与虚数ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应． 其中正确命题的个数是________． 8．若|log3m＋4i|＝5，则实数m＝________. 2 9．当实数m为何值时，复数z＝m＋m－62 m＋(m－2m)i为 (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 10．已知z＝2a＋1－2＋(a－3)i对应的点在第四象限，求a的取值范围． 11．求复数z1＝3＋4i，及z2＝－1 2 －2i的模，并比较它们模的大小． 11 12．实数m分别取何值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i的对应点：(1)在x轴上方；(2)在直线x＋y＋5＝0上． 习题课答案1．A [3i－2的虚部为3,3i2 ＋2i的实部为－3，故所求复数为3－3i.] 2．D [由已知a＝－1，b＝2，∴a2＋b2＝5.]3．D 4．D [若表示复数z＝(m－3)＋2mi的点在直线y＝x上，则m－3＝2m，即m－2m－3＝0， ∴(m－3)(m＋1)＝0，∴m＝3，∴m＝9.] ?5．B [点A(－1，－2)，设B(x，y)，则?y＋2? x＋1＝1 ?x＝2 ??－1＋x－2＋y?y＝1 ，∴向量OB→对应的复数为2＋i.] 2＋2＝0 ，解得? 6．12 2i解析 设y＝bi (b≠0)，∴??2x－1＝0 1?b＝2 ，∴x＝2.7．0 解析 因为实数也是复数，而两个实数是可以比较大小的，故(1)错；(2)中没有注意到z＝a＋bi中未对a，b加以限制，故(2)错；(3)中在x，y∈R时可推出x＝y＝1，而此题未限制x，y∈R，故(3)错；(4)中忽视了当a＝0时，ai＝0，即0在虚数集中没有对应，故(4)错． 8．27或127解析 由题意得，(log3m)2＋16＝25，即(log3m)2＝9，∴log3m＝±3，∴m＝27或m＝1 27 . ??m2 －2m＝0 9．解 (1)当?m≠0 ，即m＝2时，复数z是实数；(2)当m2－2m≠0， 即m≠0，且m≠2时，复数z是虚数； ?m2＋m－6 (3)当? m＝0?， m2－2m≠0 即m＝－3时，复数z是纯虚数． 10．解 由题意得? ?2a＋1－2>0，?∴3 2<3. 11．解 |z1|＝32＋42＝5， |z2|＝ (－12 ＋?－2?2 3 2)＝2 . ∵5>3 2 ，∴|z1|>|z2|. 12．解 (1)由题意得m2－2m－15>0， 解得m<－3或m>5. (2)由题意得(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)＋5＝0， m＝－3±414. 3.1.2 复数的几何意义 1．在复平面内，复数z＝sin 2＋icos 2对应的点位于( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 2．已知0 B．(1,3)C．(1，5) D．(1，3) 3．与x轴同方向的单位向量e1，与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是( ) A．e1对应实数1，e2对应虚数iB．e1对应虚数i，e2对应虚数i C．e1对应实数1，e2对应虚数－iD．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i 4．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在( ) A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限 5．设z＝(2t2＋5t－3)＋(t2＋2t＋2)i，t∈R，则以下结论中正确的是( ) A．z对应的点在第一象限B．z一定不是纯虚数C．z对应的点在实轴上方D．z一定是实数 6．设z＝log2(m2 －3m－3)＋i·log2(m－3) (m∈R)，若z对应的点在直线x－2y＋1＝0上，则m的值是________． 7．已知复数z＝(x－1)＋(2x－1)i的模小于10，则实数x的取值范围是__________． 8．若2 3 9．已知复数x2－6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，求实数x的取值范围． 10．已知复数z满足z＋|z|＝2＋8i，求复数z. 12 11．