休闲方式 看电视 运动 合计 性别 女 43 27 70
男 21 33 54 合计 64 60 124 (2)根据列联表中的数据得到k＝124×?43×33－27×21?270×54×64×60
≈6.201.
因为k≥5.024，所以在犯错误的概率不超过0.025的前提下认为休闲方式与性别有关系．
计算K的观测值k＝189×?54×63－32×40?210．解2
94×95×86×103
≈10.759.
由于10.759>7.879，所以在犯错误的概率不超过0.005的前提下，可以认为企业的全体员工对待企业改革的态度与其工作积极性是有关的．
11．③解析 K2是检验吸烟与患肺病相关程度的量，是相关关系，而不是确定关系，是反映有关和无关的概率，故说法①不正确；说法②中对“确定容许推断犯错误概率的上界”理解错误；说法③正确．
12．解 (1)调查的500位老年人中有70位需要志愿者提供帮助，因此该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老
年人的比例的估计值为70
500
＝14%.
(2)k＝500×?40×270－30×160?2
200×300×70×430
≈9.967.
由于9.967>7.879，所以有99.5%的把握认为该地区的老年人是否需要帮助与性别有关．
(3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先确定该地区老年人中男、女的比例，再把老年人分成男、女两层并采用分层抽样方法，比采用简单随机抽样方法更好．
§2.1 合情推理与演绎推理
1．下列说法正确的是( )A．由合情推理得出的结论一定是正确的B．合情推理必须有前提有结论C．合情推理不能猜想D．合情推理得出的结论不能判断正误
2．已知数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，an＝2an－1＋1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的一个表达式是( )
A．n2－1
B．(n－1)2＋1C．2n－1
D．2n－1＋1
3．根据给出的数塔猜测123456×9＋7等于( )
1×9＋2＝11 12×9＋3＝111 123×9＋4＝1111
1234×9＋5＝11111 12345×9＋6＝111111
??A．1111110 B．1111111C．1111112 D．1111113
4．给出下列三个类比结论：①(ab)n＝anbn与(a＋b)n类比，则有(a＋b)n＝an＋bn；
②loga(xy)＝logax＋logay与sin(α＋β)类比，则有sin(α＋β)＝sin αsin β；③(a＋b)2
＝a2
＋2ab＋b2
与(a＋b)2
类比，则有(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2.其中结论正确的个数是( )A．0
B．1
C．2
D．3
5．观察图示图形规律，在其右下角的空格内画上合适的图形为( )
A．■ B．? C．□ D．○
6．已知正三角形内切圆的半径是高的1
3，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是
____________________________________________．
7．观察下列等式：13＋23＝32,13＋23＋33＝62,13＋23＋33＋43＝102，?，根据上述规律，第五个等式为____________________． 8．观察下列等式：
①cos 2α＝2cos2
α－1； ②cos 4α＝8cos4
α－8cos2
α＋1；
③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1；
④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1；
⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________.
