离散型随机变量的均值与方差
一、考点、热点回顾
【学习目标】
1. 理解取有限个值的离散型随机变量的均值或期望的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出均值或期望，并能解决一些实际问题；
2. 理解取有限个值的离散型随机变量的方差、标准差的概念，会根据离散型随机变量的分布列求出方差或标准差，并能解决一些实际问题； 【要点梳理】
要点一、离散型随机变量的期望 1.定义：
一般地，若离散型随机变量?的概率分布为
? P x1 p1 x2 p2 … … xi pi … … 则称E??x1p1?x2p2?…?xnpn?… 为?的均值或数学期望，简称期望． 要点诠释：
（1）均值（期望）是随机变量的一个重要特征数，它反映或刻画的是随机变量取值的平均水平． （2）一般地，在有限取值离散型随机变量?的概率分布中，令p1?p2?…?pn，则有
p1?p2?…?pn?11，E??(x1?x2?…?xn)?，所以?的数学期望又称为平均数、均值。 nn（3）随机变量的均值与随机变量本身具有相同的单位． 2．性质：
①E(???)?E??E?；
②若??a??b(a、b是常数)，?是随机变量，则?也是随机变量，有E(a??b)?aE??b；
E(a??b)?aE??b的推导过程如下：：
?的分布列为
? ? P x1 x2 … … … xi axi?b Pi … … … ax1?b P1 ax2?b P2 1
于是E??(ax1?b)p1?(ax2?b)p2?…?(axi?b)pi?…
＝a(x1p1?x2p2?…?xipi?…)?b(p1?p2?…?pi?…)＝aE??b ∴E(a??b)?aE??b。
要点二：离散型随机变量的方差与标准差 1.一组数据的方差的概念：
已知一组数据x1，x2，…，xn，它们的平均值为x，那么各数据与x的差的平方的平均数
S2?1[(x1?x)2＋(x2?x)2＋…＋(xn?x)2]叫做这组数据的方差。 n2.离散型随机变量的方差：
一般地，若离散型随机变量?的概率分布为
? P x1 p1 x2 p2 … xi pi … … … 则称D?＝(x1?E?)2?p1＋(x2?E?)2?p2＋…＋(xn?E?)2?pi＋…称为随机变量?的方差，式中的E?是随机变量?的期望．
D?的算术平方根D?叫做随机变量?的标准差，记作??．
要点诠释：
⑴随机变量?的方差的定义与一组数据的方差的定义式是相同的；
⑵随机变量?的方差、标准差也是随机变量ξ的特征数，它们都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度；方差（标准差）越小，随机变量的取值就越稳定（越靠近平均值）．
⑶标准差与随机变量本身有相同的单位，所以在实际问题中应用更广泛。 3.期望和方差的关系：
D??E(?2)?(E?)2
4.方差的性质：
若??a??b(a、b是常数)，?是随机变量，则?也是随机变量，D??D(a??b)?aD?； 要点三：常见分布的期望与方差 1、二点分布：
若离散型随机变量?服从参数为p的二点分布，则
2
2
期望E??p 方差D??p(1?p).
证明：∵P(??0)?q,P(??1)?p,0?p?1,p?q?1 ∴E??0?q?1?p?p
D??(0?p)2?q?(1?p)2?p?p(1?p).
