2111－?(1－p)2＝，∴p＝. 【解析】 ∵P(X＝0)＝??3?122
21?21?1?21
∴P(X＝1)＝×?＋××2＝，
3?2?3?2?321?21?1?25
P(X＝2)＝×?×2＋×＝，
3?2?3?2?1221?21
P(X＝3)＝×?＝，
3?2?611515
∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.
1231263
大纲理数17.K6[2011·重庆卷] 某市公租房的房源位于A、B、C三个片区，设每位申请人只申请其中一个片区的房源，且申请其中任一个片区的房源是等可能的，求该市的任4位申请人中：
(1)恰有2人申请A片区房源的概率；
(2)申请的房源所在片区的个数ξ的分布列与期望． 大纲理数17.K6[2011·重庆卷] 【解答】 这是等可能性事件的概率计算问题． (1)解法一：所有可能的申请方式有34种，恰有2人申请A片区房源的申请方式有C2224·
C22284·
种，从而恰有2人申请A片区房源的概率为4＝.
327
解法二：设对每位申请人的观察为一次试验，这是4次独立重复试验，记“申请A片
1
区房源”为事件A，则P(A)＝. 3
从而，由独立重复试验中事件A恰发生k次的概率计算公式知，恰有2人申请A片区
82?1?2?2?2
房源的概率为P4(2)＝C4＝?3??3?27. 31
(2)ξ的所有可能值为1,2,3.又P(ξ＝1)＝4＝，
327
21322
C3?C2C4＋C4C2?14
P(ξ＝2)＝＝
342724
－2?14??或P?ξ＝2?＝C3?24＝， 327??
3121
C24C3C4C24?4A3P(ξ＝3)＝＝?或P?ξ＝3?＝34＝9?4?. 39
综上知，ξ有分布列
1144114465
ξ,1,2,3P,,,从而有Eξ＝1×＋2×＋3×＝. 272792727927
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课标理数20.K6，K7[2011·安徽卷]
工作人员需进入核电站完成某项具有高辐射危险的任务，每次只派一个人进去，且每个人只派一次，工作时间不超过10分钟，如果有一个人10分钟内不能完成任务则撤出，再派下一个人．现在一共只有甲、乙、丙三个人可派，他们各自能完成任务的概率分别p1，p2，p3，假设p1，p2，p3互不相等，且假定各人能否完成任务的事件相互独立．
(1)如果按甲在先，乙次之，丙最后的顺序派人，求任务能被完成的概率．若改变三个人被派出的先后顺序，任务能被完成的概率是否发生变化？
(2)若按某指定顺序派人，这三个人各自能完成任务的概率依次为q1，q2，q3，其中q1，q2，q3是p1，p2，p3的一个排列，求所需派出人员数目X的分布列和均值(数学期望)EX；
(3)假定1>p1>p2>p3，试分析以怎样的先后顺序派出人员，可使所需派出的人员数目的均值(数学期望)达到最小．
课标理数20.K6，K7[2011·安徽卷] 【解析】 本题考查相互独立事件的概率计算，考查离散型随机变量及其分布列、均值等基本知识，考查在复杂情境下处理问题的能力以及抽象概括能力、合情推理与演绎推理，分类讨论思想，应用意识与创新意识．
【解答】 (1)无论以怎样的顺序派出人员，任务不能被完成的概率都是(1－p1)(1－p2)(1－p3)，所以任务能被完成的概率与三个人被派出的先后顺序无关，并等于
1－(1－p1)(1－p2)(1－p3)＝p1＋p2＋p3－p1p2－p2p3－p3p1＋p1p2p3.
(2)当依次派出的三个人各自完成任务的概率分别为q1，q2，q3时，随机变量X的分布列为[来源:Zxxk.Com]
X,1,2,3P,q1,(1－q1)q2,(1－q1)(1－q2)所需派出的人员数目的均值(数学期望)EX是 EX＝q1＋2(1－q1)q2＋3(1－q1)(1－q2) ＝3－2q1－q2＋q1q2.
(3)(方法一)由(2)的结论知，当以甲最先、乙次之、丙最后的顺序派人时， EX＝3－2p1－p2＋p1p2.
根据常理，优先派出完成任务概率大的人，可减少所需派出的人员数目的均值． 下面证明：对于p1，p2，p3的任意排列q1，q2，q3，都有 3－2q1－q2＋q1q2≥3－2p1－p2＋p1p2，(*) 事实上，
Δ＝(3－2q1－q2＋q1q2)－(3－2p1－p2＋p1p2) ＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－p1p2＋q1q2
＝2(p1－q1)＋(p2－q2)－(p1－q1)p2－q1(p2－q2) ＝(2－p2)(p1－q1)＋(1－q1)(p2－q2) ≥(1－q1) [(p1＋p2)－(q1＋q2)] ≥0.
