(2)用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对(1)的选择方案，求X的分布列和数学期望．
课标理数20.K4，K6[2011·陕西卷] 【解答】 (1)Ai表示事件“甲选择路径Li时，40分钟内赶到火车站”，
Bi表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i＝1,2. 用频率估计相应的概率可得
P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， ∵P(A1)＞P(A2)，∴甲应选择L1；
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， ∵P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2.
(2)A，B分别表示针对(1)的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站， 由(1)知P(A)＝0.6，P(B)＝0.9，又由题意知，A，B独立，
∴P(X＝0)＝P(A B)＝P(A)P(B)＝0.4×0.1＝0.04， P(X＝1)＝P(AB＋AB)＝P(A)P(B)＋P(A)P(B)
＝0.4×0.9＋0.6×0.1＝0.42，
P(X＝2)＝P(AB)＝P(A)P(B)＝0.6×0.9＝0.54. ∴X的分布列为
X,0,1,2P,0.04,0.42,0.54∴EX＝0×0.04＋1×0.42＋2×0.54＝1.5.
课标文数20.K1[2011·陕西卷] 如图1－13，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到达火车站的人进行调查，调查结果如下：
所用时间(分钟),10～20,20～30,30～40,40～50,50～60选择L1的人数,6,12,18,12,12选择L2的人数,0,4,16,16,4
图1－13
(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率； ．．
(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；
(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．
课标文数20.K1[2011·陕西卷] 【解答】 (1)由已知共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44人，
用频率估计相应的概率为0.44.
(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得频率为：
所用时间(分钟),10～20,20～30,30～40,40～50,50～60L1的频率,0.1,0.2,0.3,0.2,0.2L2的频率,0,0.1,0.4,0.4,0.1(3)A1、A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；
B1、B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站． 由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6， P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5， P(A1)＞P(A2)， ∴甲应选择L1.
P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8. P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9， P(B2)＞P(B1)． ∴乙应选择L2.
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大纲文数19.K4，K5[2011·全国卷] 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3.设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)求该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买的概率． 大纲文数19.K4，K5[2011·全国卷] 【解答】 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；[来源:学.科.网]
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买；
E表示事件：该地的3位车主中恰有1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
2
P(E)＝C13×0.2×0.8＝0.384.
课标理数12.K5[2011·湖北卷] 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
28C227
课标理数12.K5[2011·湖北卷] 【解析】 所取2瓶全没有过保质期的概率为2＝145C30
11711728，所以至少取到1瓶已过保质期的概率为1－＝. 145145145
课标文数13.K5[2011·湖北卷] 在30瓶饮料中，有3瓶已过了保质期，从这30瓶饮料中任取2瓶，则至少取到1瓶已过保质期饮料的概率为________．(结果用最简分数表示)
28C227课标文数13.K5[2011·湖北卷] 【解析】 所取2瓶全没有过保质期的概率为2＝145C30
11711728，所以至少取到1瓶已过保质期的概率为1－＝. 145145145
大纲理数18.K5、K6[2011·四川卷] 本着健康、低碳的生活理念，租自行车骑游的人越来越多，某自行车租车点的收费标准是每车每次租车时间不超过两小时免费，超过两小时的部分每小时收费2元(不足1小时的部分按1小时计算)．有甲、乙两人相互独立来该租车点
11
租车骑游(各租一车一次)．设甲、乙不超过两小时还车的概率分别为，；两小时以上且不
42
11
超过三小时还车的概率分别为，；两人租车时间都不会超过四小时．
24
(1)求甲、乙两人所付的租车费用相同的概率；
(2)设甲、乙两人所付的租车费用之和为随机变量ξ，求ξ的分布列及数学期望Eξ. 大纲理数18.K5、K6[2011·四川卷] 【解答】 (1)由题意得，甲、乙在三小时以上且不
11
超过四小时还车的概率分别为，.
44
记甲、乙两人所付的租车费用相同为事件A，则
1111115P(A)＝×＋×＋×＝. 42244416
5
答：甲、乙两人所付的租车费用相同的概率为.
16
(2)ξ可能取的值有0,2,4,6,8，
111
P(ξ＝0)＝×＝；
428
11115
P(ξ＝2)＝×＋×＝；
442216
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1111115
P(ξ＝4)＝×＋×＋×＝；
2442441611113
P(ξ＝6)＝×＋×＝；
244416111
P(ξ＝8)＝×＝. 4416
甲、乙两人所付的租车费用之和ξ的分布列为
15531155317
ξ,0,2,4,6,8P,,,,,所以Eξ＝0×＋2×＋4×＋6×＋8×＝. 8161616168161616162
大纲理数13.K5[2011·重庆卷] 将一枚均匀的硬币抛掷6次，则正面出现的次数比反面出现的次数多的概率为________．
11
大纲理数13.K5[2011·重庆卷] 【解析】 将一枚均匀的硬币投掷6次，可视作6次
32
独立重复试验．
正面出现的次数比反面出现的次数多的情况就是出现了4次、5次、6次正面，所以所
1?4?1?2115?1?5?1?6?1?6?求概率为C4＋C＋C＝6262???2????2?6?2?32.
