7、设D:(x?2)2?(y?1)2?1，I1?23，(x?y)dxdyI?(x?y)dxdy，则有 2????DD（A）I1?I2； (B) I1?I2； (C) I1?I2 ； （D）不能比较 答【 A 】 8、已知a?2,b???2，且a?b?2，则 a?b?
???? (A) 1 (B)
2 (C) 2 (D) 22 2答【 C 】
二、填空题(本大题分8小题, 每小题3分, 共24分) 1、设z?ln(3x?y2)，则dz=__________
32ydx?dy 223x?y3x?y2、设z?z(x,y)由lnz??xye?tdt?0确定，则
2?z?y2= ______________?ze ?y3、a?(1,2,3),b?(1,0,1)，使a??b与a??b垂直的负实数
????????= .?7
4、幂级数
1x?3n()的收敛域为 .[1,5) ?n2n?1??(?1)n?15、若级数?收敛，则p .?0 pnn?16、y???2y??5y?10的一个特解是 ．?2 7、由二重积分的几何意义得到
x22??d?= .6?
y232?1?28、y?ex是微分方程y???py??6y?0的一个特解，则另一个线性无关的特解
是 ．y?e
三、（本题6分) 求曲线x?tcost,y?tsint,z?t上对应于t?解：t?6x?点处的切线. 2???对应曲线上点(0,,) （2分） 222?? 该点处切线斜率为T?(xt?,yt?,zt?)t???(?,1,1) （4
22分）
所以切线方程为
x??2?y??2?z??2 （6分）
四、（本题6分) 画出积分区域D：
?2y?4?x2与x轴包围，并计算二重积分
??ydxdy.
D解：用极坐标I??0d???sin??d? （3分）
0??sin?d??0?20116?d???cos?0?3? （6分）
3032?2五、（本题6分) 求微分方程y??ycotx?sin2x的通解. 解：先解对应齐次方程y??ycotx?0
分离变量
dy?cotxdx?y?csinx （3分） y常数变易，令y?c(x)sinx，代入原方程c?(x)sinx?sin2x，得c(x)?2sinx?c （5分）
于是原方程通解为c(x)?(c?2sinx)sinx （6分）
3n?n!六、（本题6分) 判定数项级数?的敛散性. nnn?1?解：比值审敛法 limun?1n3?lim3(n?)? 1 （4分）
n??un??n?1en?z?z?b. ?x?y故发散. （6分） 七、（本题6分）已知F(x?az,y?bz)?0，求a 解：Fx?F1?，Fy?F2?，Fz??aF1??bF2? （3分） 所以
F1?F?z ??x=
?xFzaF1??bF2?FyF2??z （5分） ??=
?yFzaF1??bF2?故a?z?z?b?1 （6分） ?x?y八、（本题6分) 画出积分区域，交换该二次积分解：（图略）
?dx?122x?x22?xf(x,y)dy的积分次序.
（6分）
?dx?122x?x22?xf(x,y)dy=
??10dy??1?1?y22?yf(x,y)dx九、 (本题6分) 已知正项级数
??un?12n和
?vn?1n都收敛，证明级数
?uvn?1?nn是绝对收敛.
?
un2
解：?un收敛，则lim?0，故?un收敛，
n??un?1n?1n?同理，
?vn也收敛. （3分）
2n?1?un?vn而unvn?，由比较审敛法，?unvn收敛，
2n?1?22所以
?uvn?1nn绝对收敛. （6分）
十、 (本题6分) 已知曲线y?y(x)经过原点，且在原点处的切线与直线 2x?y?6?0平
行，而y(x)满足微分方程 y???2y??5y?0，求该曲线的方程. 解： 由题意，即解下列二阶齐线性微分方程初值问题
?y???2y??5y?0 （2分） ??y(0)?0,y(0)??2?2特征方程r?2r?5?0
特征根r1,2?1?2i
y?ex(c1cos2x?c2sin2x) （4分）
代入初值条件，得c1?0,c2??1
所以，曲线方程为y??esin2x （6分） 十一、 (本题6分) 已知z?z(x,y)由方程z?e解： 令F(x,y,z)?z?e2x?3z2x?3zx?siny确定，求全微分dz.
?siny
则Fx??2e2x?3z，Fy??cosy，Fz?1?3e2x?3z （3分）
Fy2e2x?3zcosyFx?z?z于是 ，= （5分） ????= 2x?3z2x?3z1?3e?xFz1?3e?yFz2e2x?3zcosydx所以dz?+dy （6分） 2x?3z2x?3z1?3e1?3e 也可以直接微分，利用微分形式不变性。
十二、 (本题6分)（1）普通班同学做：利用e的幂级数展开式求数项级数
x?n?1的和.
n?1n!?xn?1（2）试验班同学做：求函数项级数?的收敛域及和函数.
n?1n???11xn解：（1）e??，所以当x?1，有??e及??e?1 （2分）
n?0n!n?1n!n?0n!x???n?1?n?111?????2e?1 （6分） ?????n!n!n!(n?1)!n!n?1n?1n?1n?1n?1?
（2）由limn??an?1n?lim?1，收敛半径R?1,通过讨论端点x??1,1，知收敛域是n??ann?1[?1,1).
?xn?1xn设s(x)??，x?[?1,1),则xs(x)??，逐项求导
nnn?1n?1?x1?xn??1dx??ln(1?x) [xs(x)]??????,得xs(x)??01?x1?xn?1?n???1)1x)x?[?1,0???ln(?所以 s(x)??xx?0?1?
(0,1)
附赠一套（无答案），与前一套是二选一做为期末考试试卷的，我忘了是哪一套，听其他老师说是前面的。
2009—2010学年第2学期
高等数学BⅡ试题（A1）卷
一、
单项选择题(本大题分8小题, 每小题２分, 共16分
1、直线L：
x?3y?4z??与平面?：4x-2y-2z=3的关系是 答：（ ） ?2?73（A）平行 （B）垂直相交 （C）L在?上 （D）相交但不垂直
xy?2、函数f(x,y)???x2?y2?0?x2?y2?0x2?y2?0 ， 则下列哪个说法正确? 答：（ ）
(A) 处处连续(B) 处处有极限但不连续 (C) 仅在（0,0）点连续 (D) 除（0,0）点外处处连
续 3、f(x,y)在(x0,y0)处
?f?f、均存在是f(x,y)在(x0,y0)处连续的 条件.答：（ ） ?x?y（A）充分 （B）必要 （C）充分必要 （D）既不充分也不必要