9．观察等式sin220°＋sin240°＋sin 20°·sin 40°＝3
4
；
sin228°＋sin232°＋sin 28°·sin 32°＝3
4
.请写出一个与以上两个等式规律相同的一个等式．
10．已知正项数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝
12(an＋1an
)
(n∈N*)，求出a1，a2，a3，并推测an的表达式．
11．观察(x2)′＝2x，(x4)′＝4x3，(cos x)′＝－sin x，由归纳推理可得：若定义在R上的函数f(x)满足f(－x)＝f(x)，记g(x)为f(x)的导函数，则g(－x)等于( )
6
A．f(x) B．－f(x)
C．g(x)
D．－g(x12．已知椭圆C：x22) a2＋y
b2＝1 (a>b>0)具有性质：若M、N是椭圆C上关于原点对称的两点，点P是椭圆C上任意
一点，当直线PM、PN的斜率都存在时，记为kPM、kPN，那么kPM与kPN之积是与点P位置无关的定值．试对双
C：x2y2
曲线a2－b
2＝1写出具有类似的特性的性质，并加以证明．
§2.1 合情推理与演绎推理
1．B [合情推理的结论不一定正确，但必须有前提有结论．]2．C [a2＝2a1＋1＝2×1＋1＝3，a3＝2a2＋1＝2×3＋1＝7，a4＝2a3＋1＝2×7＋1＝15，利用归纳推理，猜想an＝2n
－1.故选C.] 3．B [由数塔可以猜测，结果是各位都是1的七位数，即1111111.]4．B
5．A [图形涉及□、○、?三种符号；其中○与?各有3个，且各自有两黑一白，所以缺一个□符号，即应画上■才
合适．]6．正四面体的内切球的半径是高的1
4
解析 原问题的解法为等面积法，即S＝12ah＝3×12ar?r＝111
3h，类比问题的解法应为等体积法，V＝3Sh＝4×3
Sr
?r＝14h，即正四面体的内切球的半径是高的1
4.7．13＋23＋33＋43＋53＋63＝2128．962
解析 观察各式容易得m＝29
＝512，注意各等式右边的表达式各项系数和均为1，故有m－1 280＋1 120＋n＋p－1＝1，将m＝512代入得n＋p＋350＝0.对于等式⑤，令α＝60°，则有
cos 600°＝512·1210－1 280·128＋1 120·126＋116n＋14p－1，化简整理得n＋4p＋200＝0，联立方程组??
n＋p＋350＝0，?n＋4p＋200＝0，
得?
?n＝－400，
?p＝50.
∴m－n＋p＝962.
9．解 ∵20°＋40°＝60°，28°＋32°＝60°，∴由此题的条件猜想，若α＋β＝60°，
则sin2α＋sin2β＋sin α·sin β＝3111
4.10．解 由a1＝S1＝2(a1＋a1)得，a1＝a1
，
又a1>0，所以a1＝1.当n≥2时，将Sn＝
12(an＋1an)
，Sn1
(1－1＝2an－1＋an)
的左右两边分别相减得
－1
an＝12(an＋1an)－12(an1an)，整理得a(1n－1＝－an)1－1＋－1＋，所以a2－＝－22
－1anan，即a2＋2a2＋1＝2，
－1a2
又a2>0，所以a2＝2－1.同理a3－12
a3＝－22，即a3＋22a3＋2＝3，
又a3>0，所以a3＝3－2. 可推测an＝n－n－1.
11．D [由所给函数及其导数知，偶函数的导函数为奇函数．因此当f(x)是偶函数时，其导函数应为奇函数，故g(－x)＝－g(x)．]
12．证明 类似性质为：若M、N为双曲线x2y2
a2－b2＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任一点，当
直线PM、PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与P点位置无关的定值．其证明如下：
P(x，y)，M(m，n)，则N(－m，－n)，其中m22－n22＝1，即n2＝b2
设y－ny＋n2(m2－a2)．∴kPM＝，kPN＝，2abax－mx＋m
又xy22b
2
a2－b2＝1，即y＝a
2(x2－a2)， ∴y2－n2＝b
2a
2(x2－m2)．
y2－n2b2
∴kPM·kPN＝x2－m2
＝a
2. 故kPM·kPN是与P点位置无关的定值．
2.1.2 演绎推理
1．演绎推理中的“一般性原理”包括( )①已有的事实；②定义、定理、公理等；③个人积累的经验． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．下列说法不正确的个数为( )
①演绎推理是一般到特殊的推理；②演绎推理得到的结论一定正确；③合情推理是演绎推理的前提，演绎推理是合情推理的可靠性．A．3 B．2 C．1 D．0
3．“因为对数函数y＝logax是增函数，而y＝log11
2x是对数函数，所以y＝log2x是增函数”．有关这个“三段论”
的推理形式和推理结论正确的说法是( )A．形式正确，结论正确 B．形式错误，结论错误 C．形式正确，结论错误 D．形式错误，结论正确