即(*)成立．
(方法二)(i)可将(2)中所求的EX改写为3－(q1＋q2)＋q1q2－q1，若交换前两人的派出顺序，则变为3－(q1＋q2)＋q1q2－q2，由此可见，当q2＞q1时，交换前两人的派出顺序可减小均值．
(ii)也可将(2)中所求的EX改写为3－2q1－(1－q1)q2，若交换后两人的派出顺序，则变为3－2q1－(1－q1)q3，由此可见，若保持第一个派出的人选不变，当q3>q2时，交换后两人的派出顺序也可减小均值．
综合(i)(ii)可知，当(q1，q2，q3)＝(p1，p2，p3)时，EX达到最小，即完成任务概率大的人优先派出，可减小所需派出人员数目的均值，这一结论是合乎常理的．
课标理数6.K7[2011·广东卷] 甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为( )
1323A. B. C. D. 2534课标理数6.K7[2011·广东卷] D 【解析】 根据互斥事件概率与独立事件概率得：第一
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1??1?11
局甲就胜了，概率为；另一种情况为第一局甲输了，第二局甲胜了，概率为??2?×?2?＝4，2
113
所以甲胜的概率为＋＝. 244
课标理数7.K7[2011·湖北卷] 如图1－1，用K、A1、A2三类不同的元件连接成一个系统，当K正常工作且A1、A2至少有一个正常工作时，系统正常工作．已知K、A1、A2正常工作的概率依次为0.9、0.8、0.8，则系统正常工作的概率为( )
KA1A2
图1－1 A．0.960 B．0.864 C．0.720 D．0.576 课标理数7.K7[2011·湖北卷] B 【解析】 解法1：由题意知K，A1，A2正常工作时的概率分别为P(K)＝0.9，P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.8，又K，A1，A2相互独立，所以A1，A2至少
)＋P(AA)＝(1－0.8)×0.8＋0.8×(1－0.8)
＋0.8×0.8＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)[P(AA)＋P(AA)＋P(AA)]＝
有一个正常工作的概率为P
1
2
1
(AA)＋P(A
A2
12
121212
0.9×0.96＝0.864.
解法2：因为A1，A2至少有一个正常工作的概率为1－P
(1－0.8)＝0.96，所以系统正常工作的概率为P(K)
[1－P(A
1
(A A)＝1－(1－0.8)A)]＝0.9×0.96＝0.864.
1
2
2
课标理数5.K7[2011·辽宁卷] 从1,2,3,4,5中任取2个不同的数，事件A＝“取到的2个数之和为偶数”，事件B＝“取到的2个数均为偶数”，则P(B|A)＝( )
1121A. B. C. D. 8452课标理数5.K7[2011·辽宁卷] B 【解析】 由于n(A)＝1＋C2n(AB)＝1，所以P(B|A)3＝4，n?AB?1＝＝，故选B. n?A?4
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课标理数17.I2，K6，K8[2011·北京卷] 以下茎叶图记录了甲、乙两组各四名同学的植树棵数，乙组记录中有一个数据模糊，无法确认，在图中以X表示．
甲组,,乙组9,9,0,X,8,9
1,1,1,0图1－8
(1)如果X＝8，求乙组同学植树棵数的平均数和方差；
(2)如果X＝9，分别从甲，乙两组中随机选取一名同学，求这两名同学的植树总棵数Y的分布列和数学期望．
1
(注：方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，其中x为x1，x2，?，xn的平
n
均数)
课标理数17.I2，K6，K8[2011·北京卷] 【解答】 (1)当X＝8时，由茎叶图可知，乙组
8＋8＋9＋1035
同学的植树棵数是：8,8,9,10.所以平均数为x＝＝；
44
1?35?2?35?2?35?2
8－8－9－方差为s2＝?4?＋?4?＋?4?＋ 4??
?10－35?2?＝11. 4??16?
(2)当X＝9时，由茎叶图可知，甲组同学的植树棵树是：9,9,11,11；乙组同学的植树棵数是：9,8,9,10.
分别从甲、乙两组中随机选取1名同学，共有4×4＝16种可能的结果，这两名同学植树总棵数Y的可能取值为17,18,19,20,21.
