2008—2009学年第2学期
高等数学AⅡ试题（A1）卷
一、 1、级数
单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分
?(?1)n?1?n1n12
A.收敛性不能确定 B. 发散 C.绝对收敛 D 条件收敛 答( D )
(?1)nxn2、幂级数?的收敛域为
nn?1?A．[?1,1) B．(?1,1] C．(?1,1) D．[?1,1] 答 ( B ) 3、对于微分方程y???5y??6y?xe2x,利用待定系数法求其特解y时,下列特解解法正确的是
A．y=x2(Ax?B)e2x B．
C．y=Axe4、下列
答（ A ） A ，y???yy??2y?x
5、下列级数中,收敛级数是 答( B )
?5n2n2A ?tan B ? C ?; D 34nn!100?nn?1n?0n?0??y?=x(Ax?B)e2x
?2x D．y=(Ax?B)e2x 答( B ) 程
中
哪
个
方
程
为
线
性
微
分
方
?方程
222y??2y?ex B，y???y??3xy?cosy C，(y?)?xy??x D，xx????sinn?1?n? 66、 下列微分方程中为全微分方程的是 答( A ).
yyA edx?xe?2ydy?0 B (x?y)dy?ylnydx?0
??22?0C x?ydx?xydy?0 D ydx?xdy
??
7、设积分区域D1?x?y?9,是圆环：，则二重积分A
22??Dx2?y2dxdy为 答( A )
4?2?0d??r2dr B ．?d??r2dr C ．?d??rdr D．
132?42?0101?2?0d??41dr
sin?na?8、设a为常数，则级数? 答( C ). 2nn?1? A 发散 B 敛散性与a的值有关.
C 绝对收敛 D 条件收敛
二、填空题（(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分) 1、设f(x,y,z)?ln(xy?z)，则df(1,2,0)= 2、设f(x,y)?sin2xcosy，则fx(0
?2,?)= ______________.2
y1?2u3、设u?xy?，则=________________.1?2
xx?x?y4、已知级数
?un的前n项部分和sn?n?1?3n?n?1,2,...?,则此级数的通项n?1un? . ?3
n?n?1??5、设幂级数
?an?0nx的收敛半径是4，则幂级数?anx2n的收敛半径是 .2
nn?0?6、常数项级数?(1?1)是（填收敛或发散）级数 ．收敛
nn2n?12?17、设函数f(x)??x?x,(???x??)的傅里叶级数为a0??(ancosnx?bnsinnx)，
2n?12则系数b3的值为 。2? 38、微分方程y???2y??y?0的通解为_______________(c1?c2x)e?x
三、（本题6分) 设z?ax2?2bxy?cy2，求
?z?z,. ?x?y?z?2ax?2by ?x（5分）
?z?2bx?2cy ?y
（10分）
四、（本题6分) 设周期函数f(x)的周期为2?? 证明 如果f(x??)??f(x)? 则f(x)的傅里叶系数a0?0? 解 因为 a0?1?????f(x)dx 令t???x 1?2??0f(t??)dx??1?2??0f(t)dt??a0?
所以a0?0? 因为 a?x2k?1????f(x)cos2kxdx 令t??? 1?2??0f(t??)cos2k(t??)dx
??12???0f(t)cos2ktdt??a2k?
所以a2k?0?
同理b2k?0(k?1? 2? ? ? ?)? 五、（本题6分) 求微分方程y'?1xy?x2?0的通解. y'?1y?x2x ?11 y?exdx(?x2e??xdxdx?c) （6分）
=
12x3?cx （10分） ?六、（本题6分) 求函数项级数?xn?1n?1n的和函数
解：先求收敛半径r?1，得收敛域[?1,1) （3 分）
?xn?1设s(x)??，
n?1n?xn?1s(x)??,xs?(x)?????xn?????x?xn?1?x,s(x)??xln1?n?1n?n?1n?n?11?xx
七、（本题6分）计算
???(2z?y)dxdy?(y?x)dxdz?(x?z)dzdy，?其中曲面∑为柱面x2?y2?R2，及平面z?0,z?2所围成的外侧。
解：令P?x?z,Q?y?x,R?2z?y （3 分）
由高斯公式，原积分＝???(?Pv?x??Q?y??R?z)＝???4dv?4?R22?8?R2 v
x?1 （10分）
（10 分）
八、（本题6分) 求
x2?y2?1??(1?x2?y2?1)dxdy
九、 (本题6分) 设z?dzx,x?ct,y?lnt，求(c为常数）.
dty
（4分）
?x1?dz1??c???2?? dty?yt??cccc?? 或lnt(lnt)2yy2
（10分）
十、 (本题6分) 求曲线x?3t2?t3,y?t?t3,z?2t2?4t在t?1处的切线方程.
t?1对应点(4,0,?2)
对应的切线方向向量
（3分）
S??9,?2,0?
（7分）
切线方程
x?4yz?2?? 9?20x?4y???或 ?9 ?2
??z??2
（10分）
十一、 (本题6分) 求曲线积分
y2x2?2?1的正向一周.?2ab??(y?x)dx?(x?y)dy的值，其中
LL是椭圆
十二、 (本题6分)(1)普通班同学做
求极限lim1n??n?n1(1?1)k2k?14kk?
n 解 显然s11k2?112n??k(1?)是级数k?14k?n?14n(1?n)n的前n项部分和?
因为limn14n(1?1n)n2n???lim11nen??4(1?n)?4?1? 所以由根值审敛法? 级数??1(1?1)n2收敛? 从而部分和数列{sn}收敛? n?14nn 因此lim1n 11k21n??n?k?14k(1?k)?limn??n?sn?0?
1111（2）
试验班同学做lim[23?49?827? ? ? (2nnn??)3]?
11111 解
23?49?827? ? ? (2n)3n?23?29?327? ? ? ? ?n3n?
显然sn?13?29?327? ? ? ? ?n?n3n是级数?n的前n项部分和?
n?13? 设S(x)??nxn?1? 则S(x)?[x?n?1?0S(x)dx]??[?xn]??[1n?11?x?1]??1(1?x)2? ? 因为?n1?111113?3? 所以lims?3? 从而
n?1n?3?n()n?1?S()??n?13333(1?13)24n??n411113 lim[23?49?827? ? ? (2n)3n]?nlim??2snn???24?
2008—2009学年第2学期
高等数学BⅡ试题（A1）卷
二、 单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分
1、级数
??(?1)n11
n?1n2 A.收敛性不能确定 B. 发散 C.绝对收敛 D 条件收敛 答( ?、幂级数?(?1)nxn2的收敛域为
n?1nD )