3ax2by2cz2a3b3c3从而???k，即???k.
111111xyzxyza?3b?3c3故由等比性质得?a?3b?3c?3k.②
111??xyz3由①②得3ax2?by2?cz2?3a?3b?3c.
【点评】第三个题目的等比性质运用得很巧妙，其实所谓的难题，并不是它运用的知识有多困难，而是在
于我们如何运用那些看似简单的定理、公式等，正所谓这样一句话：“运用之妙，存乎一心”.
【例11】求证：如果(x?x2?1)(y?y2?1)?1，那么x?y?0.
【解析】(1)观察可知，该式为对称式，根据对称式的特点来解此题会事半功倍！
由(x?x2?1)(y?y2?1)?1可知x?x2?1?1y?y2?1?y2?1?y，①
根据对称式的特点可知x2?1?x?y?y2?1，②
01 ?②可得2x??2y，整理即可得x?y?0.
(a1?112?b1?)11a2b2?(?)2.
ab(ab?2)ab【例12】已知a2?b2?a2b2，ab?2?0，求证观察可知，原式为对称式，又ab?2?0?ab??2，根据对称性，不妨设a?0，b?0. 由a2?b2?a2b2可知
1a2?1b2?1，则有：
112(a?b)2(a?b)2112(a?b)2(a?b)2(a1?2?b1?2)(a??b?)2222(a?b)2112ababbaab ?2??(?). ??22ab(ab?2)ab?2ab(a?b)2a2b2aba?b2?2ab【点评】根据对称式的特点，只需考虑a?0，b?0和a?0，b?0其中一种情况即可，大大简化了化简的过
程，另外本题中的变形技巧也值得好好研究.
【例13】已知a、b、c、d满足方程组??a?b?c?d，?a?b?c?d3333，求证a1999?b1999?c1999?d1999.
【解析】第一个式子的三次方减去第二个式子得(a?b)3?(a3?b3)?(c?d)3?(c3?d3)，即
ab(a?b)?cd(c?d).
若a?b?c?d?0，那么a??b，c??d，等式两边均为0，显然相等.
若a?b?c?d?0，则ab?cd，(a?b)2?(a?b)2?4ab?(c?d)2?4cd?(c?d)2， 从而有a?b?c?d或a?b?d?c.再由a?b?c?d可得a?c且b?d，或者a?d且b?c. 不论哪种情形均有a1999?b1999?c1999?d1999.
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【例14】若【解析】设
xaxa?yb?ybzc?1且zcax?by?cz?0，求证
x2a2?y2b2?z2c2?1. 1v1w?0.
?u,?v,?w，由已知可得u?v?w?1，
1u??因此u2?v2?w2?2(uv?vw?uw)?1，可见u?v?w?1，
【例15】化简3a?【解析】设a?13222vw?uw?uvuvw?0，即vw+uw+uv=0.
x2a2?y2b2?z2c2?1.
a?83a?13?3a?a?83a?83a?13. ?x，则a?3x2?1，?x2?3，
从而可知原式?33x2?1?(x2?3)x?33x2?1?(x2?3)x ?3x3?3x2?3x?1?31?3x?3x2?x3?3(x?1)3?3(1?x)3?x?1?1?x?2.
【例16】设a、b、c是绝对值小于1的实数，求证ab?bc?ca?1?0.
【解析】(1) 对原式稍作变形，不等式的左边可视作关于a的一次函数f(a)?(b?c)a?bc?1(a?1).特别
地，当b?c?0时，f(a)是常量函数.
上述函数的图象是不包含端点的线段，于是f(?1)?f(a)?f(1)或者f(1)?f(a)?f(?1).
c?1，故f(1)?(b?c)?1?bc?1?(b?1)(c?1)?0，f(?1)?(b?c)?(?1)?bc?1 因为b?1，?(b?1)(c?1)?0.从而f(a)?(b?c)a?bc?1?ab?bc?ca?1?0.
，b?1，求证【例17】已知a?1a?b1?aba?b1?ab?1.
【解析】设?c，则(1?ab)c?(a?b)?0，只要证明c?1就行了.为此我们构造一个函数:
y?(1?ab)x?(a?b).当x?c时，y?0.
b?1知1?ab?0，所以此函数是单调增函数.为了证明c?1，只需验证x?1时y?0， 由a?1、以及x??1时y?0.由函数的单调性，只需验证x?1时y?0和x??1时y?0.