事件“Y＝17”等价于“甲组选出的同学植树9棵，乙组选出的同学植树8棵”，所以
21
该事件有2种可能的结果，因此P(Y＝17)＝＝，
168
11
同理可得P(Y＝18)＝；P(Y＝19)＝；
44
11
P(Y＝20)＝；P(Y＝21)＝.
48
所以随机变量Y的分布列为：
11111
Y,17,18,19,20,21P,,,,,EY＝17×P(Y＝17)＋18×P(Y＝18)＋19×P(Y＝19)＋20×P(Y
84448
＝20)＋21×P(Y＝21)
11111＝17×＋18×＋19×＋20×＋21× 84448＝19.
课标理数19.K6，K8[2011·福建卷] 某产品按行业生产标准分成8个等级，等级系数X依次为1,2，?，8，其中X≥5为标准A，X≥3为标准B.已知甲厂执行标准A生产该产品，产品的零售价为6元/件；乙厂执行标准B生产该产品，产品的零售价为4元/件．假定甲、乙两厂的产品都符合相应的执行标准．
(1)已知甲厂产品的等级系数X1的概率分布列如下所示：X1,5,6,7,8P,0.4,a,b,0.1且X1的数学期望EX1＝6，求a，b的值；
(2)为分析乙厂产品的等级系数X2，从该厂生产的产品中随机抽取30件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下：
3 5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7
用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求等级系数X2的数学期望． (3)在(1)、(2)的条件下，若以“性价比”为判断标准，则哪个工厂的产品更具可购买性？说明理由．
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产品的等级系数的数学期望
；
产品的零售价
(2)“性价比”大的产品更具可购买性． 课标理数19.K6，K8[2011·福建卷] 【解答】 (1)因为EX1＝6，所以5×0.4＋6a＋7b＋8×0.1＝6，即6a＋7b＝3.2.
又由X1的概率分布列得0.4＋a＋b＋0.1＝1， 即a＋b＝0.5. ???6a＋7b＝3.2，?a＝0.3，?由解得? ?a＋b＝0.5?b＝0.2.??
(2)由已知得，样本的频率分布表如下：X2,3,4,5,6,7,8f,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，可得等级系数X2的概率分布列如下：X2,3,4,5,6,7,8P,0.3,0.2,0.2,0.1,0.1,0.1所以EX2＝3P(X2＝3)＋4P(X2＝4)＋5P(X2＝5)＋6P(X2＝6)＋7P(X2＝7)＋8P(X2＝8)
＝3×0.3＋4×0.2＋5×0.2＋6×0.1＋7×0.1＋8×0.1 ＝4.8.
即乙厂产品的等级系数X2的数学期望等于4.8. (3)乙厂的产品更具可购买性，理由如下：
6
因为甲厂产品的等级系数的数学期望等于6，价格为6元/件，所以其性价比为 ＝1.
64.8
因为乙厂产品的等级系数的数学期望等于4.8，价格为4元/件，所以其性价比为＝1.2.
4
据此，乙厂的产品更具可购买性． 课标理数19.K8，K6[2011·辽宁卷]
某农场计划种植某种新作物，为此对这种作物的两个品种(分别称为品种甲和品种乙)进行田间试验．选取两大块地，每大块地分成n小块地，在总共2n小块地中，随机选n小块地种植品种甲，另外n小块地种植品种乙．
(1)假设n＝4，在第一大块地中，种植品种甲的小块地的数目记为X，求X的分布列和数学期望；
(2)试验时每大块地分成8小块，即n＝8，试验结束后得到品种甲和品种乙在各小块地上的每公顷产量(单位：kg/hm2)如下表：
品种甲,403,397,390,404,388,400,412,406品种乙,419,403,412,418,408,423,400,413分别求品种甲和品种乙的每公顷产量的样本平均数和样本方差；根据试验结果，你认为应该种植哪一品种？
1－
附：样本数据x1，x2，?，xn的样本方差s2＝[(x1－x)2＋(x2－x)2＋?＋(xn－x)2]，
n
注：(1)产品的“性价比”＝
其中x为样本平均数．
课标理数19.K8，K6[2011·辽宁卷] 【解答】 (1)X可能的取值为0,1,2,3,4，且
11
P(X＝0)＝4＝，
C870
3C184C4P(X＝1)＝4＝，
C8352C24C418
P(X＝2)＝4＝，
C8351C384C4P(X＝3)＝4＝，
C83511
P(X＝4)＝4＝.
C870
即X的分布列为
181881
X,0,1,2,3,4P,,,,,X的数学期望为
7035353570
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