【答案】（1）E(?)?x1p1?x2p2?x3p3?(?1)?1111?0??1???； 236355，??D(?)?。 93D(?)?[x1?E(?)]2?p1?[x2?E(?)]2?p2?[x3?E(?)]2?p3?（2）E(?)?2E(?)?3?720，D(?)?4D(?)?。 391 2 … … n 【变式2】 设随机变量X的概率分布为
X P 1 n1 n1 n 求D(X）。 【答案】 本题考查方差的求法．可由分布列先求出X的期望E（X），再利用方差的定义求之．也可直接利用公式D（X）=E（X2）－[E（X）]2来解．
解法一：
1111E(X)?1??2????n??(1?2???n)?
nnnnn(n?1)1n?1???，
2n2n?1?1n?1?1?n?1?1??∴D(X)??1???2?????n???????
2?n?2?n2?n??1?2(n?1)2?n2?122??(1?2???n)?(n?1)?(1?2???n)?n?。 n?4?12?n?1。 21112222又E(X)?1??2????n?
nnn1(n?1)(2n?1)?(12?22??n2)?， n6解法二：由解法一可求得E(X)?222(n?1)(2n?1)(n?1)2n2?1??∴D(X)?E(X)?[E(X)]?。
641222例5.有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品数的期
望与方差。
【思路点拨】由于产品数量很大，因而抽样时抽出次品与否对后面的抽样的次品率影响非常小，所以可以认为各次抽查的结果是彼此独立的，可以看作20次独立重复试验．利用二项分布的公式解答。
【解析】设抽出次品数为?，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，
所以?~B(20,1%),
11
所以E??np?20?1%?0.2
D??np(1?p)?20?1%?(1?1%)?0.198
【总结升华】
1. 解答本题的关键是理解清楚：抽20件商品可以看作20次独立重复试验，即?~B(20,1%)，从而可用公式：E??np，D??np(1?p)直接进行计算；
2.以下抽查问题可以看作独立重复试验：
（1）涉及产品数量很大，而且抽查次数又相对较少的产品抽查问题；
（2）如果抽样采用有放回地从小数量产品中抽取产品，则各次抽样的次品率不变，各次抽样是否抽出次品是完全独立的事件；但从小数量产品中任意抽取产品（即无放回地抽取）每次抽样后次品率将会发生变化，即各次抽样是不独立的，不能看作独立重复试验。 举一反三：
【变式】若某批产品共100件，其中有20件二等品，从中有放回地抽取3件，求取出二等品的件数的期望、方差。
【答案】由题知一次取出二等品的概率为0.2，有放回地抽取3件，可以看作3次独立重复试验，
即取出二等品的件数?~B(3,0.2)， 所以E??np?3?0.2?0.6，
D??np(1?p)?3?0.2?(1?0.2)?0.48.
【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差 408737 例题1】
【变式2】有10件产品,其中3件是次品.从中任取2件,若抽到的次品数为X,求X的分布列,期望和方差. 【答案】
类型四、离散型随机变量的期望和方差的应用
例6． 甲、乙两种水稻在相同条件下各种植100亩，收获的情况如下： 甲：
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亩产量 亩数 乙： 亩产量 亩数 300 20 310 30 320 25 320 20 330 40 330 40 340 15 340 10 试评价哪种水稻的质量较好．
【思路点拨】 本题是期望与方差的综合应用问题．要比较甲、乙两种水稻的质量，需求出其平均亩产量并对其稳定情况进行比较．题中只给出了亩产量与亩数关系，所以应先列出甲、乙两种水稻的亩产量的概率分布，再求其期望与方差．
【解析】 设甲、乙两种水稻的亩产量分别为X和Y．
201251?，P(X?320)??， 10051004402153P(X?330)??，P(X?340)??。
100510020303201?，P(Y?320)??， 且P(Y?310)?100101005402101P(Y?330)??，P(Y?340)??。
1005100101123?323， ∴E(X)?300??320??330??340?545203121E(Y)?310??320??330??340??323，
105510则P(X?300)?即E（X）=E（Y），这表明两种水稻的平均亩产量相同，进一步求各自的方差，得
1123D(X)?(310?323)2??(320?323)2??(330?323)2??(340?323)2??171，
545203121D(Y)?(310?323)2??(320?323)2??(330?323)2??(340?323)2??101。
105510 即V（X）＞V（Y），这说明乙种水稻的产量较为稳定，因此乙种水稻质量较好．
【总结升华】 期望（均值）仅体现了随机变量取值的平均水平．但如果两个随机变量的均值相等，还需比较其方差，方差大说明随机变量的取值较分散（波动大），方差小说明取值较集中、稳定．
