点评： 此题主要考查了频数分布直方图和频数分布表，以及利用样本估计总体，关键是读懂频数分布直方图，能利用统计图获取信息；利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．
22．一农民带上若干千克自产的西红柿进城出售，为了方便，他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后，又降价出售，售出的西红柿千克数x与他手中持有的钱数y（含备用零钱）的关系，如图所示，结合图象回答下列问题． （1）农民自带的零钱是多少？
（2）求降价前y与x之间的函数关系关系式．
（3）降价后他按每千克3元将剩余西红柿售完，这时他手中的钱（含备用零钱）是200元，试问他一共带了多少千克西红柿？
考点： 一次函数的应用．
分析： （1）图象与y轴的交点就是农民自带的零钱．
（2）利用待定系数法求出0到30时线段的函数解析式即可．
（3）计算出降价后买的西红柿的数量，然后加上20千克即可求解． 解答： 解：（1）农民自带的零钱是20元； （2）设函数的解析式是y=kx+b， 则解得：
， ．
则y与x的函数解析式是y=4x+20； （3）（200﹣140）÷3=20（千克）， 则他带的西红柿是30+20=50（千克）． 50千克； 点评： 主要考查利用一次函数的模型解决实际问题的能力和读图能力．要先根据题意列出函数关系式，再代数求值．解题的关键是要分析题意根据实际意义准确的列出解析式，再把对应值代入求解，并会根据图示得出所需要的信息．
23．如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，BE=2DE，延长DE到F，使得EF=BE，连接CF．
（1）求证：四边形BCFE是菱形．
（2）若DE=4cm，∠EBC=60°，求菱形BCFE的面积．
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考点： 菱形的判定与性质． 专题： 证明题．
分析： （1）先判断DE为△ABC的中位线得到DE∥BC且2DE=BC，加上BE=2DE，EF=BE，则EF=BC，EF∥BC，所以可判断四边形BCFE是平行四边形，然后再判断四边形BCFE是菱形； （2）先计算出BC=2DE=8，再判断△BCE为等边三角形，根据等边三角形的面积公式得到S△BCE=16，所以菱形BCFE的面积=2S△BCE=32（cm）． 解答： （1）证明：∵D、E分别是AB、AC的中点， ∴DE为△ABC的中位线， ∴DE∥BC且2DE=BC， 又∵BE=2DE，EF=BE， ∴EF=BC，EF∥BC，
∴四边形BCFE是平行四边形， 又∵BE=FE，
∴四边形BCFE是菱形； （2）解：∵DE=4， ∴BC=2DE=8， ∵∠EBC=60°， 而BE=BC，
∴△BCE为等边三角形， ∴S△BCE=
×8=16
2
2
，
2
∴菱形BCFE的面积=2S△BCE=32（cm）． 点评： 本题考查了菱形的判定与性质：菱形是在平行四边形的前提下定义的，首先它是平行四边形，但它是特殊的平行四边形，特殊之处就是“有一组邻边相等”，因而就增加了一些特殊的性质和不同于平行四边形的判定方法．也考查了等边三角形的判定与性质．
24．某社区活动中心为鼓励居民加强体育锻炼，准备购买10副某种品牌的羽毛球拍，每副球拍配x（x≥2）个羽毛球，供社区居民免费借用．该社区附近A、B两家超市都有这种品牌的羽毛球拍和羽毛球出售，且每副球拍的标价均为30元，每个羽毛球的标价为3元，目前两家超市同时在做促销活动：
A超市：所有商品均打九折（按标价的90%）销售； B超市：买一副羽毛球拍送2个羽毛球．
设在A超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yA（元），在B超市购买羽毛球拍和羽毛球的费用为yB（元）．请解答下列问题：
（1）分别写出yA、yB与x之间的关系式；
（2）若该活动中心只在一家超市购买，你认为在哪家超市购买更划算？
（3）若每副球拍配15个羽毛球，请你帮助该活动中心设计出最省钱的购买方案．
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考点： 一次函数的应用．