4．推理：“①矩形是平行四边形；②三角形不是平行四边形；③所以三角形不是矩形．”中的小前提是( ) A．① B．② C．③ D．①和②
7
5．“四边形ABCD是矩形，四边形ABCD的对角线相等．”补充以上推理的大前提( ) A．正方形都是对角线相等的四边形B．矩形都是对角线相等的四边形 C．等腰梯形都是对角线相等的四边形D．矩形都是对边平行且相等的四边形
6．三段论：“①只有船准时起航，才能准时到达目的港，②这艘船是准时到达目的港的，③所以这艘船是准时起航的．”中，“小前提”是________．
7．已知f(x)＝x(
12x－1＋12)
，求证：f(x)是偶函数．证明：f(x)＝x2x＋1
2?2x－1?，其定义域为{x|x≠0}， 又f(－x)＝(－x)2－x＋1
1＋2x
2x＋1
2?2－x－1?＝－x2?1－2x?＝x·2?2x－1?＝f(x)，f(x)为偶函数．
此题省略了__________．
8．补充下列推理的三段论：(1)因为互为相反数的两个数的和为0，又因为a与b互为相反数且________，所以b＝8.(2)因为________，又因为e＝2.718 28?是无限不循环小数，所以e是无理数． 9．把下列演绎推理写成三段论的形式．
(1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，所以在一个标准大气压下把水加热到100℃时，水会沸腾； (2)一切奇数都不能被2整除，2100
＋1是奇数，所以2100
＋1不能被2整除； (3)三角函数都是周期函数，y＝tan α是三角函数，因此y＝tan α是周期函数．
10．如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，F分别是AB，AD的中点，求证EF∥平面BCD.
11．给出演绎推理的“三段论”：直线平行于平面，则平行于平面内所有直线；(大前提) 已知直线b∥平面α，直线a?平面α；(小前提)则直线b∥直线a.(结论) 那么这个推理是( )A．大前提错误 B．小前提错误C．推理形式错误
D．非以上错误
12．用三段论证明函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
2.1.2 演绎推理
1．A2．C [演绎推理的结论正确与否与前提、推理形式有关，不一定正确，故②不正确．]
3．C [推理的形式正确，但大前提是错误的，这是因为对数函数y＝logax (0
8．(1)a＝－8(2)无限不循环小数是无理数9．解 (1)在一个标准大气压下，水的沸点是100℃，大前提
在一个标准大气压下把水加热到100℃，小前提水会沸腾．结论
(2)一切奇数都不能被2整除，大前提2100＋1是奇数，小前提2100＋1不能被2整除．结论
(3)三角函数都是周期函数，大前提y＝tan α是三角函数，小前提y＝tan α是周期函数．结论 10．证明 三角形的中位线平行于底边大前提点E、F分别是AB、AD的中点小前提 所以EF∥BD结论若平面外一条直线平行于平面内一条直线，则直线与此平面平行大前提 EF?平面BCD，BD?平面BCD，EF∥BD小前提EF∥平面BCD.结论 11．A
12．证明 设x1
－x13
)＋(x2－x1)
＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x2
1)＋(x2－x1) ＝(x2－x1)(x22＋x2x1＋x21＋1)
＝(x2－x1)
[(
x2＋x122)
＋34
x21＋1]
. 因为(x2＋
x12
)2
＋3x1
24
＋1>0， 所以f(x2)－f(x1)>0，即f(x2)>f(x1)．
于是根据“三段论”，得函数f(x)＝x3＋x在(－∞，＋∞)上是增函数．
习题课
1．若f(n)＝n2
＋n＋41，n∈N＋，下列说法正确的是( )A．f(n)可以为偶数
B．f(n)一定为奇数
C．f(n)一定为质数 D．f(n)必为合数
2．不等式a>b与11C．11
a>b同时成立的充要条件为( )A．a>b>0 B．a>0>bbb>0 3．已知a1＝3，a2＝6，且an＋2＝an＋1－an，则a33为( )A．3 B．－3
C．6
D．－6
4．已知f1(x)＝cos x，f2(x)＝f′1(x)，f3(x)＝f2′(x)，f4(x)＝f′3(x)，?，fn(x)＝fn－1′(x)，则f2 007(x)等于( ) A．sin x B．－sin xC．cos x D．－cos x
5．如果数列{an}的前n项和Sn＝3
2an－3，那这个数列的通项公式是( )
A．an＝2(n2＋n＋1) B．an＝3·2nC．an＝3n＋1
D．an＝2·3n
8
6．f(n)＝1＋12＋13＋?＋1n (n∈N357
＋)．计算得f(2)＝2，f(4)>2，f(8)>2，f(16)>3，f(32)>2，推测当n≥2时，有___________．
7．已知两个圆：x2
＋y2
＝1， ① 与x2＋(y－3)2＝1.
