P 1 12m n 1 121 61 12其中m，n∈[0,1)，且E(ξ)＝
1，则m，n的值分别为________． 6【答案】
11， 347， 12由p1＋p2＋…＋p6＝1，得m＋n＝由E(ξ)＝
111，得－m＝， 626∴m＝
11，n＝. 34ξ P 0 0.4 2 0.3 4 0.3 【变式3】随机变量ξ的分布列为：
则E(5ξ＋4)等于( )
A．13 B．11 C．2.2 【答案】A 由已知得
E(ξ)＝0×0.4＋2×0.3＋4×0.3＝1.8， ∴E(5ξ＋4)＝5E(ξ)＋4＝5×1.8＋4＝13.
【变式4】设离散型随机变量?的可能取值为1，2，3，4，且P(??k)?ak?b（k?1,2,3,4），
D．2.3
E??3，则a?b? ；
【答案】0.1；
由分布列的概率和为1，有(a?b)?(2a?b)?(3a?b)?(4a?b)?1， 又E??3，即1?(a?b)?2?(2a?b)?3?(3a?b)?4?(4a?b)?3， 解得a?0.1，b?0，故a?b?0.1。
例2. 袋中有4个黑球、3个白球、2个红球，从中任取2个球，每取到一个黑球记0分，每取到一个白球记1分，每取到一个红球记2分，用?表示得分数。 求：①?的概率分布列；②?的数学期望。
【思路点拨】本题求?取各个值的概率，其类型显然是古典概型。
6
【解析】①依题意?的取值为0、1、2、3、4
2C41?=0时，取得2黑球，∴P(??0)?2?，
C9611C4?C31?=1时，取得1黑球1白球， ∴P(??1)?， ?23C911C32C2?C411?=2时，取2白球或1红球1黑球，∴P(??2)?2?， ?2C9C93611C3?C21?=3时，取1白球1红球，∴P(??3)?， ?26C92C21?=4时，取2红球，∴P(??4)?2?，
C936∴?分布列为
? p 0 1 2 3 4 1111 633611111114?3??4??. ②期望E??0??1??2?63366369举一反三：
1 61 36 【总结升华】求离散型随机变量均值的关键在于列出概率分布表． 【变式1】 随机的抛掷一个骰子，求所得骰子的点数ξ的数学期望． 【答案】抛掷骰子所得点数ξ的概率分布为 ξ P 所以
1 2 3 4 5 6 1 61 61 61 61 61 61111111E??1×＋2×＋3×＋4×＋5×＋6×＝(1＋2＋3＋4＋5＋6)×＝3.5．
6666666抛掷骰子所得点数ξ的数学期望，就是ξ的所有可能取值的平均值． 【变式2】甲、乙、丙、丁独立地破译一个密码，其中甲的成功率是 （1）若破译密码成功的人数为X，求X的概率分布；
（2）求破译密码成功人数的数学期望． 【答案】
（1）破译密码成功的人数X的可能取值为0，1，2，3，4．
11，乙、丙、丁的成功率都是． 23 7
1?2?8P(X?0)?????，
2?3?541?2?12011?2?P(X?1)?????C3??????， 2?3?3?3?2541?1?211811?2?P(X?2)??C3?????C32??????， 23?3??3?32541?1?2?1?17P(X?3)??C32?????????，
2?3?3?3?2541?1?1P(X?4)?????，
2?3?54 则X的概率分布表为 X P 0 1 2 3 4 323223231871 545454820187181?1??2??3??4???1.5， （2）由（1）知E(X)?0?545454545454即破译密码成功的人数的数学期望为1.5．
【变式3】交5元钱，可以参加一次抽奖，已知一袋中有同样大小的球10个，其中有8个标有1元钱，2个标有5元钱，抽奖者只能从中任取2个球，他所得奖励是所抽2球的钱数之和．求抽奖者获利的数学期望．
【答案】 抽到的2个球上的钱数之和ξ是个随机变量，其中ξ取每一个值时所代表的随机事件的概率是容易获得的，本题的目标是求参加抽奖的人获利?的数学期望，由ξ与?的关系为?=ξ－5，利用公式
E（?）=E（ξ）－5可获解答．
设ξ为抽到的2球钱数之和，则ξ的取值如下： ξ=2（抽到2个1元），ξ=6（抽到1个1元，1个5元），ξ=10（抽到2个5元）．