分析： （1）根据购买费用=单价×数量建立关系就可以表示出yA、yB的解析式；
（2）分三种情况进行讨论，当yA=yB时，当yA＞yB时，当yA＜yB时，分别求出购买划算的方案； （3）分两种情况进行讨论计算求出需要的费用，再进行比较就可以求出结论． 解答： 解：（1）由题意，得yA=（10×30+3×10x）×0.9=27x+270； yB=10×30+3（10x﹣20）=30x+240；
（2）当yA=yB时，27x+270=30x+240，得x=10； 当yA＞yB时，27x+270＞30x+240，得x＜10； 当yA＜yB时，27x+270＜30x+240，得x＞10
∴当2≤x＜10时，到B超市购买划算，当x=10时，两家超市一样划算，当x＞10时在A超市购买划算．
（3）由题意知x=15，15＞10，
∴选择A超市，yA=27×15+270=675（元），
先选择B超市购买10副羽毛球拍，送20个羽毛球，然后在A超市购买剩下的羽毛球： （10×15﹣20）×3×0.9=351（元）， 共需要费用10×30+351=651（元）． ∵651元＜675元，
∴最佳方案是先选择B超市购买10副羽毛球拍，然后在A超市购买130个羽毛球． 点评： 本题考查了一次函数的解析式的运用，分类讨论的数学思想的运用，方案设计的运用，解答时求出函数的解析式是关键．
25．正方形ABCD中，点O是对角线DB的中点，点P是DB所在直线上的一个动点，PE⊥BC于E，PF⊥DC于F．
（1）当点P与点O重合时（如图①），猜测AP与EF的数量及位置关系，并证明你的结论； （2）当点P在线段DB上（不与点D、O、B重合）时（如图②），探究（1）中的结论是否成立？若成立，写出证明过程；若不成立，请说明理由；
（3）当点P在DB的长延长线上时，请将图③补充完整，并判断（1）中的结论是否成立？若成立，直接写出结论；若不成立，请写出相应的结论．
考点： 正方形的性质；全等三角形的判定与性质． 专题： 综合题；压轴题．
分析： （1）连接AC，则AC必过O点，延长FO交AB于M，由于O是BD中点，易证得△AOM≌△FOE，则AO=EF，且∠AOM=∠FOC=∠OFE=45°，由此可证得AP⊥EF．
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（2）方法与①类似，延长FP交AB于M，延长AP交BC于N，易证得四边形MBEP是正方形，可证得△APM≌△FEP，则AP=EF，∠APM=∠FEP；而∠APM=∠FPN=∠PEF，且∠PEF与∠PFE互余，故∠PFE+∠FPN=90°，由此可证得AP⊥EF，所以（1）题的结论仍然成立． （3）解题思路和方法同（2）． 解答： 解：（1）AP=EF，AP⊥EF，理由如下： 连接AC，则AC必过点O，延长FO交AB于M； ∵OF⊥CD，OE⊥BC，且四边形ABCD是正方形， ∴四边形OECF是正方形， ∴OM=OF=OE=AM，
∵∠MAO=∠OFE=45°，∠AMO=∠EOF=90°， ∴△AMO≌△FOE（AAS），
∴AO=EF，且∠AOM=∠OFE=∠FOC=45°，即OC⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF．
（2）题（1）的结论仍然成立，理由如下： 延长AP交BC于N，延长FP交AB于M；
∵PM⊥AB，PE⊥BC，∠MBE=90°，且∠MBP=∠EBP=45°， ∴四边形MBEP是正方形，
∴MP=PE，∠AMP=∠FPE=90°；
又∵AB﹣BM=AM，BC﹣BE=EC=PF，且AB=BC，BM=BE， ∴AM=PF，
∴△AMP≌△FPE（SAS），
∴AP=EF，∠APM=∠FPN=∠PEF
∵∠PEF+∠PFE=90°，∠FPN=∠PEF， ∴∠FPN+∠PFE=90°，即AP⊥EF， 故AP=EF，且AP⊥EF．
（3）题（1）（2）的结论仍然成立；
如右图，延长AB交PF于H，证法与（2）完全相同．
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点评： 充分利用正方形的性质，灵活的构造全等三角形，并能够根据全等三角形的性质来得到所求的条件是解决此题的关键．
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