2、二项分布：
若离散型随机变量?服从参数为n,p的二项分布，即?~B(n，P),则 期望E??nP 方差D??np(1-p) 期望公式证明：
kkkkn?k∵P(??k)?Cnp(1?p)n?k?Cnpq，
00n11n?122n?2kkn?knn0∴E??0?Cnpq?1?Cnpq?2?Cnpq?...?k?Cnpq?...?n?Cnpq，
又∵kCn?k?kn!n?(n?1)!k?1??nCn?1，
k!(n?k)!(k?1)![(n?1)?(k?1)]!00n?111n?2k?1k?1(n?1)?(k?1)n?1n?10∴E??np(Cn＋Cn＋…＋Cn＋…＋Cnqq) ?1pq?1p?1p?1pq?np(p?q)n?1?np．
3、几何分布：
独立重复试验中，若事件A在每一次试验中发生的概率都为p，事件A第一次发生时所做的试验次数?是随机变量，且P(??k)?(1?p)k?1p，k?0,1,2,3,?,n,?，称离散型随机变量?服从几何分布，记作：?~P(??k)?g(k，P)。
若离散型随机变量?服从几何分布，且?~P(??k)?g(k，P)，则 期望E??1. p1-p p2方差D?? 3
要点诠释：随机变量是否服从二项分布或者几何分布，要从取值和相应概率两个角度去验证。 4、超几何分布：
若离散型随机变量?服从参数为N,M,n的超几何分布，则 期望E(?)?nM N要点四：离散型随机变量的期望与方差的求法及应用 1、求离散型随机变量?的期望、方差、标准差的基本步骤： ①理解?的意义，写出?可能取的全部值； ②求?取各个值的概率，写出分布列；
? P
x1 p1 x2 p2 … xi pi … … … ③根据分布列，由期望、方差的定义求出E?、D?、??：
E??x1p1?x2p2???xnpn??
D???x1?E??p1??x2?E??p2????xn?E??pn??
222???D?. 注意：常见分布列的期望和方差，不必写出分布列，直接用公式计算即可． 2.离散型随机变量的期望与方差的实际意义及应用
① 离散型随机变量的期望，反映了随机变量取值的平均水平；
② 随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。方差越大数据波动越大。
③对于两个随机变量?1和?2，当需要了解他们的平均水平时，可比较E?1和E?2的大小。 ④E?1和E?2相等或很接近，当需要进一步了解他们的稳定性或者集中程度时，比较D?1和D?2，方差值大时，则表明ξ比较离散，反之，则表明ξ比较集中．品种的优劣、仪器的好坏、预报的准确与否、武器的性能等很多指标都与这两个特征数（数学期望、方差）有关．
二、典型例题
4
类型一、离散型随机变量的期望
例1． 已知随机变量X的分布列为： X P －2 －1 0 1 m 2 1 41 31 51 20 试求：（1）E（X）；（2）若y=2X－3，求E（Y）．
【思路点拨】 分布列中含有字母m，应先根据分布列的性质，求出m的值，再利用均值的定义求解；对于（2），可直接套用公式，也可以先写出Y的分布列，再求E（Y）．
【解析】
（1）由随机变量分布列的性质，得
11111???m??1，m?， 4352061111117??。 ∴E(X)?(?2)??(?1)??0??1??2?43362030（2）解法一：由公式E（aX+b）=aE（X）+b，得
62?17?E(Y)?E(2X?3)?2E(X)?3?2?????3??．
15?30? 解法二：由于Y=2X－3，所以y的分布如下： X P －7 －5 －3 －1 1 1111 43561111162??。 ∴E(Y)?(?7)??(?5)??(?3)??(?1)??1?435620151 20【总结升华】 求期望的关键是求出分布列，只要随机变量的分布列求出，就可以套用期望的公式求解，对于aX+b型随机变量的期望，可以利用期望的性质求解，当然也可以求出aX+b的分布列，再用定义求解． 举一反三：
【变式1】已知某射手射击所得环数?的分布列如下：
4 5 6 7 8 9 10 0000000P .02 .04 .06 .09 .28 .29 .22 求E?.
【答案】
E??4?P(??4)?5?P(??5)?6?P(??6)?7?P(??7)?8?P(??8)?9?P(??9)?10?P(??10) ?4?0.02?5?0.04?6?0.06?7?0.09?8?0.28?9?0.29?10?0.22 ?8.32。
【变式2】已知随机变量ξ的分布列为
ξ
－2 －1 0 1 2 3 5