当我们希望实际的平均水平比较理想时，则先求它们的均值，但不要误认为均值相等时，它们都一样好，这时，还应看它们相对于均值的偏离程度，也就是看哪一个相对稳定（即比较方差的大小），相对稳定者就更好．如果我们希望比较稳定时，这时应先考虑方差，再考虑均值是否接近即可． 举一反三：
【变式1】甲、乙两个野生动物保护区有相同的自然环境，且野生动物的种类和数量也大致相等．而两个保护区内每个季度发现违反保护条例的事件次数的概率分布分别为
甲保护区： X1 P 乙保护区： X2 P 0 0.1 1 0.5 2 0.4 0 0.3 1 0.3 2 0.2 3 0.2 试评定这两个保护区的管理水平． 【答案】甲保护区的违规次数X1的数学期望和方差分别为：
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E（X1）=0×0.3+1×0.3+2×0.2+3×0.2=1.3； D（X1）=(0－1.3)2×0.3+(1－1.3)2×0.3+(2－1.3)2×0.2+(3－1.3)2×0.2=1.21． 乙保护区的违规次数置的数学期望和方差分别为： E（X2）=0×0.1+1×0.5+2×0.4=1.3； D（X2）=(0－1.3)2×0.1+(1－1.3)2×0.5+(2－1.3)2×0.4=0.41．
因为E（X1）=E（X2），D（X1）＞D（X2），所以两个保护区内每季度平均发生的违规事件次数是相同的，但乙保护区内发生的违规事件次数更集中和稳定，而甲保护区内发生的违规事件次数相对分散，波动较大．
【变式2】 根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为0.25，有大洪水的概率为0.01，该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60000元，遇到小洪水时要损失10000元．为保护设备，有以下3种方案：
方案1：运走设备，搬运费为3800元：
方案2：建保护围墙，建设费为2000元，但围墙只能防小洪水； 方案3：不采取措施，希望不发生洪水． 试比较哪一种方案好．
【答案】 要比较哪一种方案好，只要把三种方案的损失的数学期望求出，哪一个小，哪一个方案就好．
用X1、X2、X3分别表示三种方案的损失．
采用方案1：无论有无洪水，都损失3800元，即X=3800． 采用方案2：遇到大洪水时，损失2000+60000=62000（元）；没有大洪水时，损失2000元，即
0,?6200有大洪水 X2??．
2000无大洪水,??60000,有大洪水? 同样，采用方案3：有X3??10000,有小洪水．
?0,无洪水? 于是，E（X1）=3800， E（X2）=62000×P (X2=62000)+2000×P (X2=2000)=62000×0.01+2000×(1－0.01)=2600， E（X3）=60000×P (X3=60000)+10000×P(X3=10000)+0×P (X3=0)=60000×0.01+10000×0.25=3100．
采用方案2的平均损失最小，所以方案2好． 【高清课堂：离散型随机变量的均值与方差 408737 例题4】
【变式3】某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据，如下表所示. 一次购物量 1至4件 顾客数（人） 结算时间（分钟/人） 5至8件 30 1.5 9至12件 25 2 13至16件 17件及以上 10 3 x 1 y 2.5 14
已知这100位顾客中的一次购物量超过8件的顾客占55％.
（Ⅰ）确定x，y的值，并求顾客一次购物的结算时间X的分布列与数学期望；[&%中国教育出~版网*#]
（Ⅱ）若某顾客到达收银台时前面恰有2位顾客需结算，且各顾客的结算相互独立，求该顾客结算前的等候时间不超过．．．2.5分钟的概率.（注：将频率视为概率）
【解析】（1）由已知,得25?y?10?55,x?y?35,所以x?15,y?20.
该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体，所以收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量随机样本，将频率视为概率得
153303?,p(X?1.5?)?p,X(?1002010010201101)?p,X(?3?)? . p(X?2.5?100510010 p(X?1)?2512?)?,
1004X的分布为
X P X的数学期望为
1 1.5 2 2.5 3 3311 2010451 10? E(X)?1331?1.?5??2?201041?2.5??513?. 1.910（Ⅱ）记A为事件“该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟”，Xi(i?1,2)为该顾客前面第i位顾客的结算时间，则
P(A)?P(X1X?P(1X?且12X?1.5?)P1X(?且1.25X. ?1?且2?1)由于顾客的结算相互独立，且X1,X2的分布列都与X的分布列相同，所以 P(A)?P(X?(P2X?1)?P(?P2(X?1?1)1X?1) ?1)1.?5)P(?1X ?1.?5P)X(21)3333339??????. 202020101020809. 80故该顾客结算前的等候时间不超过2.5分钟的概率为
三、课堂练习
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