而x?1时，y?1?ab?(a?b)?(1?a)(1?b)?0；x??1时，y??(1?ab)?(a?b)??(1?a)(1?b)
?0，故c?1，即原不等式成立.
【例18】已知a?0，b?0，c?0且b2?4ac?b?2ac，求b2?4ac的最小值.
【解析】(1) 令y?ax2?bx?c，由于a?0，b?0，c?0，且⊿?b2?4ac?0，所以此二次函数的图
象是一条开口向下的抛物线，且与x轴有两个不同的交点：A(x1，，0)B(x2，0). 因为x1x2?ca?0，不妨设x1?x2，则x1?0?x2，对称轴x??b2a?0，于是：
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x1??b?b2?4ac2a?b?b2?4ac2a?c.
故
4ac?b24a?c?b?b2?4ac2a??b2?4ac2a.
所以b2?4ac?4，当a??1，b?0，c?1时等号成立.因此b2?4ac的最小值为4.
【例19】设变量x满足x2?bx??x(b??1)并且x2?bx的最小值是?12，求b的值.
【解析】先求出条件中x的范围.由x2?bx??x得x?x?(b?1)??0，而b??1，所以得到0?x??(b?1).令
f(x)?x?bx，则f(x)?(x?)?.下面来求f(x)在0?x??(b?1)范围内的最小值.
242b2b2① 若?(b?1)??，即?2?b??1，则f(x)在x??(b?1)时取得最小值，
2bfmin?f(?b?1)?(?1)??b?1.
24b2b2因而b?1??② 若?b212，即b??32.
b2??(b?1)，即b??2，则f(x)在x??时取得最小值，为?b24，因而?b24??12，即
b??2.
但是b??2不满足b??2，所以b??2应当舍去.所以所求的b只能为?32.
【点评】本题的关键是求函数f(x)的最小值，而f(x)的最小值是要在某区间上进行讨论的.
【例20】设P为边长为a的正?ABC(包括边长和顶点)的任意一点，求证PA?PB?PC的最大值与最小值
分别为2a和3a.
【解析】 如图所示，过点P分别作AB、AC、BC三边的垂线，垂足分别为点E、F、G，再分别作
?ABC的三条高，分别为CE?、BF?、AG?.
则PA?PB?PC?PE?PF?PG?CE??BF??AG?. A又AG??CE??BF??332a，PE?PF?PG?32a，
E'EPFF'∴PA?PB?PC?3a.当P为?ABC的中心时，等式成立. 若P与?ABC中的点A重合，则PA?PB?PC?AB?AC?2a. 如图所示，过点P作PD∥BC，EF∥AC，则 PF?DC，AE?FC.
又由角的大小关系，易得BE?PB，AD?PA. ∴PA?PB?PC?AD?BE?PD?DC ?(AD?DC)?(BE?AE)?2a.
BAG'GEPDC综上所述，PA?PB?PC的最大值与最小值分别为2a和3a.
B另外，还有两种证法可供参考.
寻找一种办法将PA、PB、PC连成一条折线，而折线两端之间距离恰为3a.如将?APC绕C顺时针旋转60?，再连结PP?，BA?，便可达到上述目的.如图. 如图，将?BPC绕点B逆时针旋60?，作DE∥BC交AB于E，连结PE、PD，易知PC?AD，PB?PD?BD，
BFAP'PCA'Page 13 of 18
C以及DE?AE?AD，PE?AE?PA，DE?PE?DP，
而DE?PE?BE(可添DF，使EF?DE，证明?DFB≌?DEP)， 从而可得所证.
【解析】 由于S?ABC?34a2，过点A、B、C分别作BC、AC、AB的平行线，
DFBEA分别相交于F，D，E，连结PD，PE，PF.如图，注意到S?DEF?3a2，而S?PDE?12DE?PB?a?PB，同样S?PEF?a?PA，S?PFD?a?PC，相加即
EAPBCFPCD得最小值.
为了考虑最大值，同样采用面积法，如图所示，过B、C分别作AP的垂线交其延长线于D、E， 过B再作CE的垂线交CE的延长线于F，从而可计算S?APB、S?APC、S?BPC，最终求得最大值.