在复平面内，复数6＋5i，－2＋3i对应的点分别为A，B.若C为线段AB的中点，则点C对应的复数是( ) A．4＋8i B．8＋2i C．2＋4i D．4＋i 12．已知z＝3＋ai且|z－2|<2，求实数a的取值范围． 3．1.2 复数的几何意义答案 1．D [∵π 2 <2<π，∴sin 2>0，cos 2<0，∴点(sin 2，cos 2)在第四象限．] 2．C [由题意得z＝a＋i，∴|z|＝a2＋1.∵0 3．A4．A [∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴??x＋y＝3，?x＝1， ?x－y＝－1. 解得??y＝2. ∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．] 5．C [∵z的虚部t2＋2t＋2＝(t＋1)2＋1恒为正，∴z对应的点在实轴上方，且z一定是虚数，可知选C.] 6．15解析 log2(m2 －3m－3)－2logm2 －3m－32(m－3)＋1＝0，log2?m－3?2 ＝－1， m2 －3m－3?m－3?2＝1 2，m＝±15，而m>3，∴m＝15. 7．(－45，2) 解析 根据模的定义得?x－1?2＋?2x－1?2<10，∴5x2－6x－8<0，∴(5x＋4)(x－2)<0，∴－4 5 8．四解析 ∵2 3 9．解 ∵复数x2 －6x＋5＋(x－2)i在复平面内对应的点在第二象限，∴x满足??x2 －6x＋5<0，?x－2>0， 解得2 ∈(2,5)． 10．解 设z＝x＋yi (x，y∈R)．则x＋yi＋x2 ＋y2 ＝2＋8i，∴??x＋x2＋y2＝2， ?x＝－15 ?∴?y＝8， ?y＝8 ，∴z＝－15＋8i. 11．C [∵A(6,5)，B(－2,3)，且C为AB的中点，∴C(2,4)，∴点C对应的复数为2＋4i.故选C.] 12．解 方法一 利用模的定义． ∵z＝3＋ai (a∈R)，由|z－2|<2， 即|3＋ai－2|<2，即|1＋ai|<2， ∴12＋a2<2，∴－3 利用复数的几何意义． 由|z－2|<2可知，在复平面内z对应的点Z在以(2,0)为圆心，2为半径的圆内(不包括边界)，如图．由z＝3＋ai可知z对应的点Z在直线x＝3上，所以线段AB(除去端点)为动点Z的集合．由图知，－3 3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义 1．复数z1＝3＋i，z2＝－1－i，则z1－z2等于( )A．2 B．2＋2iC．4＋2i D．4－2i 2．复数z1＝2－12i，z2＝12－2i，则z1＋z2等于( )A．0 B．32＋52iC．52－52i D．52－3 2 i 3．向量OZ→对应的复数是5－4i，向量OZ→→→ 12对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是( ) A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i 4．非零复数z→→，若|z，则向量OA→与OB→ 1，z2分别对应复平面内的向量OA与OB1＋z2|＝|z1－z2|的关系是( ) A.OA→＝OB→ B．|OA→|＝|OB→|C．OA→⊥OB→ D．OA→，OB→共线 5．复数z1＝a＋4i，z2＝－3＋bi，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a，b的值为( ) A．a＝－3，b＝－4 B．a＝－3，b＝4C．a＝3，b＝－4 D．a＝3，b＝4 6．设纯虚数z满足|z－1－i|＝3，则z＝____________. 7．在复平面内，O是原点，OA→，OC→，AB→对应的复数分别为－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么BC→ 对应的复数为________________________________________________________________． 8．设f(z)＝z－2i，z1＝3＋4i，z2＝－2－i，则f(z1－z2)＝__________. 9．已知复数z1＝－2＋i，z2＝－3＋2i. (1)求z1－z2； (2)在复平面内作出复数z1－z2所对应的向量． 13 10．在复平面内A，B，C三点对应的复数分别为1,2＋i，－1＋2i. (1)求AB→，BC→，AC→ 对应的复数； (2)判断△ABC的形状； (3)求△ABC的面积． 