②
则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程，将上述命题在曲线仍为圆的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题要成为所推广命题的一个特例，推广的命题为________________________________________________________________________ 8．下列图形中的线段有规则地排列，猜出第6个图形中线段的条数为________．
9．11×2＋12×3＋11
3×4＋?＋n?n＋1?
，写出n＝1,2,3,4的值，归纳并猜想出结果，你能证明你的结论吗？
10．如图，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，E、F分别是A1B、A1C的中点，点D在B1C1上，A1D⊥B1C.
求证：(1)EF∥平面ABC； (2)平面A1FD⊥平面BB1C1C.
11．在如下数表中，已知每行、每列中的数都成等差数列， 第1列 第2列 第3列 ? 第1行 1 2 3 ? 第2行 2 4 6 ? 第3行 3 6 9 ? ? ? ? ? ? 那么位于表中的第n行第n＋1列的数是________．
12．在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB、AC互相垂直，则AB2＋AC2＝BC2.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．
习题课答案1．B [因为n∈N＋，所以f(n)＝n(n＋1)＋41，一定为奇数．]
??a>b，?a>b，2．B [???1?a>b，
a>1??b
?a－b
??
?a>0>bab<0，?ab<0，.]
3．A [a3＝3，a4＝－3，a5＝－6，a6＝－3，a7＝3，a8＝6，…，故{an}是以6个项为周期循环出现的数列，a33＝a3＝3.]4．D [由已知，有f1(x)＝cos x，f2(x)＝－sin x，f3(x)＝－cos x，f4(x)＝sin x，f5(x)＝cos x，?可以归纳出：f4n(x)＝sin x，f4n＋1(x)＝cos x，f4n＋2(x)＝－sin x，f4n＋3(x)＝－cos x (n∈N＋)，∴f2 007(x)＝f3(x)＝－cos x．]
5．D [当n＝1时，a1＝32a1－3，∴a1＝6，由Sn＝32an－3，当n≥2时，Sn3
－1＝2
an－1－3，
∴当n≥2时，an＝Sn－Sn33
－1＝an－an－1，∴an＝3an－1.∴a1＝6，a2＝3×6，a3＝32×6.猜想：an＝6·3n－1＝2·3n22
.]
6．f(2n)>n＋22
7．设圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2
③
(x－c)2＋(y－d)2＝r2
④
其中a≠c或b≠d，则由③式减去④式可得两圆的对称轴方程．
8．125解析 第一个图只一条线段，第二个图比第一个图增加4条线段，即线段的端点上各增加2条，第三个图比第二个图增加4×2＝23条线段．第4个图比第三个图增加23×2＝24条线段，因此猜测第6个图的线段的条数为
1＋22＋23＋24＋25＋26＝1＋22?25－1?2－1＝27
－3＝125.
9．解 n＝1时，11
1×2＝2；
n＝2时，11112
1×2＋2×3＝2＋6＝3；
n＝3时，111211×2＋2×3＋3×4＝3＋12＝3
4；
n＝4时，11×2＋12×3＋13×4＋14×5＝34＋120＝4
5
. 观察所得结果：均为分数，且分子恰好等于和式的项数，分母都比分子大1.
所以猜想11111×2＋2×3＋3×4＋?＋n?n＋1?＝n
n＋1.
证明如下： 由111111111×2＝1－2，2×3＝2－3，?，n?n＋1?＝n－n＋1.
∴原式＝1－12＋12－13＋13－14＋?＋11
n－n＋1 ＝1－1n
n＋1＝n＋1. 10．证明 (1)由E、F分别是A1B、A1C的中点知 EF∥BC.因为EF?平面ABC，BC?平面ABC. 所以EF∥平面ABC.
(2)由三棱柱ABC—A1B1C1为直三棱柱知 CC1⊥平面A1B1C1.