AFBPEDC
技法点睛：本题的三种解法分别为射影法、旋转法和面积法，是几何中常用的方法，具有一定的 代表性.
【例21】在边长为a、b、c并且各边所对的内角为?、?、?的?ABC内有点P和Q，使得?BPC?
?CPA??APB?120?，?BQC?60???，?CQA?60???，?AQB?60???.求证(AP?BP?
CP)3?AQ?BQ?CQ?(abc)2.
【解析】 设?CBD是经过?ABC的边BC向外构造的等边三角形，又设E是使?BDE和?BCP全等且相同取向的点，如图所示.
因为|BP|?|BE|，且?PBE?60?，所以，?BEP是等边三角形.
由?APB??BPE?120??60??180?和?PEB??BED?60??120??180?知A、BP、E、D四点共线.从而，AP?BP?CP ?AP?PE?ED?AD ① 令R是?ABC内的一点，且使得?ARC∽?ABD，所图所示.则
?RAC??BAD?a，?RCA??BDA??BCP??，
APECARAC?ABAD， ②
cBADbRC且?ARC??ABD?60???. 因为?RAB??CAD，， ?ABAD故?ABR∽?ADC，?ARB??ACD?60???.
由?ARB?60?????AQB和?ARC?60?????AQC，得R?Q(换言之，应用有关圆周角的定理，点Q在?ABR和?ARC的外接圆上). 应用式①、②和R?Q，得
，即(AP?BP?CP)?AQ?bc.
bAP?BP?CP类似地，可得(AP?BP?CP)?BQ?ca，(AP?BP?CP)?CQ?ab.
?AQcARACD三式相乘，得(AP?BP?CP)3?AQ?BQ?CQ?(abc)2
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【例22】若14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2，求a:b:c.
【解析】将14(a2?b2?c2)?(a?2b?3c)2展开可得13a2?10b2?5c2?4ab?12bc?6ca?0，
即(4a2?4ab?b2)?(9a2?6ca?c2)?(9b2?12bc?4c2)?0，
(2a?b)2?(3a?c)2?(3b?2c)2?0，
故2a?b?3a?c?3b?2c?0，进而a∶∶bc?1∶2∶3.
【例23】已知实数x、y、z满足x?y?5、z2?xy?y?9，求x?2y?3z的值. 【解析】由两个完全平方公式得ab?从而z2?11?(a?b)2?(a?b)2???， 4251222222????y?6y?9??(y?6y?9)??(y?3). 5?(x?y)?y?9??(5?2y)?y?9?4?44因为z2?(y?3)2?0，故z?0，y?3，则x?2，从而x?2y?3z?2?2?3?0?8.
【例24】已知a?b?c?9、a2?b2?c2?27，求a2007?b2007?c2007的值.
【解析】a?b?c?9?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?81，a2?b2?c2?27，故ab?bc?ca?27.
而(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?2(a2?b2?c2?ab?bc?ca)?0， 从而可知a?b?c?3，故a2007?b2007?c2007?32008.
【例25】如果三个数a、b、c满足a2?b2?c2?9，求(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2的最大值. 【解析】(a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?2(a2?b2?c2?ab?bc?ca)?18?2(ab?bc?ca)
由(a?b?c)2?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?9?2ab?2bc?2ca可知
22?(a?b?c)?9?27?(a?b?c)?27 (a?b)2?(b?c)2?(c?a)2?18???? 当且仅当a?b?c?0时等号成立.
【例26】当a?b?c?0，a2?b2?c2?1时，试求下列各式的值：
(1)a2b2?b2c2?c2a2. (2)a4?b4?c4.
【解析】(1) a?b?c?0?a2?b2?c2?2ab?2bc?2ca?0，
而a2?b2?c2?1，故2ab?2bc?2ca??1?ab?bc?ca??，
21 从而a2b2?b2c2?c2a2?2ab2c?2abc2?2a2bc?14.
14 又因为2ab2c?2abc2?2a2bc?2abc(a?b?c)?0，故a2b2?b2c2?c2a2?(2) a2?b2?c2?1?a4?b4?c4?2a2b2?2b2c2?2c2a2?1，
又因为a2b2?b2c2?c2a2?
14.
，故a4?b4?c4?12.
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