11．若z∈C且|z＋2－2i|＝1，则|z－2－2i|的最小值是( ) A．2 B．3 C．4 D．5 12．复数3＋3i，－5i，－2＋i的对应点分别为平行四边形的三个顶点A，B，C，求第四个顶点对应的复数． 3．2.1 复数代数形式的加减运算及其几何意义答案 1．C [z1－z2＝(3＋i)－(－1－i)＝4＋2i.]2．C [z1＋z2＝(2＋ 12)－(12＋2)i＝52－52 i.] 3．C [OZ→→ 1＋OZ2＝5－4i＋(－5＋4i)＝0.]4．C [由向量的加法及减法可知：在?OACB内， OC→＝OA→＋OB→，AB→＝OB→－OA→.非零复数z→→ 1，z2分别对应复平面内向量OA，OB，由复数加减法的几何意义可 知：|z→→z→→ 1＋z2|对应OC的模，|z1－z2|对应AB的模，又因为|z1＋2|＝|z1－z2|，则|OC|＝|AB|，所以四边形OACB是矩形， 因此OA→⊥OB→ ，故选C.] 5．A [z＋b)i，z??4＋b＝0?a＝－3 1＋z2＝a－3＋(41－z2＝a＋3＋(4－b)i，由已知得?a＋3＝0 ，∴??b＝－4 .] 6．(±22＋1)i解析 ∵z是纯虚数，设z＝bi (b∈R且b≠0)．由|z－1－i|＝3得|－1＋(b－1)i|＝3. ∴1＋(b－1)2 ＝9，∴b－1＝±22，∴b＝±22＋1，即z＝(±22＋1)i. 7．4－4i解析 由AB→＝OB→－OA→，得OB→＝AB→＋OA→＝1＋5i＋(－2＋i)＝－1＋6i，BC→＝OC→－OB→ ＝3＋2i－(－1＋6i)＝4－4i. 8．5＋3i解析 ∵f(z)＝z－2i，∴f(z1－z2)＝z1－z2－2i＝(3＋4i)－(－2－i)－2i＝(3＋2)＋(4＋1)i－2i＝5＋3i. 9．解 (1) 因为z＝－2＋i，z→ 12＝－3＋2i，所以z1－z2＝(－2＋i)－(－3＋2i)＝1－i.(2)在复平面内复数z1－z2所对应的向量是OZ ＝1－i，如图所示． 10．解 (1)AB→对应的复数为z→ B－zA＝(2＋i)－1＝1＋i. BC对应的复数为zC－zB＝(－1＋2i)－(2＋i)＝－3＋i. AC→ 对应的复数为zC－zA＝(－1＋2i)－1＝－2＋2i. (2)由(1)可得，|AB→|＝2，|BC→|＝10，|AC→|＝8，∵|AB→|2＋|AC→|2＝|BC→ |2，∴△ABC为直角三角形． (3)S1 △ABC＝2 ×2×8＝2.11．B [ 由已知|z－(－2＋2i)|＝1，所以复数z的对应点的轨迹是以(－2,2)为圆心，1为半径的 圆，如图所示，|z－2－2i|＝|z－(2＋2i)|表示复数z的对应点到(2,2)点的距离，即圆上的点到(2,2)点的距离，最小值 为圆心与点(2,2)的距离减去半径，易得值为3.] 12．解 当四点顺序为ABCD时，第四个顶点D对应的复数为1＋9i；当四点顺序为ADBC时，第四个顶点D对应的复数为5－3i；当四点顺序为ABDC时，第四个顶点D对应的复数为－5－7i. 习题课 1．复数 (3－i 2 1＋i )等于( )A．－3－4i B．－3＋4iC．3－4i D．3＋4i 2．已知i2＝－1，则i(1－3i)等于( )A.3－i B．3＋iC．－3－i D．－3＋i 3．设a，b为实数，若复数1＋2ia＋bi ＝1＋i，则( )A．a＝31 2，b＝2 B．a＝3，b＝1 C．a＝12，b＝3 2 D．a＝1，b＝3 4．下列式子中正确的是( )A．3i>2i B．|2＋3i|>|1－4i|C．|2－i|>2·i4 D．i2 >－i 5．对任意复数z＝x＋yi (x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( ) A．|z－z|＝2y B．z2＝x2＋y2C．|z－z|≥2x D．|z|≤|x|＋|y| 6．若复数z＝1－2i (i为虚数单位)，则z·z＋z＝__________. 7．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(其中i为虚数单位)，则z的模为________． 8．设复数z满足关系式z＋|z|＝2＋i，那么z＝______. 9．已知复平面上的?ABCD中，AC→对应的复数为6＋8i，BD→对应的复数为－4＋6i，求向量DA→ 对应的复数． 10．已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)有实数根b. (1)求实数a，b的值； (2)若复数z满足|z－a－bi|－2|z|＝0，求z为何值时，|z|有最小值，并求出|z|的最小值． 