112C8C216C8228C21所以，由题意得P(??2)?2?，P(??6)?，， ?P(??10)??22C1045C1045C10458 5420 542816118?6??10??． 4545455 又设?为抽奖者获利的可能值，则?=ξ－5，所以抽奖者获利的期望为
187(?)?5??5???1. E(?)?E?． 45512 例3． 甲、乙两人各进行3次射击，甲每次击中目标的概率为，乙每次击中目标的概率为，
23∴E(?)?2?记甲击中目标的次数为X，乙击中目标的次数为Y，
（1）求X的概率分布；
（2）求X和Y的数学期望．
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【思路点拨】 甲、乙击中目标的次数均服从二项分布．
?1?1【解析】（1）P(X?0)?C???，
?2?803331?1?， P(X?1)?C3???28???1?3P(X?2)?C???，
?2?8233313?1?。 P(X?3)?C3???28?? 所以X的概率分布如下表： X P 0 1 2 3 33 81331（2）由（1）知E(X)?0??1??2??3??1.5，
8888或由题意X?B?3,?，Y?B?3,∴E(X)?3?1 83 81 8?1??2???2??。 3?12?1.5，E(Y)?3??2。 23【总结升华】 在确定随机变量服从特殊分布以后，可直接运用公式求其均值． 举一反三：
【变式1】 有一批数量很大的商品的次品率为1%，从中任意地连续取出20件商品，求抽出次品
数的期望。
【答案】设抽出次品数为?，因为被抽商品数量相当大，抽20件商品可以看作20次独立重复试验，
所以?~B(20,1%),
所以E??np?20?1%?0.2
【变式2】
一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有4个选项，其中有且仅有一个选项是正确答案，每题选择正确答案得5分，不作出选择或选错不得分，满分100分 学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从4个选择中随机地选择一个，求学生甲和乙在这次英语单元测验中的成绩的期望。
【答案】设学生甲和乙在这次英语测验中正确答案的选择题个数分别是?,?， 则?~ B（20,0.9）,?~B(20,0.25),
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?E??20?0.9?18,E??20?0.25?5 由于答对每题得5分，学生甲和乙在这次英语测验中的成绩分别是5?和5? 所以，他们在测验中的成绩的期望分别是：
E(5?)?5E(?)?5?18?90,E(5?)?5E(?)?5?5?25 类型二、离散型随机变量的方差
例4．已知离散型随机变量?1的概率分布为
?1 P 1 2 3 4 5 6 7 1 71 71 71 71 71 71 7离散型随机变量?2的概率分布为
?2 P 3．7 3．8 3．9 4 4．1 4．2 4．3 1 71 71 71 71 71 71 7求这两个随机变量期望、均方差与标准差 【解析】E?1?1?111?2??????7??4； 777111D?1?(1?4)2??(2?4)2??????(7?4)2??4；??1?D?1?2 777111E?2?3.7??3.8??????4.3??4；
777D?2=0.04, ??2?D?2?0.2.
【总结升华】本题中的?1和?2都以相等的概率取各个不同的值，但?1的取值较为分散，?2的取值较为集中．E?1?E?2?4，D?1?4，D?2?0.04，方差比较清楚地指出了?2比?1取值更集中．??1＝2，??2=
0. 2，可以看出这两个随机变量取值与其期望值的偏差 举一反三：
【变式1】已知随机变量ξ的分布列如下表：
ξ P －1 0 1 1 21 31 6 （1）求E（ξ），D（ξ），η； （2）设η=2ξ+3，求E（η），D（η）．
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