【例27】设m、n为正整数且m?2，如果对一切实数t，二次函数y?x?(3?mt)x?3mt的图象与x
轴的两个交点之间的距离不小于2t?n，求m、n的值.
【解析】因为一元二次方程x?(3?mt)x?3mt?0的两根分别为mt和?3，所以二次函数：
22y?x2?(3?mt)x?3mt的图象与x轴的两个交点间的距离为mt?3.
22222由题意，mt?3?2t?n，即(mt?3)?(2t?n)，即(m?4)t?(6m?4n)t?9?n?0.
2??m?4?0，由题意知，m?4?0，且上式对一切实数t恒成立，所以? 222????(6m?4n)?4(m?4)(9?n)?02?m?2，???2?4(mn?6)?0
【例28】函数y??m?2，?m?3，?m?6，所以?或? ?mn?6n?2n?1???(其中a、b为非零常数)取得最大值的条件是( ).
x2?ax?bA.a2?4b?0 B.a2?4b?0 C.a2?4b?0 D.与a、b的取值有关，不能确定
14【解答】 C.注意到y?2. ?2x?ax?ba??4?x???4b?a22??⑴ 若a2?4b≥0，则x2?ax?b?0有实数根，此时，y无最大值； ⑵ 若a2?4b?0，则0?y≤
【例29】已知一元二次方程ax2?bx?c?0(a?0，c?0)的两根的和、差、积、商分别为p、q、r、s，
它们有如下的依存关系式：
?s?1??s?1??p?ss?s?1????①p?q?4r，②?，③，④?????. ??prqrs?1???????q?222222144b?a2.综上，当a2?4b?0时，max(y)?44b?a2.
其中正确的关系式有( )个.
A.1 B.2 C.3 D.4
【解答】 D.不妨设ax2?bx?c?0(a?0,c?0)的两根分别为x1、x2，
则有x1?x2??ba?p，x1?x2?ca?r.
p2?4r，即p2?q2?4r.
故|q|?|x1?x2|?又s?1s2?x1?x2?x2x1?2?2?4x1x2??2?x1x2?(x1?x2)2x1x2?s?1?s??，即?. ?prr??2p22从而p?r(s?1)2s，并代入式①得q?r(s?1)2s?4r?rs(s?1)2.
由式②、③成立易知式④也成立.
【例30】已知抛物线y?ax?b?c(a?0)与直线y?k(x?1)?2k24，无论k取任何实数，此抛物线与直线都
Page 16 of 18
只有一个公共点，那么抛物线的解析式是( ).
A.y?x2 B.y?x2?2x C.y?x2?2x?1 D.y?2x2?4x?2
【解答】 C.由y?ax?bx?c，y?k(x?1)?2k24得ax?(b?k)?c?k?2k24?0 ……①.
由题设知，方程①有两个相等的实根，则
?k2?22??(b?k)?4a?c?k???0，即(1?a)k?2(2a?b)k?b?4ac?0.
4??2因为k为任意实数，所以1?a?0，2a?b?0，b2?4ac?0.解得a?1，b??2，c?1.
【例31】代数式4?x2?1?x2达到最小值时，x的值为 ；代数式4?x2?1?x2达到最大值时，
x的值为 . 32【解答】 达到最小值时，x??22；达到最大值时，x??1,0.
2221?11?注意到4?x?1?x?3?(1?x)?1?x??1?x2???.
2?4?当1?x2?最大值3.
12，即x??32时，代数式取最小值
114；当1?x2?0或1，即x??1,0时，代数式取
【例32】已知点A(1，0)、B(2，0).若二次函数y?x2?(a?3)x?3的图象与线段AB只有一个交点，则a
的取值范围是 .
【解答】 ?1≤a??12或a?3?23.分两种情况：
⑴ 因为二次函数y?x2?(a?3)x?3的图象与线段AB只有一个交点，且A(1,0)、B(2,0)，则
[12?(a?3)?1?3]?[22?(a?3)?2?3]?0.解得?1?a??12.
由12?(a?3)?1?3?0，得a??1，此时x1?1，x2?3，符合题意； 由22?(a?3)?2?3?0，得a??，此时x1?2，x2?2132，不符合题意.
⑵ 令x2?(a?3)x?3?0，由判别式??0得a?3?23. 当a?3?23时，x1?x2??3，不符合题意； 当a?3?23时，x1?x2?3，符合题意. 综上所述，a的取值范围是?1≤a??12或者a?3?23.
【例33】已知二次函数y?x2?2mx?n2.
(1)若此二次函数的图象经过点(1，1)且记m、n?4两数中较大者为P，试求P的最小值； (2)若m、n变化时，这些函数的图象是不同的抛物线.如果每条抛物线与坐标轴都有三个不同的
交点，而过这三个交点过圆.证明：这些圆都过同一个点，并求出该顶点的坐标. 【解答】 ⑴ 由二次函数过点(1,1)得m?注意到m?(n?4)?n22n22.
12(n2?2n?8)?12(n?4)(n?2)，
?(n?4)Page 17 of 18
?n2?,n≤?22??所以P??n?4,?2?n?4.再利用函数图象可知，当n??2时，Pmin?2.
?2?n,n≥4??2,⑵ 图象与坐标轴有三个不同的交点，可设交点坐标为A(x1,0)，B(x2,0)，C(0,?n2).
又x1x2??n2，若n?0，则与三个交点不符.故x1x2??n2?0.所以x1，x2分别在原点左右两侧. 又|x1x2|?n2?1，所以存在点P0(0,1)使得|OA|?|OB|?|OP0|?|OC|.
故A、B、C、P0四点共圆，即这些圆必过定点P0(0,1).
Page 18 of 18