11．若i为虚数单位，图中复平面内点Z表示复数z，则表示复数 z 1＋i 的点是( ) 14 A．E B．FC．G D．H 12．(1)证明|z|＝1?z＝ 1； z (2)已知复数z满足z·z＋3z＝5＋3i，求复数z. 习题课答案 1．A [(3－i)2[?3－i??1－i? 2 1＋i＝ 2 ] 2 ＝(1－2i)＝－3－4i.] 2．B [i(1－3i)＝i＋3，选B.]3．A 4．C [在A、D中都含有虚数．因虚数不能比较大小，故A、D错；在B中： |2＋3i|＝13，|1－4i|＝1＋16＝17，故B错；在C中，|2－i|＝4＋1＝5，2·i4＝2，故C正确．] 5．D [可对选项逐个检查，A项，|z－z|≥2y，故A错，B项，z2 ＝x2 －y2 ＋2xyi，故B错，C项，|z－z|≥2y，故C错，D项正确．]6．6－2i解析 z·z＋z＝(1－2i)(1＋2i)＋1－2i＝6－2i. 7．2解析 考查复数的运算、模的性质．z(2－3i)＝2(3＋2i)，2－3i与3＋2i的模相等，z的模为2. 8．322?x2＋y2＋x＝2??x＝34＋i解析 设z＝x＋yi，则z＋|z|＝x＋y＋x＋yi＝2＋i，∴?4? ，∴? ，∴z＝3＋i. y＝1??y＝1 49．解 设?ABCD的对角线AC与BD相交于点P，由复数加减法的几何意义，得 DA→＝PA→－PD→＝12CA→－12BD→＝12(CA→－BD→)＝1 →2(－6－8i＋4－6i)＝－1－7i，所以向量DA对应的复数为－1－7i. 10．解 (1)∵b是方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0 (a∈R)的实根，∴(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0， 故??b2 －6b＋9＝0?a＝b 解得a＝b＝3. (2)设z＝x＋yi (x，y∈R)，由|z－3－3i|＝2|z|， 得(x－3)2 ＋(y＋3)2 ＝4(x2 ＋y2 )，即(x＋1)2 ＋(y－1)2 ＝8.∴Z点的轨迹是以O1(－1,1)为圆心，22为半径的圆． 如图，当Z点在OO1的连线上时，|z|有最大值或最小值．∵|OO1|＝2，半径r＝22， ∴当z＝1－i时，|z|min＝2. 11．D [由题图知复数z＝3＋i，∴z1＋i＝3＋i1＋i＝?3＋i??1－i??1＋i??1－i?＝4－2i2＝2－i.∴表示复数z1＋i的点为H.] 12．(1)证明 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则|z|＝1?x2＋y2 ＝1，z＝1?z·z＝1?(x＋yi)(x－yi)＝1 z?x2＋y2＝1，∴|z|＝1?z＝ 1z .(2)解 设z＝x＋yi (x，y∈R)，则z＝x－yi，由题意，得(x＋yi)(x－yi)＋3(x＋yi) ＝(x2＋y2＋3x)＋3yi＝5＋3i， ?x2＋y2 ＋3x＝5，∴??x＝1?x?3y＝3 ∴??y＝1 或?＝－4?y＝1 . ∴z＝1＋i或z＝－4＋i. 3.2.2 复数代数形式的乘除运算 1．复数i3(1＋i)2等于( )A．2 B．－2 C．2i D．－2i 2．已知a＋2i i ＝b＋i(a，b∈R)，其中i为虚数单位，则a＋b等于( )A．－1 B．1 C．2 D．3 3．设i是虚数单位，则i3?i＋1? i－1等于( )A．－1 B．1 C．－i D．i 4．若x－2＋yi和3x－i互为共轭复数，则实数x与y的值是( )A．x＝3，y＝3 B．x＝5，y＝1 C．x＝－1，y＝－1 D．x＝－1，y＝1 z 5．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则z等于( )A．i B．－i C．±1 D．±i 6．已知复数z＝1＋i，则2 z－z＝________. 7．设复数z满足z(2－3i)＝6＋4i(i为虚数单位)，则z的模为________． 8．若2 1－i ＝a＋bi (a，b∈R，i是虚数单位)，则a＋b＝________. 9．计算：(1)(2＋i)(2－i)；(2)(1＋2i)2；(3)(1＋i62＋3i1－i) ＋3－2i. 10．已知x，y为共轭复数，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y的值． 15