又A1D?A1B1C1，故CC1⊥A1D.
9
又因为A1D⊥B1C，CC1∩B1C＝C，
故A1D⊥平面BB1C1C，又A1D?平面A1FD， 所以平面A1FD⊥平面BB1C1C.
11．n2
＋n
解析 由题中数表知：第n行中的项分别为n,2n,3n，?，组成一等差数列，所以第n行第n＋1列的数是：n2＋n.
12．解 猜想正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两互相垂直，则S22
△ABC＋S△ACD＋S22△ADB＝S△BCD”．
事实上，本题还需要严格意义上的证明：
如图所示，作AO⊥平面BCD于点O，由三个侧面两两互相垂直可知三条侧棱AB、AC、AD两两互相垂直，故O为△BCD的垂心，在Rt△DAE中，AO⊥DE，有AE2
＝EO·ED，
S212
△ABC＝4BC·
AE2 ＝(12BC·EO)(12
BC·ED)
＝S△OBC·S△BCD，
同理S2△ACD＝S△BCD·S△OCD，S2△ABD＝S△BCD·S△OBD， 故S22ACD＋S22△ABC＋S△△ADB＝S△BCD.
3．1.1 数系的扩充和复数的概念
1．(1＋3)i的实部与虚部分别是( )A．1，3 B．1＋3，0C．0,1＋3
D．0，(1＋3)i 2．a为何值时，复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i表示纯虚数( )A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1
C．a＝0
D．a＝2或a＝0
3．若(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i (x，y∈R)，则x，y的值分别为( )A．1,2 B．2,1C．－1,2 D．－2,1 4．已知a，b∈R，则a＝b是(a－b)＋(a＋b)i为纯虚数的( )A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知k∈R，方程x2＋kx＋3xi＋4＋k＝0一定有实根的充要条件是( )A．|k|≥4 B．k≥2＋25或k≤2－25C．k＝±32D．k＝－4
6．已知M＝{1,2，m2－3m－1＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，M∩N＝{3}，则实数m的值为________． 7．若复数4－3a－a2i与复数a2＋4ai相等，则实数a＝______.
8．使不等式m2
－(m2
－3m)i<(m2
－4m＋3)i＋10成立的实数m的取值集合是________．
9．已知复数z＝
a2－7a＋6
a2－1
＋(a2－5a－6)i (a∈R)，试求实数a分别取什么值时，z分别为：(1)实数；(2)虚数；(3)
纯虚数．
10．已知
x2
－x－6
x＋1
＋(x2－2x－3)i＝0 (x∈R)，求x的值．
11．设a，b∈R，若a＋b＋i＝10＋abi(i为虚数单位)，则(a－b)2等于( )
A．－12
B．－8
C．8
D．10
12．如果m为实数，z1＝m2＋1＋(m3＋3m2＋2m)i，z2＝4m＋2＋(m3－5m2＋4m)i，那么使z1>z2的m值的集合是什么？使z1 3．1.1 数系的扩充和复数的概念答案 1．C [(1＋3)i可看作0＋(1＋3)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋3.] 由已知得??a2 －2a＝0， 2．C [?a2－a－2≠0， ∴a＝0时，z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i为纯虚数．] 3．A [(7－3x)＋3yi＝2y＋2(x＋2)i??? 7－3x＝2y， ?x＝?3y＝2?x＋2???1， ?y＝2. 即x，y的值分别为1,2.] 4．C [若a＝b＝0，则(a－b)＋(a＋b)i不是纯虚数，若(a－b)＋(a＋b)i是纯虚数，则??a－b＝0， ?a＋b≠0. ] 2 ．D [设方程的实根为x，则x2＋kx＋4＋k＋3xi＝0，∴??x＋kx＋4＋k＝0， 5?3x＝0， ∴k＝－4.故选D.] ?m2 －3m－1＝36．－1解析 若M∩N＝{3}，则m2 －3m－1＋(m2 －5m－6)i＝3，∴??m＝4或m＝－1 ?m2－5m－6＝0 ???m＝6或m＝－1 ， ∴m＝－1. 10