初三数学总复习(6)
【例01】点A在双曲线y=
6x(x>0)上，过A作AC⊥x轴，垂足为C，OA的垂直平分线交OC于点B，当
OA=4时，?ABC周长为 .
答案：27
【例02】(2012年日照市中考试题)在Rt?ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5.
(1)探究新知：如图①所示，⊙O是?ABC的内切圆，与三边分别相切于点E、F、G.
①求证内切圆的半径r1=1. ②求tan∠OAG的值. (2)结论应用：
①如图②所示，若半径为r2的两个等圆⊙O1、⊙O2外切且⊙O1与AC、AB相切，⊙O2与BC、 AB相切，求r2的值.
②如图③所示，若半径为rn的n个等圆⊙O1、⊙O2、…、⊙On依次外切且⊙O1与AC、AB相 切，⊙On与BC、AB相切，⊙O1、⊙O2、…、⊙On均与AB相切，求rn的值.
A
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CEOGBACCFO1O2BO1AO2OnB(Ⅰ)(1)证明：在图①中，连结OE，OF，OA.
∵四边形CEOF是正方形， …1分 CE=CF=r1.又∵AG=AE=3-r1，BG=BF=4-r1， AG+BG=5，∴(3-r1)+(4-r1)=5.即r1=1. ………3分
(2)连结OG，在Rt△AOG中，∵r1=1， AG= 3-r1=2，tan∠OAG=
OGAG=
12；…………5分
(Ⅱ)(1)连结O1A、O2B，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E，AO1、BO2分别平分∠CAB、
∠ABC.由tan∠OAG=
12，知tan∠O1AD=
12，同理可得：tan∠O2BE=
O2EBE=
13，
∴AD=2r2，DE=2r2，BE=3r2.……6分
∵AD+DE+BE=5，r2=
57； …………8分
(2)如图③，连结O1A、OnB，作O1D⊥AB交于点D、O2E⊥AB交于点E、…、OnM⊥AB交于点M. 则AO1、BO2分别平分∠CAB、∠ABC.tan∠O1AD=
12，tan∠OnBM=
13，
AD=2rn，DE=2rn，…，MB=3rn，又∵AD+DE+…+MB=5，2rn+2rn+…+3rn=5，
(2n+3) rn=5，rn=
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52n?3. …………10分
【例03】(2008年苏州市中考试题)如图所示，抛物线y?a(x?1)(x?5)与x轴的交点为M、N．直线
y?kx?b与x轴交于P(?2，0)、与y轴交于点C．如果A、B两点在直线y?kx?b上且
AO?BO?2，AO?BO，D为线段MN的中点，OH为Rt?OPC斜边上的高． (1)OH的长度等于 ；k? ，b? ．
(2)是否存在实数a，使得抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D、N、E为顶点的
三角形与?AOB相似？若不存在，说明理由；若存在，求所有符合条件的抛物线的解析式， 同时探索所求得的抛物线上是否还有符合条件的E点(简要说明理由)；并进一步探索：对于 符合条件的每一个E点，直线NE与直线AB的交点G是否总满足PB?PG?102？写出 探索过程．
29．解：（1）OH?1；k?P ?2y A C H M O B 33 3（2）设存在实数a，使抛物线y?a(x?1)(x?5)上有一点E，满足以D，N，E为顶点的三角形与等腰直角△AOB相似．
，b?23D N x ．
?以D，N，E为顶点的三角形为等腰直角三角形，且这样的三角形最多只有两类，一类是以DN为直角
边的等腰直角三角形，另一类是以DN为斜边的等腰直角三角形． ①若DN为等腰直角三角形的直角边，则ED?DN．
由抛物线y?a(x?1)(x?5)得：M(?1，0)，N(5，0)．?D(2，0)，?ED?DN?3．?E的坐标为(2，3)． 把E(2，3)代入抛物线解析式，得a??．?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)．
1133即y??13x2?43x?53．
②若DN为等腰直角三角形的斜边，则DE?EN，DE?EN．?E的坐标为(3.5，1.5)． 把E(3.5，1.5)代入抛物线解析式，得a??29．
22810 ?抛物线解析式为y??(x?1)(x?5)，即y??x2?x?9999当a??时，在抛物线y??53)满足条件，如果此抛物线上还有满足条件的x?上存在一点E(2，33331.5)，E点，不妨设为E?点，那么只有可能△DE?N是以DN为斜边的等腰直角三角形，由此得E?(3.5，x2?13x2?43x?5329上，因此抛物线y??114显然E?不在抛物线y??当a??13x2?43x?53上没有符合条件的其他的E点．
29时，同理可得抛物线y??x2?89x?10913上没有符合条件的其他的E点．
当E的坐标为(2，3)，对应的抛物线解析式为y??x2?43x?53时，
?△EDN和△ABO都是等腰直角三角形，??GNP??PBO?45?．
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又??NPG??BPO，?△NPG∽△BPO．
?PGPO?PNPB，?PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102．
当E的坐标为(3.5，1.5)，对应的抛物线解析式为y??29x2?89x?109时，
同理可证得：PB?PG?PO?PN?2?7?14，?总满足PB?PG?102
【例04】(2008年义乌市中考试题)如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负
半轴上.过点B、C作直线l，将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D、与y轴交于点E． (1)将直线l向右平移，设平移距离CD为t (t?0)，直角梯形OABC被直线l扫过的面积(图中
阴影部份)为S，S关于t的函数图象如图2所示， OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ 为射线，N点横坐标为4．
①梯形上底AB的长及直角梯形OABC的面积． ②当2 (2)在第(1)题的条件下，当直线l向左或向右平移时(包括l与直线BC重合)，在直线AB上是否 存在点P使得?PDE为等腰直角三角形？若存在，请直接写出所有满足条件的点P的坐标； 若不存在，请说明理由. 解： (1)①AB?2 ，OA?SNQy8MEBACD82OxO24t?4，OC?4，S梯形OABC=12 ②当2?t?4时，直角梯形OABC被直线l扫过的面积=直角梯形OABC面积－直角三角开 DOE面积S?12?12(4?t)?2(4?t)??t2?8t?4 8(2) 存在 P,4),P4(4,4),P5(8,4) …(每个点对各得1分) 1(?12,4),P2(?4,4),P3(?3 对于第(2)题我们提供如下详细解答(评分无此要求).下面提供参考解法二： Page 4 of 18 ① 以点D为直角顶点，作PP1?x轴 (图示阴影) OE?2OD，?设OD?b，OE?2b.Rt?ODE?Rt?P1PD，?在Rt?ODE中，?b?4，2b?8，在上面二图中分别可得到P点的生标为P(－12，4)、P(－4，4) E点在0点与A点之间不可能； ② 以点E为直角顶点 同理在②二图中分别可得P点的生标为P(－③ 以点P为直角顶点 同理在③二图中分别可得P点的生标为P(－4，4)(与①情形二重合舍去)、P(4，4)， E点在A点下方不可能. 综上可得P点的生标共5个解，分别为P(－12，4)、P(－4，4)、P(－P(8，4)、P(4，4)． Page 5 of 18 83，4)、P(8，4)E点在0点下方不可能. 83，4)、