??un?1un?1???1，则?un收敛。 B. 如果?1，则?un发散。 A. 如果limn??uunn?1nn?1??un?1un?1?1lim???1unun??n??uunn?1nC. 如果，则收敛。 D. 如果，则n?1发散。
7、设积分区域D为圆环1?x2?y2?4,则二重积分A.
??Dx2?y2dxdy为 ( ) B
? 2? 0d??r2dr B.? 1 4 2? 0d??r2dr C .? 1y 2 2? 0d??rdr D.? 1 4 2? 0d?? 4 1dr
8、设z?z?x,y?为由方程cosz?x所确定的隐函数，则
A.
?z=( ) B ?xycotzycotzycotyztanx； B. ； C. ； D. 。 z?x?xy
二、填空题（(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分)
1、曲线x?2t,y?t2,z?t4在点?2 ， 1 ， 1?的切向量T= 。(2,2,4)
??????2、设a?4,b?6,a与b的夹角为，则prjab= 33 6?1?y?2u113、设u?ln?，则=________________. ???22?x?y?x?y?x?x?y?x4、已知级数
?uk的通项uk?k?1?2,则此级数的前n?n?1,2,...?项部分和
k?k?1?sn? .
2n n?15、f(x)满足收敛的条件，其傅立叶级数的和函数为S?x?，已知f(x)在x?0处左连续，
f(x)= 。7 且f(0)??1,S(0)?3,则lim?x?06、由二重积分的几何意义得到
?x2?y2? 4??4?x2?y2d?? 。16?3
7、幂级数?1n?x?1?的收敛域为 。[0,2) n?1n28、设z?lnx?y,则dz??(1,0)= 。dx
三、（本题6分) 求函数f(x,y)?6x?x?2??4y?y?,x?0,y?0的极值?
2?fx(x,y)?(6?2x)(4y?y2 解方程组?)?0? 得???fy(x,y)?(6x?x2)(4?2y)?0?x?3?y?2?
?x?6?y?4?
因此驻点为(3? 2)? (6?4)? 函数的二阶偏导数为
fxx(x? y)??2(4y?y2)? fxy(x? y)?4(3?x)(2?y)? fyy(x? y)??2(6x?x2)?
在点(3? 2)处? fxx??8? fxy?0? fyy??18? AC?B2?8?18?0? 又A?0? 所以f(3? 2)?36是函数的极大值? 在点(6? 4)处? fxx?0? fxy?24? fyy?0? AC?B2??242 < 0? 所以f(6? 4)不是极值? 综上所述? 函数只有一个极值? 这个极值是极大值f(3? 2)?36?
1四、（本题6分) 计算
?et 0dy? 1 y t dt x? 1 1 e1xex 0dy? yx dx??0dx?0xdy2
解：??10exdx
4 ?e?16
五、（本题6分) 计算
?Lxydx? 其中L为抛物线y2?x上从点A(1? ?1)到点B(1? 1)的一段弧?
解：以y为积分变量? L的方程为x?y2? y从?1变到1? 因此
?12Lxydx???1y2y(y)?dy
2 ?2?1y44
?1dy
?46
5
六、（本题6分) 设函数?(x)，且满足?(x)?3x?2?? x x 0t?(t)dt?x? 0?(t)dt,求?(x)
xx解：两边同时求导得到：??(x)?3?x?(x)???(t)dt?x?(x)?3???(t)dt2 00??(0)?3,?(0)?2 继续求导：???(x)???(x) 4 解微分方程得到：r??i,
?(x)?C1cosx?C2sinx,??(x)??C1sinx?C2cosx, 代初值条件得：C1?2,C2?3 故：?(x)?2cosx?3sinx6
2
4 6
七、（本题6分）计算曲面积分的部分?
??xyzdxdy?? 其中?是球面x2?y2?z2?1外侧在x?0,y?0解：把有向曲面?分成以下两部分?
?1? z?1?x2?y2(x?0? y?0)的上侧? ?2? z??1?x2?y2(x?0? y?0)的下侧?
