A．[?1,1) B．(?1,1] C．(?1,1) D．[?1,1] 答 ( B ) 3、对于微分方程y???5y??6y?xe2x,利用待定系数法求其特解y时,下列特解解法正确的是
A．y=x2(Ax?B)e2x B．
C．y=Axe?2x??y?=x(Ax?B)e2x
D．y=(Ax?B)e2x 答( B )
?4、下列方程中哪个方程为线性微分方程 答（ A ）
22 A ，y???y??2y?ex B，y???y??3xy?cosy C，(y?)2?xy??x D，
xxyy??2y?x
5、下列级数中,收敛级数是 答( B )
?5n2n2A ?tan B ? C ?; D 34nn?1n?0n!n?0100?n????sinn?1?n? 6?xy,(x,y)?(0,0)?226、函数f(x,y)??x?y在点(0,0)处 答（ C ）
?0,(x,y)?(0,0)? (A) 连续，偏导数存在； (B) 连续，偏导数不存在；
（C）不连续，但偏导数存在； （D）不连续，偏导数不存在。 7、设积分区域D1?x?y?9,是圆环：，则二重积分A
22??Dx2?y2dxdy为 答( A )
4?2?0d??r2dr B ．?d??r2dr C ．?d??rdr D．
132?42?0101?2?0d??41dr
8、设a为常数，则级数
sin?na? 答( C ). ?2nn?1? A 发散 B 敛散性与a的值有关.
C 绝对收敛 D 条件收敛
二、填空题（(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分) 1、设f(x,y,z)?ln(xy?z)，则df(1,2,0)= 2、设f(x,y)?sin2xcosy，则fx(0 ?2,?)= ______________.2
y1?2u3、设u?xy?，则=________________.1?2
xx?x?y4、已知级数
?un的前n项部分和sn?n?1?3n,则此级数的通项n?1,2,...??n?1un? . ?3
n?n?1??5、设幂级数
?an?0nx的收敛半径是4，则幂级数?anx2n的收敛半径是 .2
nn?0?6、常数项级数?(1?1)是（填收敛或发散）级数 ．收敛
nn2n?127、由二重积分的几何意义得到
x2?y2?2??d?= 。2?
8、微分方程y???2y??y?0的通解为_______________(c1?c2x)e?x
三、（本题6分) 设z?ax2?2bxy?cy2，求
?z?z,. ?x?y?z?2ax?2by ?x（5分）
?z?2bx?2cy ?y
四、（本题6分) 计算
1（10分）
?0dy?sinxdx yx11xsinxsinx?0dy?yxdx??0dx?0xdy?1?cos1 11
五、（本题6分) 求微分方程y? y?''1y?x2?0的通解. x1y?x2 x?xdx1 y?e(?x2e??xdx1dx?c) （6分）
=
13x?cx （10分） 2?xn?1六、（本题6分) 求函数项级数?的和函数
nn?1
解：先求收敛半径r?1，得收敛域[?1,1) （3 分）
xn?1设s(x)??，
nn?1????xn??xn?1x s(x)??,xs?(x)?????x?xn?1?,s(x)??xln1?x x?1 （10分）
?n?1n?n?1n?n?11?x
七、（本题6分）设w?f(x?y?z? xyz)? f具有二阶连续偏导数? 求?w?2w?x及?x?z?
解 令u?x?y?z? v?xyz ? 则w?f(u? v)?
引入记号? f?f(u,v)1???u? f12???f(u,v)?u?v? 同理有f2??f11???f22??等? ?w?x??f?u??u?x??f?v??v?x?f1??yzf2??
?2w?x?z???z(f1??yzf2?)??f1??z?yf2??yz?f2??z ?f11???xyf12???yf2??yzf21???xy2zf22?? ?f11???y(x?z)f12???yf2??xy2zf22??? 八、（本题6分) 求
2?1)dxdyx2???(1?x2?yy2?1九、 (本题6分) 设z?xdy,x?ct,y?lnt，求zdt(c为常数）.
dz?x1?dt?1y?c????y2?t??
（4分）
?clnt?cc(lnt)2或y?cy2 （10分）
十、 (本题6分) 求曲线x?3t2?t3,y?t?t3,z?2t2?4t在t?1处的切线方程.
t?1对应点(4,0,?2)
对应的切线方向向量
（3分）
S??9,?2,0?
（7分）
切线方程
x?4yz?2?? 9?20x?4y???或 ?9 ?2 ??z??2 （10分）
十一、 (本题6分) 求微分方程2y???y??y?2ex的通解?
解 微分方程的特征方程为 2r2?r?1?0?
1? r??1? 故对应的齐次方程的通解为 Y?Ce2x?Ce?x?
其根为r?2121
2
因为f(x)?2ex ? ??1不是特征方程的根? 故原方程的特解设为 y*?Aex? 代入原方程得
2Aex?Aex?Aex?2ex? 解得A?1? 从而y*?ex?
因此? 原方程的通解为
1xy?C1e2?C2e?x?ex?
1十二、 (本题6分)(1)普通班同学做
1n112求极限lim?k(1?)k?
n??nkk?14?11k2112 解 显然sn??k(1?)是级数?n(1?)n的前n项部分和?
knk?14n?14n 因为limnn???11n211ne(1?)?lim(1?)??1? 所以由根值审敛法? 级数
n??44nnn411n2(1?)收敛? 从而部分和数列{sn}收敛? ?n4nn?11n1121 因此lim?k(1?)k?lim?sn?0?
n??nn??nkk?14（2）
1111nn试验班同学做lim[23?49?827? ? ? (2)3]?
n??
解
1111n23?49?827? ? ? (2)3n1?2?3? ? ? ? ?n3n?23927?n123n? 显然sn???? ? ? ? ?n是级数?n39273n?13的前n项部分和?
设S(x)??nx?n?1?n?1? 则S(x)?[1?1]??1? n??S(x)dx]?[x]?[??01?x(1?x)2n?1x??n111111?3? 所以lims?3? 从而
因为?n??n()n?1?S()??n??n43n?13333(1?1)24n?1331111nlim[23?49?827? ? ? (2)3n]?lim2snn??n??3?24 ?
2009—2010学年第2学期
高等数学AⅡ试题（A1）卷
三、 1、级数
单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分
?(?1)nn?1?1的敛散性为( ) C 3n A. 敛散性不能确定 B. 发散 C.绝对收敛 D 条件收敛 2、对于微分方程y???4y??9y?3x?e2x,利用待定系数法求其特解y时,下列特解解法正确的是（ ） D
A．y?x(Ax?B)e B．y?x(Ax?B)e C．y?Axe3、改变
?22x?2x?2x? D． y?(Ax?B)e
?2x? 112 dy?1f(x,y)dx??dy?f(x,y)dx的积分次序，则下列结果正确的是（ ）A
y 1 y21x x 31 xx 2 2 2A.
?21dx?1f(x,y)dy B.?dx?x x1f(x,y)dyC.
?dx?1f(x,y)dy D.
? 113 dx?f(x,y)dy
1x x 4、下列方程中线性微分方程为 ( ) A
22A. B.C.(y?)2?xy??cos?x? y???y??xy?eysin(x)?y???y??2y?exxxD.y?y??2sin?y??x 5、函数
?f(x)?e?x2展开成x的幂级数为（ ） B
x2nA. ? B.
n?0n!6、
(?1)n?x2n C. ?n!n?0?xn D. ?n?0n!?(?1)n?xn ?n!n?0??un?1?n为正项级数，下列命题中错误的是（ ）C