课标理数20.K6，K7[2011·安徽卷]
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．
(1)如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX；
(3)假定1>p1>p2>p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小．
课标理数20.K6，K7[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识．
【解答】 (1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于
1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝p1＋p2＋p3－p1p2－p2p3－p3p1＋p1p2p3.
(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量X的分布列为
X,1,2,3P,q1,(1－q1)q2,(1－q1)(1－q2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是 EX＝q1＋2(1－q1)q2＋3(1－q1)(1－q2) ＝3－2q1－q2＋q1q2.
(3)(方法一)由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， EX＝3－2p1－p2＋p1p2.
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1，q2，q3，都有 3－2q1－q2＋q1q2≥3－2p1－p2＋p1p2，(*) 事实上，
Δ＝(3－2q1－q2＋q1q2)－(3－2p1－p2＋p1p2) ＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－p1p2＋q1q2
＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－(p1－q1)p2－q1(p2－q2) ＝(2－p2)(p1－q1)＋(1－q1)(p2－q2)
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≥(1－q1) [(p1＋p2)－(q1＋q2)] ≥0.
即(*)成立．
(方法二)(i)可将(2)中所求的EX改写为3－(q1＋q2)＋q1q2－q1，若交换前两人的派出顺序，则变为3－(q1＋q2)＋q1q2－q2，由此可见，当q2＞q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值．
(ii)也可将(2)中所求的EX改写为3－2q1－(1－q1)q2，若交换后两人的派出顺序，则变为3－2q1－(1－q1)q3，由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3>q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值．
综合(i)(ii)可知，当(q1，q2，q3)＝(p1，p2，p3)时，EX达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的．
课标理数17.I2，K6，K8[2011·北京卷] 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
甲组,,乙组9,9,0,X,8,9
1,1,1,0图1－8
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．
1
(注：方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平
n
均数)
课标理数17.I2，K6，K8[2011·北京卷] 【解答】 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组
8＋8＋9＋1035
同学的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为x＝＝；
44
1?35?2?35?2?35?2
8－8－9－方差为s2＝?4?＋?4?＋?4?＋ 4??
?10－35?2?＝11. 4??16?
(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10.
分别从甲、乙两组中随机选取1名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.
事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以
21
该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝，
168
11
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；
44
11
P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
48
所以随机变量Y的分布列为：
11111
Y,17,18,19,20,21P,,,,,EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y
84448
＝20)＋21×P(Y＝21)
11111＝17×＋18×＋19×＋20×＋21× 84448＝19.
大纲理数18.K4，K6[2011·全国卷] 根据以往统计资料，某地车主购买甲种保险的概率为0.5，购买乙种保险但不购买甲种保险的概率为0.3，设各车主购买保险相互独立．
(1)求该地1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种的概率；
(2)X表示该地的100位车主中，甲、乙两种保险都不购买的车主数，求X的期望．
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大纲理数18.K4，K6[2011·全国卷] 【解答】 记A表示事件：该地的1位车主购买甲种保险；
B表示事件：该地的1位车主购买乙种保险但不购买甲种保险； C表示事件：该地的1位车主至少购买甲、乙两种保险中的1种； D表示事件：该地的1位车主甲、乙两种保险都不购买． (1)P(A)＝0.5，P(B)＝0.3，C＝A＋B， P(C)＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝0.8.
(2)D＝C，P(D)＝1－P(C)＝1－0.8＝0.2，
X～B(100,0.2)，即X服从二项分布， 所以期望EX＝100×0.2＝20.
课标理数19.K6，K8[2011·福建卷] 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，?，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X1,5,6,7,8P,0.4,a,b,0.1且X1的数学期望EX1＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
产品的等级系数的数学期望
注：(1)产品的“性价比”＝；
产品的零售价
(2)“性价比”大的产品更具可购买性． 课标理数19.K6，K8[2011·福建卷] 【解答】 (1)因为EX1＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.
又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1， 即a＋b＝0.5. ???6a＋7b＝3.2，?a＝0.3，?由解得? ???a＋b＝0.5?b＝0.2.
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2,3,4,5,6,7,8f,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2,3,4,5,6,7,8P,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1所以EX2＝3P(X2＝3)＋4P(X2＝4)＋5P(X2＝5)＋6P(X2＝6)＋7P(X2＝7)＋8P(X2＝8)
＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1 ＝4.8.
即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
6
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 ＝1.
64.8
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为＝1.2.
4
据此，乙厂的产品更具可购买性．
课标理数18.K4，K6[2011·湖南卷] 某商店试销某种商品20天，获得如下数据：
日销售量(件),0,1,2,3频数,1,5,9,5试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天
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