【例05】(2008年丽水市中考试题)在平面直角坐标系中，已知点A坐标为(2，4)，直线x=2与x轴相交于 点B，连接OA，抛物线y=x2从点O沿OA方向平移，与直线x=2交于点P，顶点M到A点时停
止移动．
(1)求线段OA所在直线的函数解析式． (2)设抛物线顶点M的横坐标为m．
①用m的代数式表示点P的坐标． ②当m为何值时线段PB最短？
(3)当线段PB最短时，相应的抛物线上是否存在点Q，使得?QMA的面积与?PMA的面积相等？
若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
解：(1)设OA所在直线的函数解析式为y?kx，∵A(2，4)，
k?2，∴OA所在直线的函数解析式为y?2x. ∴2k?4， ?(2)①∵顶点M的横坐标为m，且在线段OA上移动，∴y?2m(0≤m≤2).
2?(x?m)?2m∴顶点M的坐标为(m，2m).∴抛物线函数解析式为y. 22?(2?m)?2m∴当x?2时，y(0≤m≤2). ?m?2m?422m?4∴点P的坐标是(2，m?).
22m?4② ∵PB=m?=(m?1)2?3， 又∵0≤m≤2，∴当m?1时，PB最短. y A M D ???(3)当线段PB最短时，此时抛物线的解析式为y. ?x?122P 假设在抛物线上存在点Q，使S. S?QMA??PMA2?2x?3设点Q的坐标为(x，x).
E O C B ①当点Q落在直线OA的下方时，过P作直线PC//AO，交y轴于点C，
C?1，∴C点的坐标是(0，?1). ∵PB?4，∴AP?1，∴OB?3，A∵点P的坐标是(2，3)，∴直线PC的函数解析式为y?2. x?1x?2x Q落在直线y?2∵S上. Sx?1?QMA??PMA，∴点
22x?3∴x?=2x?1.解得x，即点Q(2，3).∴点Q与点P重合. 2,x21?2?∴此时抛物线上不存在点Q，使△QMA与△APM的面积相等.……………(2分) ②当点Q落在直线OA的上方时，
作点P关于点A的对称称点D，过D作直线DE//AO，交y轴于点E，
OD?A?1∵A，∴E、D的坐标分别是(0，1)，(2，5)， P?1，∴E∴直线DE函数解析式为y?2. x?12Q落在直线y?22x?3∵S上.∴x?=2x?1. Sx?1?QMA??PMA，∴点
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5?22. 5?22，y解得：x，得yx?12?2?2?2.代入y?21?1?2?2，x∴此时抛物线上存在点Q ?2,5?22，Q?2,5?221222?????使△QMA与△PMA的面积相等. …………………………………(2分)
综上所述，抛物线上存在点Q 使△QMA与△PMA的面积相等. ?2,5?22，Q?2,5?221222
【例06】(2008年嘉兴市中考试题)在直角坐标系中，已知两点O(0，0)、A(2，0)，点B在第一象限并且
????OAB为正三角形，?OAB的外接圆交y轴的正半轴于点C，过点C的圆的切线交x轴于点D．
(1)求B、C两点的坐标． (2)求直线CD的函数解析式．
(3)设E、F别是线段AB、AD上的两个动点且EF平分四边形ABCD的周长，试求?AEF的最
大面积.
(1)?A(2，0)，?OA?2．作BG?OA于G，?△OAB为正三角形，
?OG?1，BG?3．?B(1，3)．连AC，??AOC?90?，?ACO??ABO?60?，
23?23?．?C?0，． ???33???OC?OAtan30???(2)??AOC?90，?AC是圆的直径， 又?CD是圆的切线，?CD?AC．
??OCD?30?，OD?OCtan30??23．?D??，0?．
?2?3??设直线CD的函数解析式为y?kx?b(k?0)，
?23?k?3b????3则?，解得?23．
?b??0??2k?b3??3?
?直线CD的函数解析式为y?3x?(3)?AB?OA?2，OD?233．
23，CD?2OD?43，BC?OC?233，
?四边形ABCD的周长6?3312233．设AE?t，△AEF的面积为S，
则AF?3??t，S?AF?AEsin60???3?3t?3??t?．
?4?3??
2?????3339?373????t??． ?S?t?3??t?????????4?34??6?32????Page 7 of 18
1286?0≤t≤21?3???，解得≤t≤2． 323?t≤2??0≤3?33??t?
?当t?9?3时，Smax?73?3．?点E，F分别在线段AB，AD上，
9?36满足
1?33≤t≤2，?△AEF的最大面积为
7312?38．
【例07】(2008年芜湖市中考试题)已知 A(?4，0)、B(0，4)，现以A点为位似中心、相似比为9:4，
将OB向右侧放大，B点的对应点为C． (1)求C点坐标及直线BC的解析式．
(2)抛物线经过B、C两点且顶点落在x轴正半轴上，求该抛物线的解析式并画出函数图象． (3)现将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，请找出抛物线上所有满足到直线AB距离
为32的点P．
解： (1)过C点向x轴作垂线，垂足为D，由位似图形性质可知：△ABO∽△ACD， ∴
AOAD?BOCD?49．
由已知A(?4,0)，B(0,4)可知： AO?4,BO?4．∴AD?CD?9．∴C点坐标为(5,9)． 直线BC的解析是为：
2分
y?49?4?2x?05?0化简得： y?x?4
3分
(2)设抛物线解析式为y?ax?bx?c(a?0)，
1?a??225?4?b?4?c??a1?1?25???由题意得?9?25a?5b?c ，解得： ?b1??4?c?42?b2?4ac?0?c?4???1?