?1和?2在xOy面上的投影区域都是Dxy ? x2?y2?1(x?0? y?0)? 于是
??xyzdxdy???xyzdxdy???xyzdxdy ???xy??1?2Dxy1?x2?y2dxdy???xy(?1?x2?y2)dxdy
Dxy12? 222?2d?rsin?cos?1?rrdr ?2??xy1?x?ydxdy???0015D22?2
4 6
xy
八、（本题6分) 求函数z?x2y在点(1? 1)处沿从点(1? 1)到点(2, 2)的方向的方向导数 解 因为从点(1? 1)到点(2, 2)的向量为l?(1, 1)? 故
2
4 6
el?l22?(, )?(cos?, cos?)? |l|22?z?z?x2?1? ?2xy(1,1)?2? 1,1???y?x(1,1)?1,1?又因为
故所求方向导数为
?z?z?z2232?? ?co?s?co?s??2??1??l?x?y22222九、 (本题6分) 设z?u?v? 而 u?x?y，v?x?y,求
? z? z? ? ? x? y3 6
?z??z??u??z??v?2u?1－2v ?2(u－v)? 4y? ?x?u?x?v?x?z??z??u??z??v ?2u?1－2v?(?1)?2(u＋v)? 4x?
?y?u?y?v?y解
十、(本题6分) 求解微分方程：xy???解 令p?y?? 则原方程化为 x p??p?0? 即p??y??0,(x?0)
1p?0? x由一阶线性齐次方程的通解公式得
2 4
1
p?C?1e?xdx?C1e?lnx?C1x? 即 y??C1x? 于是 y??C1xdx?C1lnx?C2?
原方程的通解为
y?C1ln x?C2 ?
十一、 (本题
6分) 设L为点A
?b,0?到点
?0， ?0的上半圆周
x2?y2?b x (b?0, m 为常数)
求
? L(exsiny?m y) dx?(excosy?m) dy
解：令P?(exsiny?my),Q?(excosy?m)?(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy??(exsiny?my)dx?(excosy?m)dyLOA?(exsiny?my)dx?(excosy?m)dy????Q??P?
L???OA??D??x?y??dxdy???mdxdy??2D8mb
十二、 (本题6分)(1)普通班同学做
计算曲面z?2?x2?y2及z?x2?y2所围成的立体的体积
解：令：z?2?x2?y2?x2?y2得出z?1,x2?y2?12
采用柱面坐标：x?rcos?,y?rsin?,z?z
2?12?r2故有：V????dv?d? 4 ???rdr?dz00r ?56?6
（2） 试验班同学做 计算
??x3dydz?y3dzdx?z3dxdy? 其中?为球面x2?y2?z2?a2的外侧。 ?2 4 6
2
4 6
由高斯公式 原式?2??P??Q??R)dv?3(x2?y2?z2)dv (????x?y?z??????a ?3?0d??sin?d??r4dr
00?125?a? 52009—2010学年第2学期
高等数学BⅡ试题（A1）卷
一、
单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分
1、f(x,y)在一点的一阶偏导数存在是f(x,y)在该点连续的什么条件？
（A）充分 （B）必要 （C）充要 （D）既不是充分也不是必要 答【 D 】
x4
2、展开成x的幂级数是
1?x2
（A）
?(?1)n?2?nx（B）?x （C）?x （D）?(?1)nx2n 答
2n2n2nn?2n?1n?1???【 B 】
3、y?c1e?c2e是微分方程 的通解．
（A）y???3y??2y?0（B）y???2y??3y?0（C）y???3y??2y?0（D）y???y??0 答 【 C 】
4、设y1(x),y2(x)是某个非齐次线性微分方程的两个特解，则y1(x)?y2(x) (A)．是对应齐次方程的特解 (B)．是该非齐次方程的特解
(C)．是该非齐次方程的通解 (D)．既不是齐次方程也不是非齐次方程的解 答【 A 】
5、下列级数中不收敛的是
???113n?(?1)n（A）? （B）?n （C）? （D）?ln(1?1) 答n4nn?1n(n?2)n?13n?1n?1?x2x【 D 】
6、有且仅有一个间断点的函数是
yxnatcra（A）、 （B）、（C）、 （D）、e?xn(lx2?y2)
xx?yxy 答【 B 】