2∴解得抛物线解析式为y1?x?4x?4或y2?125x2?45x?4．
又∵y2?125x2?45x?4的顶点在x轴负半轴上，
2不合题意，故舍去．满足条件的抛物线为y?x?4x?4，5分 (准确画出函数y?x?4x?4图象)7分
(3) 将直线BC绕B点旋转与抛物线相交与另一点P，设P到 直线AB的距离为h， 故P点应在与直线AB平行，且相距32的上下两条平行直线l1和l2上． ·························8分 由平行线的性质可得：两条平行直线与y轴的交点到直线BC的距离也为32． 如图，设l1与y轴交于E点，过E作EF⊥BC于F点，
?在Rt△BEF中EF?h?32，?EBF??ABO?45，
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∴BE?6．∴可以求得直线l1与y轴交点坐标为(0,10) ····················································· 10分 同理可求得直线l2与y轴交点坐标为(0,?2) ············································································· 11分 ∴两直线解析式l1:y?x?10；l2:y?x?2．
?y?x2?4x?4?y?x2?4x?4根据题意列出方程组： ⑴?；⑵?
?y?x?10?y?x?2?x1?6?x2??1?x3?2?x4?3∴解得：?；?；?；?
y?0y?16y?9y?1?1?2?4?3∴满足条件的点P有四个，它们分别是P2(?1,9)，P4(3,1) 1(6,16)，P3(2,0)，P
【例08】(2008年襄樊市中考试题)如图所示，四边形OABC是矩形，OA=4，OC=8，将矩形OABC沿直线
AC折叠，使点B落在D处，AD交OC于E． (1)求OE的长．
(2)求过O、D、C三点抛物线的解析式．
(3)若F为过O、D、C三点抛物线的顶点，一个动点P从点A出发沿射线AB以每秒1个单位长
度的速度匀速运动，当运动时间t(秒)为何值时直线PF把?FAC分成面积之比为1：3的两 部分？
解：(1)?四边形OABC是矩形，
yFD??CDE??AOE?90，
?OA?BC?CD．(1分)
又??CED??OEA，
?△CDE≌△AOE．(2分)
?OE?DE．?OE2?OA2?(AD?DE)2，
即OE?4?(8?OE)， 解之，得OE?3．(3分) (2)EC?8?3?5．如图4， 过D作DG?EC于G，
222OECx?△DGE≌△CDE．(4分)
?DEEC?DGCD125，
ABDEEC?95EGDE．
?DG?，EG?．?D??2412?，?．(5分) ?55?2因O点为坐标原点，
故可设过O，C，D三点抛物线的解析式为y?ax?bx．
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5??64a?8b?0，a??，?525??32???24?2y??x?x．(7分) 2412解得?324b?.?a????b?5.55??5???4(3)?抛物线的对称轴为x?4，?其顶点坐标为?4，?．
??5?2?1??8k?b?0，1?k?，设直线AC的解析式为y?kx?b，则?解之，得?2?y?x?4．(9分)
2?b??4.?b??4.?设直线FP交直线AC于H?m，m?4?，过H作HM?OA于M．
?1??2??△AMH∽△AOC．?HM:OC?AH:AC．?S△FAH:S△FHC?1:3或3:1，
?AH:HC?1:3或3:1，?HM:OC?AH:AC?1:4或3:4．
?3)，H2(6，?1)． (10分) ?HM?2或6，即m?2或6．?H1(2，直线FH1的解析式为y?114x?172．当y??4时，x?1811． ．
直线FH2的解析式为y??74x?192．当y??4时，x?547?当t?
1811秒或
547秒时，直线FP把△FAC分成面积之比为1:3的两部分
【例09】设a，b，x，y满足ax?by?3，ax2?by2?7，ax3?by3?16，ax4?by4?42，求ax5?by5 的值. 【解析】ax2?7?by2，by2?7?ax2，所以ax3?by3?(7x?bxy2)?(7y?ax2y)?7(x?y)?
33xy(ax?by).又ax?by?16，ax?by?3，因此7(x?y)?3xy?16.①
ax3?16?by3，by3?16?ax3，所以ax4?by4?(16x?bxy3)?(16y?ax3y)?16(x?y)?xy(ax2?by2).
又ax4?by4?42，ax2?by2?7，因此16(x?y)?7xy?42.②
由①②可得x?y??14，xy??38.
从而ax5?by5?(42x?bxy4)?(42y?ax4y)?42(x?y)?xy(ax3?by3)?42?(?14)?(?38)?16?20.
【点评】本题交替整体代换，构造了关于x?y，xy的两个方程，并求出它们的值使问题得以解决，从而考
查了学生运用整体代换思想的解题能力和运算技能.
【例10】若ax3?by3?cz3且
1x?1y?1z222?1，求证3ax?by?cz?3a?3b?3c.
ax2by2cz2111??由ax?by?cz得，又???1，所以利用等比性质有： 111xyzxyz333ax2by2cz2ax2?by2?cz2????ax2?by2?cz2?k.① 111111??xyzxyzPage 10 of 18